Après une série de rappels et exemples élémentaires en théorie de Morse (réelle et propre), on va présenter quelques applications de la version complexe, non-propre. Les résultats font partie d'un travail en commun avec Alex Dimca.

Soit f un polynôme homogène arbitraire, et soit X(f) le complément dans Pⁿ de l'hypersurface définie par f. On relie le degré du gradient de f, deg(grad f), à la topologie de X(f).

D'une part, ce résultat démontre une conjecture de Dolgachev, portant sur deg(grad f), et permet aussi de classifier les polynômes f pour lesquels grad f est un isomorphisme birationnel, dans certains cas.

D'autre part, on peut l'utiliser pour établir l'existence d'une CW-structure minimale de X(f), dans le cas des arrangements d'hyperplans, et ainsi obtenir des inégalités de Morse pour l'homologie de X(f) à coefficients tordus arbitraires.