Discipline : Mathématiques
Par Florent BERTHELIN
Sujet : RELAXATION HYPERBOLIQUE ET MODELES CINETIQUES EN DYNAMIQUE DES GAZ
Soutenue publiquement le 26 novembre 2001 à 11 heures Lieu : salle thèses (UFR Sciences)
Après avis des Professeurs :
Yann BRENIER
Rapporteur, Université de Nice et Paris 6
Gui-Qiang CHEN
Rapporteur, Northwestern University (USA)
Devant les membres du jury :
Grégoire ALLAIRE
Examinateur, école polytechnique
François BOUCHUT
Directeur de Thèse, ENS Paris
Yann BRENIER
Rapporteur, Université de Nice et Paris 6
Stéphane CORDIER
Invité, Université d'Orléans
Iskender GOKALP
Représentant Ecole Doctorale, LCSR
François JAMES
Examinateur, Université d'Orléans
Philippe G. LEFLOCH
Président, Ecole Polytechnique
Mention obtenue : Très Honorable avec les Félicitations du Jury.
Résumé :
L'objet de cette thèse est l'étude
d'équations d'évolution en mécanique des fluides modélisées
par des équations aux dérivées partielles. Nous nous
intéressons plus spécifiquement au système d'Euler
de la dynamique des gaz. Ce système est hyperbolique et constitué
de lois de conservation. Nous considérons deux lois de pression
: le cas d'une loi isentropique et le cas d'une pression nulle. Nous employons
deux approches mathématiques pour étudier ce problème
: l'utilisation de modèles cinétiques et celui de modèles
continus.
Dans un premier temps, nous étudions un
modèle cinétique BGK vectoriel dont la relaxation conduit
au système d'Euler avec une pression isentropique. Nous obtenons
en particulier l'existence globale de solutions faibles avec des relations
d'entropie pour le modèle BGK, puis nous étudions la relaxation
du modèle. Ce travail permet d'étendre au cas de la dynamique
des gaz isentropiques le fait connu pour les lois de conservation scalaire
de l'existence d'un modèle BGK conduisant à toutes les inégalités
d'entropie à la limite de relaxation. Nous obtenons également
des correspondances entre domaines cinétiques invariants, domaines
macroscopiques invariants et entropies cinétiques.
Dans un deuxième temps, nous considérons
le problème mixte constitué d'une donnée initiale
et d'une condition de bord pour la dynamique des gaz isentropiques.
Nous nous placons dans le cadre des fonctions
bornées p.p., ce qui est une amélioration par rapport à
ce qui se fait habituellement où le contexte d'un problème
mixte est plutôt BV. Nous formulons la condition de bord par des
inégalités d'entropies avec l'utilisation de traces faibles.
Notre méthode est très générale et peut être
appliquée à tout système possédant un modèle
BGK compatible avec les entropies et ayant compacité forte de ses
grandeurs macroscopiques.
Finalement, dans un troisième temps, nous
étudions deux modèles avec contraintes. Dans le cas sans
pression, nous utilisons les bouchons collants, généralisation
des particules collantes, et un résultat de stabilité pour
obtenir l'existence pour toute donnée initiale intégrable.
Une méthode numérique par splitting et utilisant un modèle
BGK permet d'obtenir la dynamique que doit vérifier les bouchons.
Dans le cas d'une pression isentropique d'exposant g, nous utilisons des
modèles cinétiques. La relaxation de ce modèle se
fait pour 1<g<3 à l'aide de la compacité par compensation,
et pour g=3, à l'aide d'un lemme de moyenne.