Thèmes de recherche

L'équipe est donc centrée sur l'étude théorique, numérique et l'optimisation de systèmes régis par des équations aux dérivées partielles. Mais les domaines d'application comme les techniques sont trés variés. Nous essayons d'utiliser nos compétences et nos recrutements pour développer notre base théorique ainsi que nos développements numériques et applications; plusieurs membres de l'équipe travaillent sur des contrats de recherche avec des industriels, notament par des encadrements de thèse, voir rapports individuels.

• Modèles cinétiques
  (nouveaux thèmes abordés depuis 2 ans)
  Pour la modélisation de dispositifs tels que les tubes à décharge, un des gros probleme actuel est l'obtention des solutions périodiques de systèmes non linéaires tel que celui de Vlasov-Maxwell. F. Poupaud et M. Bostan étudiant en thèse au CERMICS étudient ce problème d'un point de vue théorique (existence de solution) et algorithmique (dissipation artificielle). Un premier resultat : existence d'une solution periodique minimale pour le systeme de Vlasov Poisson devrait prochainement etre soumis au CRAS.

  En ce qui concerne l'analyse asymptotique des EDP qui est un puissant outil pour la modélisation, P. Bechouche, N. Mauser et F. Poupaud travaillent sur les limites non relativistes des équations de Dirac. Dans un article à paraitre nous clarifions les liens entre ces équations et les équations de Schrödinger et de Pauli.

  A. Nouri étudie des problèmes de Mathématiques appliquées issus de la physique des décharges : solution stationnaire de l'équation cinétique décrivant la distribution d'électrons lors d'un phénomène d'ionisation, obtention d'un modèle hydrodynamique simplifié, propagation de streamers dans un plasma. Francois Severin, thesard coencadré par A. Nouri et A. de La Bourdonnaye (INRIA), effectue des simulations numeriques dans ce domaine. En collaboration avec L. Arkeryd, un resultat d'existence de solution faible de l'equation de Boltzmann stationaire en 2 dimensions d'espace et 3 dimensions en vitesse a été etabli.. La compréhension des phénomènes de décharges sur les satellites, dues aux bombardements ionique et electronique du plasma environnant, est ausi envisagée.

  Finalement D. Chenais et F. Poupaud coencadrent B. Salanon (thésard) qui étudie les problèmes d'optimisation de forme en physique des particules. Le but est de trouver le cadre théorique pour la mise en oeuvre d'algorithmes d'optimisation de formes de dispositifs de type diodes à vide ou canons à électrons. B. Salanon a étudié la sensibilité des solutions des équations de transport pour des problèmes aux limites par rapport à des pertubations du champ de vecteur. Il a ensuite appliqué ces résultats pour la mise au point d'un algorithme de type Newton pour la résolution numérique des équations de Vlasov-Poisson stationnaires.

• Homogénéisation et limites semiclassiques.
  F. Poupaud étudie en collaboration avec P. Gérard, P.A. Markowich, N. Mauser, la propagation de l'énergie des solutions -oscillantes dans les systèmes hyperboliques. Un article à C.P.A.M. fait la synthese d'une suite de travaux sur ce thème (Gerard (Schrodinger), Francfort-Murat (Equations des ondes), Markowich-Mauser-Poupaud (Schrodinger, Maxwell)). Nous obtenons pour une classe très générale d'opérateurs pseudo-differentiels que l'énergie est portée par des mesures dans l'espace des phases qui suivent les flots hamiltonien associés aux valeur propres du symbole principal de l'opérateur. Les applications d'une telle étude sont importante en particulier en mécanique quantique. F. Poupaud en collaboration avec C. Ringhoffer a ainsi étudié un problème de Schrödinger à deux échelles microscopiques. On démontre ainsi la validité des théorèmes de masses effectives de la physique du solide (article à CPDE). P. Bechouche coencadré par F. Poupaud et A. Nouri étudie les même phénomènes en prenant en compte les interactions Coulombienne. Il a aussi obtenu des résultats d'homogénéisation pour les équations de Schrödinger en milieu stratifié qui sont un premier pas pour la modélisation rigoureuse des super-réseaux.
• Electromagnétisme.
  F. Poupaud est conseiller scientifique au CERMICS-INRIA, projet CAIMAN. Dans ce cadre il collabore avec L. Fezoui DR, M. Bostan, M. Remaki, F. Bonnet (thésards) pour l'étude de schémas de volumes finis pour la résolution des équations de Maxwell instationnaires. Une nouvelle formule de flux numérique basée sur la résolution explicite du problème de Riemann permet d'obtenir sans déphasage la propagation des ondes en milieu fortement hétérogènes. Nous etudions les formulations volumes finis centrés triangles qui permettent une meilleure prise en compte des conditions aux limites et de la géométrie des hétérostructures..
• Problèmes de frontières libres en mécaniques des fluides
  A. Nouri et F. Poupaud en collaboration avec Y. Demay (INLN) étudient l es problèmes de frontières libres en mécanique des fluides. Une approche différente de la méthode classique (cf travaux de Tanaka, Solonikov, etc...) permet de poser le problème d'une manière globale. Le mouvement de la surface libre est déterminé par la résolution d'une équation de transport et la tension superficielle apparait comme un terme source qui est une dérivée d'une fonction nonlinéaire d'une mesure. Quand la tension superficielle s'annule cette formulation a permis d'obtenir des solutions globales en temps sans restriction sur les données de problèmes à frontières libres entre fluides non miscibles pour les équations de Stokes et de Navier-Stokes.
• Systèmes hyperboliques non linéaires
  

  Le potentiel de l'équipe sur ce thème, qui intéresse à des degrés divers plusieurs membres de l'équipe, s'est accru avec la venue d'O. Guès en 1995. Michel Rascle poursuit ses recherches sur les systèmes hyperboliques non linéaires de lois de conservation, dans plusieurs directions.
  

  • Problèmes hyperboliques en plasticité (dynamique): A. Nouri et M. Rascle avaient démontré [*] l'existence globale et l'unicité de la solution d'un problème élasto-plastique, avec écrouissage non linéaire, en mettant en évidence des propriétés -inattendues pour un système hyperbolique non linéaire de semi-groupe de contractions dans . M. Rascle a étendu récemment, [*][*], ce résultat à des solutions plus faibles, où la difficulté est alors de relier les solutions obtenues aux solutions faibles classiques.
    
  • B. Chimiotactisme: M. Rascle a encadré un étudiant, Chérif Ziti, en Thèse d'Etat marocaine(soutenue à Fès en 1996) sur des problèmes hyperboliques en dynamique des populations "chimiotactiques": mise en évidence de solutions auto-similaires se concentrant en temps fini vers une masse de Dirac. Des problèmes similaires semblent apparâitre dans certains modèles de semi-conducteurs. Une collaboration sur ce thème a démarré en 1997 avec H. Othmer (Salt Lake City): le but est d'essayer d'expliquer - avec des idées de type cinétique - pourquoi ce type de populations ré pond collectivement à un gradient de concentration en substrat, alors que chaque individu est incapable de détecter un gradient spatial!
    
  • Modèles mathématiques de semi-conducteurs: M. Rascle avait démontré avec F. Poupaud et J.P. Vila un résultat d'existence globale d'une solution aux équations d'Euler -Poisson isothermes, i.e. avec une pression et des techniques à la Nishida, [*]. Il a ensuite démontré avec Stéphane Junca la relaxation - après un scaling parabolique de ce modèle vers les équations de dérive-diffusion, article soumis.
    
  • Relaxation: outre le résultat ci-dessus, M. Rascle a étudié avec J.F. Collet, [*], la convergence d'un système relaxé issu de la chromatographie vers une loi de conservation scalaire, quand le temps de relaxation tend vers 0. Ce résultat affine lègèrement ceux de Chen, Liu, Levermore, et met beaucoup plus clairement en évidence le lien entre la condition de stabilité de Liu et le caractère space-like de la courbe déquilibre dans l'espace des états. Par ailleurs, Ph. Hoch. étudiant en Thèse, et M. Rascle ont effectué une comparaison détaillée des schémas de relaxation de Jin-Xin avec d'autres schémas d'ordre élevé, notamment celui de Nessyahu- Tadmor, qui en est pratiquement la version à l'équilibre, article soumis.
    
  • Equation de transport: F. Poupaud et M. Rascle [*] ont étudié cette équation dans le cas multi-D, avec des coefficients singuliers, mais ``compressifs''. Ils ont montré l'existence globale et l'unicité de la solution, qui peut être une mesure, à l'aide des caractéristiques au send de Filippov, bien que certains termes dans l'équation ne soient plus définis a priori. Ce type de résultat a aussi des liens avec le chimiotactisme.
    
  • modèles hyperboliques du trafic automobile: un étudiant Mauritanien, Aw a démarré en Thèse avec M. Rascle sur ce Thème en 1996-97. Un modèle nouveau deux équations a déjà été proposé, qui évite les graves incohérences des modèles habituels, article en préparation.
    
  • Optique géométrique non linéaire: M.Rascle a co-encadré avec A.Piriou la Thèse de S. Junca, soutenue en 1995. S. Junca est maintenant PRAG à l'IUFM de Nice - ce qui est un gâchis scientifique, et membre ``permanent''de léquipe. Dans sa Thèse, il a obtenu de premiers résultats tant sur le problème aux limites semi-linéaire avec résonances, article soumis et sur les profils irréguliers en variables lentes, que sur la justification de l'optique géométrique faiblement non linéaire près d'un choc fort, pour des solutions construites par le schéma de Glimm. Il a notamment obtenu un joli résultat de convergence double échelle pour des fonctions BV, article à parâitre dans Asymptotic Analysis. Une collaboration avec G. Chen (Chicago) est en projet, voir plus loin.
    

    O. GUÈS, en adaptant les techniques introduites par JOLY, MÉTIVIER et RAUCH, a montré que l'interaction d'ondes oscillantes à haute fréquence peut créer des ondes solitaires responsables de comportements compliqués de la solution, ou de comportements explosifs (Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 95)..

    O. GUÈS s'est ensuite intéressé à l'interaction de solutions oscillantes à haute fréquence de systèmes hyperboliques semilinéaires perturbés par une petite viscosité. Près d'un bord caractéristique pour l'opérateur hyperbolique, on peut étudier l'interaction des oscillations et de la couche limite de viscosité (Volume de l'I.M.A.,"singularities and Oscillations", Springer 97.

  • Couches limites de visccosité Dans un travail en collaboration, Emmanuel GRENIER (ENS Paris et Univ. Paris 6) et Olivier GUÈS ont étudié les couches limites obtenues dans la régularisation visqueuse d'un système hyperbolique quasilinéaire en plusieurs dimensions d'espace au voisinage d'un bord non caractéristique (a paraitre au Journal of Differential Equations). Ce travail prolonge les résultats antérieurs obtenus par O. GUÈS pour les systèmes semilinéaires. Il étend également au cas multidimmensionnels les résultats de M. GISCLON et D. SERRE obtenus dans le cas 1D pour ceratins systèmes conservatifs, tout en s'affranchissant d'hypothèses importantes, comme le caractère conservatif.
  • Optique géométrique non linéaire
  • Solutions stratifiées de systèmes hyperboliques et oscillations de grande amplitude Dans un travail en collaboration Andrea CORLI (Université de Ferrara, Italie), O. GUÈS ont montré l'existence et la stabilité de solutions stratifiées de systèmes de lois de conservation 1D ayant un champ linéairement dégénéré et vérifiant la propriété de ``bon symétriseur'' de Heibig-Sevennec (travail en cours). L'exemple typique est celui d'ondes d'entropies pour la mécanique des gaz 1D ou la magnétohydrodynamique. Ces solutions sont des solutions faibles localement bornées mais qui en général ne sont pas à variation bornée, et ne sont pas données par les théorèmes classiques de Lax, Glimm, Bressan...

• Analyse d'images.
  G. Aubert a essentiellement regardé les deux problèmes suivants :
  • Le problème de la restauration et de la reconstruction d'images floues et bruitées par des méthodes variationnelles.
    Ces problèmes sont mal posés au sens d'Hadamard et on y remédie en rajoutant au terme classique à minimiser (mesurant l'écart entre image observée et image reconstruite) un terme de régularisation non quadratique dépendant du gradient de l'image. Ce terme doit lisser les zones homogènes de l'image tout en respectant les contours, ce que ne fait pas la régularisation usuelle au sens de Tikhonov. Nous avons proposé une nouvelle classe de fonctionnelles répondant à ces exigences ainsi que les algorithmes correspondants. Ce travail est mené en étroite collaboration avec l'équipe C.N.R.S-I3S de Sophia Antipolis (Michel Barlaud). L'approche discrète et les résultas numériques (essentiellement en tomographie) ont été rassemblés dans deux articles. L'étude du problème en variables continues a été effectué en collaboration avec L. Lazaroaia-Vese (co-encadrée avec M. Rascle) et a fait l'objet d'un article à paraître au Siam Journal of Mathematical Analysis. Sur ce thème de reconstruction d'images floues et bruitées L. Lazaroaia-Vese a soutenu une thèse au laboratoire en Novembre 96. L. Lazaroaia-Vese est depuis sa thèse en post-doc à l'UCLA de Los Angeles. Nous continuons actuellement notre collaboration avec l'équipe C.N.R.S-I3S de Sophia Antipolis sur des questions de segmentation et quantification d'images.
  • Les problèmes liés au calcul du flot optique et de la stéréovision. Ce travail est réalisé en collaboration avec l'équipe Robotvis de l'I.N.R.I.A Sophia Antipolis (O. Faugeras et R. Deriche) Sur ce thème, P. Kornprobst prépare au laboratoire une thèse co-encadrée par R. Deriche et moi même.
    
• Calcul des variations
  

  Ce travail de G. Aubert consiste à étudier les questions d'existence, d'unicité et de régularité des solutions pour des problèmes du calcul des variations lorsque le critère est non convexe (c'est le cas en élasticité non linéaire). Le problème a été abordé via la relaxation et les mesures de Young (associées aux suites minimisantes). Grâce à cette approche, nous avons obtenu en collaboration avec R. Tahraoui (Université Paris-Dauphine) de nouveaux résultats d'existence.

• Théorie des jeux
  P. Bernhard a travaillé sur trois volets:
  • Suite de la recherche de nature théorique sur la commande des systemes en "frayeur mathematique", une approche de la commande minimax parallèle à la commande stochastique, dite en esperance mathématique. Il donne une conférence à un colloque de l'International Society of Dynamics Games a Sils-Maria (Suisse) cet été, "On the performance index of feared value control".
  • Une collaboration de P. Bernhard avec un chercheur de l'ORSTOM sur les modèles de mortalité (ici appliquée aux nématodes). Un CRAS cette annee, : G. Reversat, J-P. Rossi et P. Bernhard "Analyse de quelques courbes de survie de nématodes phytoparasites selon le modèle exponentiel de Teissier".
  • Suite de deux contrats industriels sur les jeux dynamiques, un avec Thomson LCR et AERO, qui s'est termine cette annee, un avec MATRA-BAE Dynamics qui se termine en septembre (nous avons presenté une demande de renouvellement a la DGA). Il s'agit de modélisation de situations de combat.

• Optimisation de systèmes régis par EDP.
  • Optimisation de structures avec non linéarités géométrique et instabilités.
    Dans ce thème des progrès ont été réalisés par B. Rousselet notament en liaison avec la préparation de la thèse de G. Aubert. Optimisation par rapport à l'épaisseur et à la forme d'un modèle plan de poutre courbe: étude théorique et numérique avec instabilites (point de retournement ou de bifurcation); nous avons ainsi justifie mathématiquement une approche proposée par K. Dems, Z. Mròz, R. T. Haftka ainsi qu'une mise en oeuvre originale avec un nombre significatifs de de degrè de liberté et de variables de conception; la mise en oeuvre de l'analyse et du calcul de sensitivité est réalisée avec le logiciel de calcul symbolique maple avec géneration de code fortran ou C pour le calcul effectif.

    Depuis sa soutenance thèse, nous avons progressé dans l'extension à un modèle tridimensionnel de poutre courbe avec prise en compte du cisaillement transverse et au cas de coque générales; ces deux derniers modèles sont toujours analysés avec des non-linéarités géométriques et le calcul de sensitivité prend en comte la présence d'instabilités (point limite ou bifurcation).

  • Optimisation de forme en thermique
    En collaboration avec K. Dems, B. Rousselet considère l'optimisation de forme de systèmes thermiques complexes: dans le cas stationnaire une expressionde dérivées secondes par rapport à la forme est obtenue; dans le cas instationnaire la dérivée première est obtenue; la faisabilité est réalisée; des extensions sont en cours.
  • Algorithmes d'optimisaton globale pour la conception de structures acoustiques.
    En liaison avec C. Vaissade et dans le cadre de la préparation de la thèse d'Evelyne Dubois, B. Rousselet considère l'utilisation d'algorithmes d'optimisaton globale pour la conception de structures acoustiques: optimisation d'antennes acoustiques multicouches piezoélectriques; optimisation de signal acoustique; un algorithme de recuit simulé et un algorithme génétique sont mis en oeuvres et ont montré leur intéret industriel: la thèse est réalisée pour Thomson Marconi ASM avec un financement DRET.
  • Optimisation de forme de structures élastiques linéaires
    • Habbal a obtenu des résultats théoriques et numériques pour des critères non différentiables; en particulier, maximum des contraintes pour l'optimisation de forme de coques.
    • Etude des liens entre les deux approches d'optimisation, géométrique et topologique, en calcul de structures:
    • Depuis septembre 1996, en collaboration avec Grégoire Allaire (CEA Saclay), Habbal encadre Serge Beuzit, ingénieur de l'ESSI, en thèse sur le sujet " Conception integrée en optimal design généralisé". Il s'agit de l'étude et développement d'outils numériques pour l'optimisation de structures du point de vue topologique, puis d'effectuer un traitement d'images (snakes pour la capture de contours) qui identifie un bord flou de la structure topologiquement optimale, pour enfin optimiser la géometrie du contour ou d'une partie, en utilisant eventuellement des modèles d'élasticité non-linéaire, l'optimisation topologique étant faite en élasticité linéaire. Selon le même schéma, le contrôle optimal en topologie et en géométrie pour d'autres modéles physiques (acoustique linéaire) est envisagé.
  • Optimisation de forme en acoustique Habbal a obtenu des résultats théoriques et numériques pour des observations non différentiables.
  • Régularité - Singularité pour des problemes elliptiques et paraboliques dans des domaines non réguliers.
    • En collaboration avec Rabah LABBAS ( Univ. du Havre ), Najmi etudie un p robleme de Dirichlet pour le laplacien dans cone infini avec données holdériennes.
    • En collaboration avec Mohand Moussaoui( Ecole centrale de Lyon ) Najmi etudie un problemes de type elliptique et parabolique avec condition de Neumann sur le bord d'un ouvert de l'espace.
    • En collaboration avec Abderrahmane HABBAL ( UNSA ) Najmi etudie un problème pour le laplacien dans un milieu hétérogene constitué de deux corps homogenes de caractéristiques différentes séparés par une interface polygonale oscillante.
  • Optimisation de forme et modélisation D. Chenais
    a terminé l'encadrement de trois thèses:
    • G. Monnier, Conception optimale de forme pour un système couplé fluide-thermique. Application à l'aerothermique d'un vehicule, soutenue en décembre 1995 et coencadrée avec J.P. Vila;
    • Zeine, Modélisation mathématique de structures élastiques, soutenue en octobre 1995;
    • B. Salanon, Stabilité des solutions des EDP du premier ordre et résolution numérique des équations de Vlasof-Poisson; soutenue le 25 juin 1997;

    et a comme projets scientifiques:
    • passage au niveau industriel de l'écriture de logiciels d'analyse d'éléments finis et de calcul de sensibilité fonctionnant en boite noire à l'aide d'un interfaçage; en cours de mise en place avec un partenaire industriel.
    • poursuite des travaux de la thèse de B. Salanon, décrite plus haut.