La théorie des variétés toriques fournit un lien très étroit entre des objets de géométrie complexe et des objets de géométrie convexe : les variétés toriques correspondent, de façon biunivoque, à certaines collections finies de cônes rationnels polyhédraux strictement convexes qu'on appelle des éventails. Il y a donc un "dictionnaire" qui permet la traduction de propriétés de variétés toriques en propriétés d'éventails, et vice versa.

Un résultat très remarquable dû à Jurkiewicz et Danilov implique que les nombres de Betti d'une variété torique compacte quasi-lisse sont des invariants du type combinatoire de l'éventail ; en particulier, les nombres de Betti en degré impair s'annulent. Par contre, en présence de singularites "méchantes" , ceci n'est plus forcément vrai : déjà en dimension d=3, on peut aisément donner des exemples de variétés toriques compactes dont les éventails ont le même type combinatoire tandis que les troisièmes nombres de Betti sont différents. Pourtant il y a des conditions suffisantes pour assurer l'invariance combinatoire des nombres de Betti -- surtout l'annulation du troisième -- en présence de telles singularités. Je vais indiquer quelques résultats dans cette direction, qui ont été obtenus cet été par une stagiaire française lors de son stage à Konstanz.