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Simplexes dans
R^N, complexes simpliciaux dans R^N, morphismes, espace topologique
sous-jacent à un complexe simplicial, application entre
espaces
top. induite par un morphisme de complexes simpliciaux, ex. , complexe
simplicial abstrait, réalisation, somme amalgamée
;
complexe de groupes abéliens, morphismes, homologie, rappel
:
noyau, image, quotient ; groupe abélien libre sur un
ensemble,
présentation d'un groupe abélien de type fini,
rappel :
classification via les matrices à coefficients dans Z. 2. Réalisation d'un complexe simplicial abstrait, triangulation (PL) d'un polytope à isomorphisme affine près, triangulation d'un espace topologique à homéomorphisme près, ex : cercle, sphere S_n (bord du simplexe standart), cylindre, ruban de Moebius, tore, bouteille de Klein, plan projectif réel ; orientation d'un simplexe, n-chaînes d'un complexe simplicial, base issue d'une numérotation des sommets, opérateur de bord, complexe de chaînes, homologie, ex : deux segments joints en un point, triangle plein, une triangulation de RP^2. 3. TD : Le bord du simplexe standart de dim 2 est homéomorphe au cercle ; calcul de son homologie. H_0 d'un complexe simplicial connexe. Cours : espaces topologiques quotients, somme amalgamée, exemples (quotient pour l'action d'un groupe, tore, bouteille de Klein (quotient de [0,1]x[0,1]), plan projectif réel comme somme amalgamée). Prop: espace topologique sous-jacent à la réunion de deux sous-complexes simpliciaux d'un complexe simplicial. 4. Cours : morphisme entre les complexes de chaînes induit par une application simpliciale, morphisme induit en homologie. Ex : connexité, composante connexe d'un complexe simplicial ; K->pt induit un iso H_0(K) -> H_0(pt) ssi K est connexe. Applications simpliciales contiguës, théorème : deux applications simpliciales contiguës induisent le même morphisme en homologie. Cas particulier : simplexe standart. 5. Démonstration du théorème sur les applications simpliciales contiguës. Application : rétract d'un complexe simplicial par "déformation contiguë" ; ex avec deux triangulations différentes du cylindre. Suites exactes courtes de complexes, suite exacte longue en homologie, suite exacte de Mayer Vietoris associée à deux sous-complexes d'un complexe simplicial. 6. Calcul de l'homologie de $\partial \triangle[2]$ par la suite exacte de Mayer-Vietoris. Fonctorialité de la suite exacte de MV, lemme des cinq et application au calcul de l'homologie du polygone convexe à n côté par comparaison avec $\partial \triangle[2]$, application également à une triangulation particulière du cylindre. A faire en ex homologie du tore. Cours : subdivision d'un complexe simplicial dans R^N et approximation simpliciale d'une application continue. Devoir pour le 12 février : a) construire une triangulation du cercle S^1 avec une approximation simpliciale de l'antipodie S^1->S^1. b) En déduire une triangulation de la bouteille de Klein (somme amalgamée de complexes simpliciaux). c) Calculer avec la suite exacte de MV l'homologie de la bouteille de Klein. 7. Approximation simpliciale (suite) ; H_*(g) pour g une application continue |K| -> |L| ; invariance par homéomorphisme. Etat des lieux 8.Triangulation d'un espace quotient, somme amalgamée, exemple : le tore, la bouteille de Klein. Triangulation de |K|x[0,1], invariance par homotopie. 9. Retour sur les complexes simpliciaux quotient, condition suffisante pour que la réalisation d'une somme amalgamée soit la somme amalgamée des réalisations, deux contre-ex, suite exacte de MV. Equivalences d'homotopie, rétract par déformation continue. Homologie de la sphère, degré d'une application continue S^n -> S^n, degré de la symétrie hyperplane, de l'antipodie ; application : pas de rétraction D^n -> S^n, pt fixe d'une application D^n -> D^n, champ de vecteurs jamais nul sur la sphère. Enoncé du théorème de Lefschetz. 10. TD : La suite Z/2 -> Z/4 -> Z/6 -> Z/6 peut elle être exacte ? Noyau, image, conoyau du morphisme Z/6 -> Z/3 x Z/12, 1 \mapsto (2,4). Carré ABCD comme triangulation du cercle S^1 : générateur de H_1, morphisme induit en homologie par la symétrie par rapport à la droite (AC). Calcul du degré de l'application S^1 -> S^1, z\mapsto z^3 avec une triangulation de S^1 donnée par le triangle inscrit de sommet 1, j, j^2 et une approximation simpliciale de z\mapsto z^3 ; factorisation de cette application via un bouquet de trois cercles, homologie du bouquet de trois cercles. |
