Analyse et Probabilités en Deug Mass 2, semestre 2

Marc et Francine DIENER

25 mai 2001

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Table des matières

1 Séries numériques 5 1.1 Introduction et remarques élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Exemples et critère fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Séries géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Séries de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3 Série harmonique alternée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.4 Le critère de Cauchy pour les séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Séries absolument convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.1 Séries à convergence géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Théorème d’Abel de semi-convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Suites sommables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Intégrale généralisée 15 2.1 Définition et critère de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Critères d’intégrabilité des fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Le critère d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Intégrale double 19 3.1 Intégrale itérée et théorème de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Intégrale double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2.1 Volume algébrique de la région V limitée par le graphe de f et z = 0 . . . . . . . . 20 3.2.2 Réduction aux fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3 Preuve du théorème de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3.1 Aire de D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Espaces normés 25

4.1 Normes et boules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.1.1 Quelques normes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.1.2 Convexité des boules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.2.1 Ordres de grandeurs dans un normé standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.2.2 Normes équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.2.3 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3 Ouverts et fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.4 Sous ensembles compacts d’un normé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5 Espaces normés de dimension finie 33 5.1 Normes equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.2 Convergence des suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.3 Compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.4 Applications linéaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6 Matrice jacobienne d’une fonction 37 6.1 Différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 6.2 Différentiabilité, matrice jacobienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.2.1 Quelques règles de différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 6.2.2 Fonctions-composantes, dérivées partielles, jacobienne . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6.2.3 Le théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 6.3 Difféomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.3.1 Le théorème d’inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 6.3.2 Changements de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 6.3.3 Changements de variables standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

7 Intégrales doubles : Changements de variables 45

8 Le théorème de la fonction implicite 49 8.1 Le théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 8.2 Application : sous-variétés de codimension un. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

9 Convergence uniforme 53 9.1 Fonctions i-voisines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 9.2 Convergence uniforme et convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 9.3 Convergence uniforme et opérations fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 9.4 La norme de la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

10 Fonctions holomorphes et séries entières 59 10.1 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 10.2 Dérivation complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 10.3 Séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

10.3.1 Disque et rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 10.3.2 Intégration et dérivation des séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 10.3.3 Séries entières fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

11 Fonctions génératrices 63 11.1 Fonction génératrice des probabilité d’une v.a. entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 11.2 Fonction génératrice des moments (v.a. continue ou discrète) . . . . . . . . . . . . . . . . 65

12 Transformation de Laplace 67

12.1 Transformation de Laplace bilataire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 12.1.1 Quelques propriétés de la transformation de Laplace bilataire . . . . . . . . . . . . 68 12.1.2 Application : calcul de la fgm d’une v.a. X normale, X ⇝ N (μ, σ). . . . . . . . . 68

12.2 Transformation de Laplace (unilataire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 12.2.1 Quelques relations relatives de la transformation de Laplace . . . . . . . . . . . . . 69

13 Le théorème central-limit 71 13.1 Une motivation issue de la finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

14 Séries de Fourier 73 14.1 Séries trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 14.2 Série de Fourier d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 14.3 Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 14.4 Série de Fourier complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 14.5 Inégalité de Bessel et égalité de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

15 Fonctions caractéristiques 79 15.1 Espérance d’une variable aléatoire complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 15.2 Fonctions caractéristiques des principales lois. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

16 Transformation de Fourier 81

Chapitre 1

Séries numériques

Ce chapitre traite d’un exemple de suites particulièrement fréquent dans la pratique. Il ne nécessite que d’avoir compris la notion de suite réelle convergente ou divergente.

1.1 Introduction et remarques élémentaires

Une manière de calculer e avec une précision arbitrairement bonne est d’utiliser la formule

e = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + …  (1.1)
= \frac{1}{0 !} + \frac{1}{1 !} + \frac{1}{2 !} + \frac{1}{3 !} + \frac{1}{4 !} + \frac{1}{5 !} + … + \frac{1}{n !} + …  (1.2)

c’est-à-dire en calculant l’approximation s_{N} = ∑_{n=0}^{N} \frac{1}{n !}. En d’autres termes, la suite des (s_{N})_{N≥0} tend vers le nombre e, nombre que nous ne connaitrons jamais mieux que par l’information que la suite (s_{N})_{N≥0} tend vers e. En fait, souvent des nombres irrationnels utiles nous sont accessibles par le fait qu’ils sont limites de suites (s_{N})_{N≥0} se présentant sous la forme s_{N} = ∑_{n=0}^{N} u_{n}, d’où l’intérêt d’étudier des critères de convergence de suites se présentant précisément ainsi dites séries associées à la suite (u_{n})_{n≥0}, et permettant de préciser la nature (convergente ou divergente) de la série.

Notons que toute suite (s_{N})_{N≥0} peut être vue comme la série associée à une suite (u_{n})_{n≥0} : il suffit de poser u_{0} = s_{0}, puis u_{n} = s_{n} − s_{n−1} ; il se trouve simplement que pour beaucoup d’exemples importants, l’écriture sous forme de série est celle qui s’introduit naturellement (voir l’études des séries entières, plus loin).

Il peut biensûr se produire que la série se présente sous la forme s′_{n} = ∑_{n=n_{0}}^{N} u_{n}, où n_{0} est différent de 0, par exemple n_{0} = 1 ; la différence entre s_{N} et s′_{N} est une fois pour toute la somme d = ∑_{n=0}^{n_{0}−1} u_{n}, et cette différence n’affecte pas l’étude de la convergence ; si s et s′ désignent les limites respectives, on aura simplement s = d + s′.

Pour l’étudiant(e), souvent l’étude des séries est la première occasion de faire personnellement un usage intensif de la notation ∑_{n=n_{0}}^{N} u_{n} au lieu de la notation plus évocatrice mais moins concise u_{n_{0}} + u_{n_{0}+1} + … + u_{N} ; si tel est le cas, il n’est pas inutile de méditer aux identités suivantes, où [p] désigne la “partie entière” du réel p, c’est-à-dire le plus grand entier inférieur ou égal à p:

∑_{n=n_{0}}^{N} λu_{n} = λ ∑_{n=n_{0}}^{N} u_{n} = λ ∑_{p=n_{0}}^{N} u_{p} = λ ∑_{i=n_{0}}^{N} u_{i} = … (λ nombre quelconque)

∑_{n=n_{0}}^{N}(u_{n} + v_{n}) = ( ∑_{n=n_{0}}^{N} u_{n}) + ( ∑_{n=n_{0}}^{N} v_{n}) ; ∑_{n=0}^{N} u_{n} = ∑_{p=0}^{[N/2]} u_{2p} + ∑_{p=0}^{[(N+1)/2]−1} u_{2p+1}

( ∑_{m=m_{0}}^{M} u_{m}) ( ∑_{n=n_{0}}^{N} v_{n}) = ∑_{m=m_{0}}^{M} ( ∑_{n=n_{0}}^{N}(u_{m}v_{n})) = ∑_{n=n_{0}}^{N} ( ∑_{m=m_{0}}^{M}(u_{m}v_{n})) .

Si l’on conçoit la suite (s_{N})_{N≥0} comme une suite d’approximations de sa limite s, on voit que s_{0}(= u_{0}) est une “première approximation” de s, puis u_{1} est une “correction” à ajouter à l’approximation s_{0}, etc…; nous voyons donc que pour que la série s_{N} converge ; il faut que la suite (des corrections) (u_{n})_{n≥0} tende Figure 1.1: Majoration et minorations de la série de Riemann ; l’aire de chacun des rectangles est égale à u_{n} := \frac{1}{n^{α}} =: f_{α}(n).

vers 0 (nous verrons que cette condition nécessaire à la convergence de la série ne suffit pas à assurer la convergence de la série.)

Souvent nous désignerons la suite (s_{N})_{N≥0} par le symbole ∑_{n≥0} u_{n}, qui ne préjuge pas de la convergence de cette série. Quand elle converge, on notera ∑_{n=0}^{∞} u_{n} la limite de cette série, qui est souvent appelée somme de la série considérée. Attention, ce nombre est une limite et n’est pas, comme s_{N}, une somme finie de termes u_{n}, et cette écriture n’autorise plus, à priori, les manipulations élémentaires que nous avons rappelées ; c’est pourquoi, lorsque la suite (u_{n})_{n≥0} (, et donc le nombre ∑_{n=0}^{∞} u_{n},) sont standard, nous choisirons souvent N = ω i-grand, et ainsi ∑_{n=0}^{ω} u_{n} sera une somme finie i-voisine du nombre ∑_{n=0}^{∞} u_{n}.

Néanmoins, si ∑_{n=0}^{∞} u_{n} et ∑_{n=0}^{∞} v_{n} ont bien un sens, il en est de même de ∑_{n=0}^{∞} λu_{n} et ∑_{n=0}^{∞}(u_{n}+v_{n}), et on a ∑_{n=0}^{∞} λu_{n} = λ ∑_{n=0}^{∞} u_{n} et ∑_{n=0}^{∞}(u_{n} + v_{n}) = (∑_{n=0}^{∞} u_{n}) + (∑_{n=0}^{∞} v_{n}) (pourquoi? ) ; en revanche, par exemple si u_{n} = \frac{(−1)^{n}}{n}, on n’a pas ∑_{n=0}^{∞} u_{n} = ∑_{p=0}^{∞} u_{2p} + ∑_{p=0}^{∞} u_{2p+1} : cette bizarerie deviendra compréhensible dès que nous aurons étudiés deux familles d’exemples essentielles auxquelles est consacrée la prochaine section.

1.2 Exemples et critère fondamentaux

1.2.1 Séries géométriques

Pour q ∈ ℝ quelconque, soit u_{n} = q^{n}; on appelle série géomérique la série ∑_{n≥0} q^{n}. On sait (et il est

facile de le vérifier par une preuve par récurrence) que s_{N} := ∑_{n=0}^{N} q^{n} = \frac{1−q^{N+1}}{1−q} si q ≠ 1 et s_{N} = N + 1 si q = 1, d’où l’on déduit immédiatement que ∑_{n≥0} q^{n} converge (vers 1/(1 − q)) si |q| < 1, et ne converge pas sinon.

Ce premier exemple, capital, a pu être traité facilement car on disposait d’une expression commode pour réécrire s_{N}. En fait, ceci est exceptionnel ; l’exemple suivant, également capital, demandera un peu plus de “bricolage”.

1.2.2 Séries de Riemann

On appelle fonction zéta de Riemann, notée α ↦ ζ(α), la somme, lorsqu’elle existe, de la série ∑_{n≥1} \frac{1}{n^{α}}, dite série de Riemann. L’étude de la convergence des séries de Riemann ne s’effectue plus par un calcul explicite, mais par un bel encadrement par des intégrales qui, elles, se calculent. Notons f_{α}(x) := \frac{1}{x^{α}} ; on a donc u_{n} := \frac{1}{n^{α}} ≤ \frac{1}{x^{α}} =: f_{α}(x) si et seulement si x ≤ n, et donc ∫_{n}^{n+1} f_{α}(x)dx ≤ u_{n} ≤ ∫_{n−1}^{n} f_{α}(x)dx, d’où

∫_{1}^{n+1} f_{α}(x)dx = ∫_{1}^{2} f_{α}(x)dx + ∫_{2}^{3} f_{α}(x)dx + … + ∫_{n}^{n+1} f_{α}(x)dx  (1.3)
≤ u_{1} + u_{2} + … + u_{n} =: s_{n}  (1.4)
≤ 1 + ∫_{1}^{2} f_{α}(x)dx + ∫_{2}^{3} f_{α}(x)dx + … + ∫_{n−1}^{n} f_{α}(x)dx  (1.5)
= 1 + ∫_{1}^{n} f_{α}(x)dx.  (1.6)

L’avantage ici de l’intégrale sur la série, est qu’on connait une primitive F_{α} de f_{α}: il suffit de poser F_{α}(x) := \frac{1}{(1−α)x^{α−1}} si α ≠ 1 et F_{α}(x) := ln(x) si α = 1. En réécrivant les majorations (1.3-1.6) nous obtenons

F_{α}(N + 1) − F_{α}(1) ≤ ∑_{n=1}^{N} \frac{1}{n^{α}} ≤ 1 + F_{α}(N) − F_{α}(1),

d’où l’on déduit que la série ∑_{n≥1} \frac{1}{n^{α}} tend vers l’infini si α ≤ 1 (utiliser l’inégalité de gauche), et que si α > 1, la série ∑_{n≥1} \frac{1}{n^{α}} est une suite majorée (utiliser l’inégalité de droite), croissante puisque les “corrections” u_{n} := \frac{1}{n^{α}} sont positives, et donc convergente.

Résumons cette étude d’exemples fondamentaux.

Théorème 1.1 La série géométrique ∑_{n≥0} q^{n} converge si et seulement si |q| < 1 La série de Riemann ∑_{n≥1} \frac{1}{n^{α}} converge si et seulement si α > 1.

1.2.3 Série harmonique alternée

Comme nous l’avons vu lors de l’étude des séries de Riemann, la série ∑_{n≥1} 1/n, dite série harmonique, n’est pas convergente. Considérons à présent la série ∑_{n≥1}(−1)^{n}/n, dite série harmonique alternée. Cette série, elle, est convergente. En effet, en calculant les premiers temes de la suite s_{N} := ∑_{n=1}^{N} \frac{(−1)^{n}}{n}, on obtient s_{1} = −1, s_{2} = s_{1}+ \frac{1}{2}, s_{3} = s_{2}+ \frac{−1}{3} = s_{1}+ \frac{−1}{3} + \frac{+1}{2} = s_{1}+ \frac{1}{6}, s_{4} = s_{3}+ \frac{+1}{4} = s_{2}+ \frac{1}{4} + \frac{−1}{3} = s_{2}+ \frac{−1}{12}, et on comprend que la sous-suite s′_{K} := s_{2K+1} des termes d’indices impairs constituent une suite croissante, et que la sous-suite s′′_{K} := s_{2K} des termes d’indice pair constitue une suite décroissante ; enfin s′_{K} < s′′_{K}, puisque s′′_{K} = s_{2K} = s_{2K−1} + \frac{(−1)^{2K}}{2K} > s_{2K−1} = s′_{K}.

[figure: s; s_{1}; u_{2}; s_{2}; u_{3}; s_{3}; u_{4}; s_{4}; s_{2n−1}; u_{2n}; s_{2n}; u_{2n−1}; s_{2n+1}]

On en déduit que si q > p > 2K, on a à la fois s′_{K} < s_{q} < s′′_{K} et s′_{K} < s_{p} < s′′_{K}, et donc |s_{q} − s_{p}| ≤ s′′_{K} −s′_{K} = s_{2K} −s_{2K−1} = \frac{(−1)^{K}}{2K} = \frac{1}{2K}. A présent, si p et q sont i-grands, nous pouvons choisir K i-grand, et donc |s_{q} − s_{p}| ≃ 0, ce qui montre que la suite (s_{N}) := ∑_{n=1}^{N} \frac{(−1)^{n}}{n} est de Cauchy, donc convergente.

On aura compris qu’on a, plus généralement, la proposition (1.2) suivante, que l’on peut également prouver à l’aide du critère d’Abel (1.9) que nous étudierons plus loin.

Proposition 1.2 Pour toute série alternée ∑_{n≥0} u_{n}, c’est-à-dire tel que u_{n+1} est de signe opposé à celui de u_{n}, si la suite (|u_{n}|)_{n≥0} décroit vers zéro, alors la série ∑_{n≥0} u_{n} est convergente.

1.2.4 Le critère de Cauchy pour les séries

Formulons, en termes de séries, le critère de Cauchy de convergence fondé sur la convergence des suites de Cauchy, tel qu’il peut être formulé pour les séries standard. Rappelons qu’une série (s_{N})_{N≥0} est de Cauchy si et seulement si “lim_{p,q→∞}”s_{p} − s_{q} = 0, ce qui s’exprime, si la suite est standard, par le fait que s_{p} − s_{q} ≃ 0 dès que p et q sont i-grands. Une propriété essentiel de ℝ (que n’a pas ℚ, par exemple), est que toute suite de Cauchy est convergente (de limite égale à ^{o}s_{ω} pour ω i-grand quelconque, toujours si l’on suppose la suite standard).

Théorème 1.3 (Critère de Cauchy pour la convergence des séries) Soit ∑_{n≥0} u_{n} une série standard quelconque. Cette série converge si et seulement si pour tous p et q i-grands, ∑_{n=p+1}^{q} u_{n} est i-petit.

Preuve : Comme nous venons de le rappeler, une suite réelle est convergente si (et bien entendu seulement si) elle est de Cauchy. La série considérée (s_{N})_{N≥0} := ∑_{n≥0} u_{n} est donc convergente si et seulement si s_{p} − s_{q} ≃ 0 dès que p et q sont i-grands ; mais précisément s_{p} − s_{q} = ∑_{n=p+1}^{q} u_{n}, d’où le résultat annoncé. □

1.3 Séries absolument convergentes

Définition : On dit que la série ∑_{n≥0} u_{n} est absolument convergente si et seulement si la série ∑_{n≥0} |u_{n}| est convergente.

Proposition 1.4 Toute série absolument convergente est convergente.

Preuve : Par transfert, nous démontrons le résultat sous l’hypothèse que la série est standard. Par le critère de Cauchy pour les séries (1.3), si la série est absolument convergente, pour tout p et q i-grands, on a ∑_{n=p+1}^{q} |u_{n}| ≃ 0 ; donc par l’inégalité triangulaire, 0 ≤ |∑_{n=p+1}^{q} u_{n}| ≤ ∑_{n=p+1}^{q} |u_{n}| ≃ 0 ; on conclut par le critère de Cauchy (1.3), appliqué à la série ∑_{n≥0}^{q} u_{n} cette fois. □

La réciproque de ce résultat est fausse comme le montre l’exemple de la série harmonique alternée.

Proposition 1.5 Si 0 ≤ u_{n} ≤ v_{n} pour tout n ≥ 0, et si ∑_{n≥0} v_{n} converge, alors ∑_{n≥0} u_{n} converge.

Preuve : Il suffit de remarquer que 0 ≤ ∑_{n=p+1}^{q} u_{n} ≤ ∑_{n=p+1}^{q} v_{n}, de supposer q > p i-grands, et d’appliquer le critère de Cauchysuccessivement à la série ∑_{n≥0} v_{n} puis à la série ∑_{n≥0} u_{n}.

□

Définition : Soient (u_{n})_{n≥0} et (v_{n})_{n≥0} deux suites quelconques, non nulles pour n suffisamment grand. On dit que la suite (u_{n})_{n≥0} est asymptotique à la suite (v_{n})_{n≥0} si et seulement si lim_{n} u_{n}/v_{n} = 1.

Il est facile de voir que la relation “être asymptotique à” est une relation d’équivalence (standard) sur les suites ; d’ailleurs on utilise souvent la terminologie (u_{n})_{n≥0} est équivalente à la suite (v_{n})_{n≥0} pour exprimer la même propriété, et on note (u_{n})_{n≥0} ∼ (v_{n})_{n≥0}, ou plus abusivement u_{n} ∼ v_{n} qui n’a à proprement parler pas de sens (u_{n} et v_{n} sont des nombres, pas des suite), voire (lors de l’application de la proposition suivante) ∑_{n≥0} u_{n} ∼ ∑_{n≥0} v_{n}, ce qui a un sens franchement différent et constitue de ce fait un abus à proscrire.

Proposition 1.6 Si les suites (u_{n})_{n≥0} et (v_{n})_{n≥0} sont positives, et si (u_{n})_{n≥0} ∼ (v_{n})_{n≥0}, alors ∑_{n≥0} u_{n} converge si et seulement si ∑_{n≥0} v_{n} converge.

Preuve : La relation ∼ étant symétrique, quitte à échanger les suites (u_{n})_{n≥0} et (v_{n})_{n≥0}, il suffit de montrer que si ∑_{n≥0} v_{n} converge, il en est de même de ∑_{n≥0} u_{n}. Par transfert, nous pouvons supposer les suite (u_{n})_{n≥0} et (v_{n})_{n≥0} standard, et donc l’hypothèse équivaut au fait que u_{n}/v_{n} = 1 + ε_{n} avec ε_{n} ≃ 0 dès que n est i-grand. En vue d’appliquer le critère de Cauchy, soient p < q i-grands quelconques. Nous avons

∑_{n=p+1}^{q} u_{n} = ∑_{n=p+1}^{q}(1 + ε_{n})v_{n} = ∑_{n=p+1}^{q} v_{n} + ∑_{n=p+1}^{q} ε_{n}v_{n}

Il suffit donc de montrer que ∑_{n=p+1}^{q} ε_{n}v_{n} ≃ 0. Soit ε := Max {|ε_{p+1}|, …, |ε_{q}|} qui est l’un des éléments, tous i-petits, de cet ensemble fini, et est donc i-petit. On a

0 ≤ | ∑_{n=p+1}^{q} ε_{n}v_{n}| ≤ ∑_{n=p+1}^{q} |ε_{n}v_{n}| ≤ ∑_{n=p+1}^{q} εv_{n} = ε ∑_{n=p+1}^{q} v_{n} ≃ 0,

puisque ε ≃ 0, et ∑_{n=p+1}^{q} v_{n} ≃ 0 par le critère de Cauchy. Par ce même critère de Cauchy, la série ∑_{n≥0} u_{n} est donc également convergente. □

Exercice : Soient A := {a_{1}, a_{2}, …, a_{M}} une famille finie de réels de même signe, et E := {ε_{1}, ε_{2}, …, ε_{M}} une famille finie de nombres, réels ou complexes. Il exite dans l’enveloppe convexe de E un ε tel que

∑_{n=1}^{M} ε_{n}a_{n} = ε ∑_{n=1}^{M} a_{n}

En particulier, si les ε_{n} sont i-petits, il en est de même de ε. Et si les ε_{n} sont limités, ε est également limité. En déduire que ∑_{n=1}^{M} a_{n}(1 + ε_{n}) = (1 + ε) ∑_{n=1}^{M} a_{n}.

Solution : Quitte à éventuellement multiplier les deux membres de l’égalité par −1 et écarter les éléments nuls de A, nous pouvons supposer que les a_{n} sont strictement positifs. Posons σ := ∑_{m=0}^{M} a_{m} et λ_{n} = a_{n}/σ. Nous avons donc 0 < λ_{n} ≤ 1 et ∑_{n=0}^{M} λ_{n} = 1. Nous voyons qu’il convient de choisir ε = ∑_{n=1}^{M} ε_{n}a_{n}/ ∑_{n=1}^{M} a_{n}, ce qui se réécrit,

ε = \frac{1}{σ} ∑_{n=1}^{M} ε_{n}a_{n} = ∑_{n=1}^{M} ε_{n} \frac{a_{n}}{σ} = ∑_{n=1}^{M} ε_{n}λ_{n},

qui est une combinaison barycentrique des éléments de E, donc un élément de l’enveloppe convexe de E.

Exercice : Séries de Bertrand : Montrer de façon analogue aux séries de Riemann que ∑_{n≥1} \frac{1}{n^{α}(ln n)^{β}} converge si et seulement si α > 1, ou si α = 1 et β > 1.

A la section 1.5 nous verrons que seules les séries absolument convergentes sont les séries qui convergent indépendamment de l’ordre dans lequel on additionne les termes de la série.

1.3.1 Séries à convergence géométrique

Soit ∑_{n≥0} u_{n} une série à termes u_{n} tous positif. Si la série ∑_{n≥0} u_{n} converge ou diverge aussi rapidement qu’une série géométrique, voici deux tests qui permettent souvent de s’en assurer.

Corollaire 1.7 (Test du rapport, dit “de d’Alembert”) Supposons que lim_{n} u_{n+1}/u_{n} = l ≠ 1. La série ∑_{n≥0} u_{n} est convergente si et seulement si l < 1.

Corollaire 1.8 (Test de la racine, dit “de Cauchy”) Supposons que lim_{n} ^{n}\sqrt{u_{n}} = l ≠ 1. La série ∑_{n≥0} u_{n} est convergente si et seulement si l < 1.

Preuve : Par transfert, nous pouvons supposer la suite (u_{n})_{n≥0} standard, et donc aussi la limite l. Nous savons que la convergence d’une série ne dépends pas des premiers termes de la série ; ainsi, par la proposition 1.5, pour montrer la convergence (resp. divergence) de ∑_{n≥0} u_{n}, il nous suffit de touver une série convergente (resp. divergente) (v_{n})_{n≥0} et un indice n_{0} tel que pour tout n ≥ n_{0} on ait u_{n} ≤ v_{n} (resp. 0 ≤ v_{n} ≤ u_{n}). Ici, il suffira de choisir n_{0} i-grand quelconque ; voici comment procéder pour le choix de (v_{n})_{n≥n_{0}} : on choisira tout d’abord q standard strictement compris entre l et 1 ; par exemple la moyenne q := \frac{l+1}{2}. Comme l ≠ 1, nous avons donc ou bien l <_{≄} q <_{≄} 1 ou bien 1 <_{≄} q <_{≄} l.

Si lim_{n} ^{n}\sqrt{u_{n}} = l, et si l < 1 (et donc q < 1), pour n ≥ n_{0} on a ^{n}\sqrt{u_{n}} ≃ l et donc ^{n}\sqrt{u_{n}} < q, d’où u_{n} < q^{n}: il suffit de poser v_{n} := q^{n}. Si l > 1 (et donc q > 1), pour n ≥ n_{0} on a ^{n}\sqrt{u_{n}} ≃ l et donc n\sqrt{u_{n}} > q, d’où u_{n} > q^{n}: il suffit là encore de poser v_{n} := q^{n}.

Si lim_{n} u_{n+1}/u_{n} = l, et si l < 1 (et donc q < 1), pour n ≥ n_{0} on a u_{n+1}/u_{n} ≃ l, d’où u_{n+1}/u_{n} < q, et plus généralement

\frac{u_{n}}{u_{n−1}} < q ; \frac{u_{n−1}}{u_{n−2}} < q ; …; \frac{u_{n_{0}+1}}{u_{n_{0}}} < q

d’où \frac{u_{n}}{u_{n_{0}}} = \frac{u_{n}}{u_{n−1}} \frac{u_{n−1}}{u_{n−2}} … \frac{u_{n_{0}+1}}{u_{n_{0}}} < q^{n−n_{0}}

ou encore u_{n} < aq^{n}, où on a posé a := u_{n_{0}}/q^{n_{0}} : il suffit de poser v_{n} := aq^{n}.

De même, si lim_{n} u_{n+1}/u_{n} = l > q > 1, pour n ≥ n_{0} on a cette fois u_{n} > v_{n} pour ce même choix v_{n} := aq^{n}, qui est maintenant le terme général d’une série divergente. □

1.4 Théorème d’Abel de semi-convergence

Comme nous le verrons dans la section suivante, une série qui est convergente mais pas absolument convergente a cette propriété que si l’on modifie convenablement l’ordre de ses termes, la limite de ses sommes partielles peut être affectée par ce changement d’ordre, voire ne pas exister du tout. C’est pourquoi il y a une tradition d’appeler semi-convergente toute série convergente qui ne serait pas absolument convergente. Voici un théorème, dû à Niels H. Abel (1802-1829) assurant la semi-convergence de certaines séries.

Théorème 1.9 (critère d’Abel) Si (a_{n})_{n≥0} est une suite telle que la suite des A_{N} := ∑_{n=0}^{N} a_{n} soit bornée, et si (b_{n})_{n≥0} est une suite de réels positifs décroissant vers 0, alors la série ∑_{n≥0} a_{n}b_{n} est (semi-)convergente.

Preuve : La preuve sera facile moyennant le lemme combinatoire suivant :

Lemme 1.10 (sommation par partie discrète) Pour toutes suites (a_{n})_{n≥0} et (b_{n})_{n≥0} de nombres, et tous indices q > p, on a

∑_{n=p+1}^{q} a_{n}b_{n} = A_{q}b_{q} − A_{p}b_{p+1} + ∑_{n=p+1}^{q−1} A_{n}(b_{n} − b_{n+1})

où l’on a posé A_{N} := ∑_{n=0}^{N} a_{n}.

Preuve : On a

∑_{n=p+1}^{q} a_{n}b_{n} = ∑_{n=p+1}^{q}(A_{n} − A_{n−1})b_{n} = ∑_{n=p+1}^{q} A_{n}b_{n} − ∑_{n=p+1}^{q} A_{n−1}b_{n}

= ∑_{n=p+1}^{q} A_{n}b_{n} − ∑_{n=p}^{q−1} A_{n}b_{n+1}

= ∑_{n=p+1}^{q−1} A_{n}(b_{n} − b_{n+1}) + A_{q}b_{q} − A_{p}b_{p+1}

□

A présent nous pouvons prouver le critère d’Abel au moyen du critère de Cauchy : Par transfert, nous pouvons supposer les suites (a_{n})_{n≥0} et (b_{n})_{n≥0} standard, et partant, aussi la suite (A_{n})_{n≥0} ainsi que le majorant commun M de tous les |A_{n}|. Soient q > p i-grands quelconques. Observons que, comme les b_{n} sont décroisants, on a |b_{n} − b_{n+1}| = b_{n} − b_{n+1}, et donc, en appliquant l’inégalité triangulaire à la formule du lemme, nous avons

| ∑_{n=p+1}^{q} a_{n}b_{n}| ≤ |A_{q}|b_{q} + |A_{p}|b_{p+1} + ∑_{n=p+1}^{q−1} |A_{n}|(b_{n} − b_{n+1})

≤ Mb_{q} + Mb_{p+1} + M ∑_{n=p+1}^{q−1}(b_{n} − b_{n+1}) = M(b_{q} + b_{p+1} + b_{p+1} − b_{q}) ≃ 0

□

Exercice : Déduire une nouvelle preuve de la proposition 1.2 du critère d’Abel 1.9.

Après avoir vérifié que la preuve du critère d’Abel 1.9 s’applique également au cas où les a_{n} sont des nombres complexes, formuler et montrer que si (b_{n})_{n≥0} est une suite de réels décroissant vers 0, alors la séries trigonométriques ∑_{n≥0} b_{n}e^{inθ} := ∑_{n≥0} b_{n} cos nθ + i sin nθ converge pourvu que θ ≢ 0(mod2π). (Indication : montrer que A_{n} = (1 − e^{inθ})/(1 − e^{iθ})).

1.5 Suites sommables

Lorsque l’on doit additionner les éléments d’une famille finie de nombres réels, l’associativité et la commutativité de l’addition dans ℝ (ou ℂ) font qu’on est libre d’effectuer les additions dans n’importe quel ordre. Qu’en est-il si l’on a un ensemble infini (x_{i})_{i∈I} de nombres? Lorsque I = ℕ, nous disposons d’un ordre privilégié sur l’ensemble I des indices, ce qui permet d’associer à ce problème une unique suite (s_{N})_{N∈ℕ}, avec s_{N} := ∑_{n=0}^{N} x_{n}, et de convenir que la somme des (x_{n})_{n∈ℕ} est la limite des s_{N}, si elle existe. Mais qu’en est-il si l’on ne veut pas supposer qu’il y a un ordre “naturel” sur l’ensemble des indices?

Envisageons ici simplement le cas où I est dénombrable, c’est-à-dire qu’il existe une bijection n ↦ i(n) de ℕ sur I ^{1} ; dans ce cas on peut considérer la suite des u_{n} := x_{i(n)} et étudier la convergence de la suite des

s_{N} := ∑_{n=0}^{N} u_{n} = ∑_{n=0}^{N} x_{i(n)} = ∑_{i∈i({0,...,N})} x_{i}.

Si la bijection i est naturellement associée à la question, ceci ramène la question à celle de la convergence de la série ∑_{n≥0} u_{n}. ; mais si ce n’est pas le cas, il existe bien d’autres bijections j de ℕ sur I (en fait n’importe quelle j := i ∘ σ où σ est une bijections quelconque de ℕ sur lui-même), et on peut légitimement souhaiter que la suite des

t_{N} := ∑_{n=0}^{N} v_{n} := ∑_{n=0}^{N} x_{j(n)} = ∑_{j∈j({0,...,N})} x_{j}

converge si et seulement si la suite des

s_{N} := ∑_{n=0}^{N} u_{n} = ∑_{n=0}^{N} x_{i(n)} = ∑_{i∈i({0,...,N})} x_{i}

converge et qu’elle conduit à la même somme, d’où la définition :

Définition : On dit qu’une suite (u_{n})_{n∈ℕ} est sommable si et seulement si pour toute bijection σ des entiers, la série ∑_{n≥0} v_{n} := ∑_{n≥0} u_{σ(n)} est convergente. On dit aussi que la série ∑_{n≥0} u_{n} est commutativement sommable.

Visiblement, la notion de sommabilité d’une suite de nombre est une notion standard ; afin de trouver une caractérisation plus commode, nous pouvons donc, sans perte de généralité, commencer par l’étudier dans le cas des suites standard, et pour les bijections σ standard. Observons que dans ce cas, comme l’image d’un standard par une application standard est standard, que pour tout n standard, σ(n) et aussi σ^{−1}(n) sont standard, puisque la bijection inverse σ^{−1} d’une bijection standard est unique, donc standard. En raisonnant par l’absurde nous en déduisons que pour une bijection standard, l’image σ(ω) de tout non-standard ω est non-standard. En d’autres termes, si ω est i-grand, il en est de même de σ(ω).

A présent, pour que la suite (u_{n})_{n≥0} soit sommable, nous voyons qu’il faut que pour tout N i-grand, on ait s_{N} ≃ t_{N}, c’est-à-dire

∑_{n∈{0,...,N}} u_{n} − ∑_{p∈σ({0,...,N})} u_{p} ≃ 0.

Observons que les deux ensembles d’indices {0, …, N} et σ({0, …, N}) = {σ(0), …, σ(N)} ont tous les entiers standard en commun ; en d’autres termes, dans la différence ci-dessus, tous les u_{n} d’indice n standard de la première somme figurent également dans la seconde somme et s’annulent donc deux à deux. Il ne subsite donc, dans la différence, que des u_{ω} d’indice ω i-grand. On est donc conduit à souhaiter que pour une suite sommable, et pour tout ensemble fini F d’indices tous i-grand, on ait ∑_{ω∈F} u_{ω} ≃ 0 ; d’autant que, par le critère de Cauchy, nous savons déjà que pour que ∑_{n≥0} u_{n} converge, il faut et il suffit que ∑_{ω∈F} u_{ω} ≃ 0 pour tout tel ensemble d’indices F de la forme F = {p + 1, p + 2, …, q}, p et q i-grands. Et c’est la bonne idée ; en effet, on a

Lemme 1.11 (critère de sommabilité) Soit (u_{n})_{n≥0} une suite standard. Cette suite est sommable si et seulement si pour tout ensemble fini F d’indices i-grands, on a

∑_{ω∈F} u_{ω} ≃ 0.

1En fait ceci est le seul cas intéressant : on montre qu’il existe une notion naturelle de somme d’une famille infinie seulement dans le cas où l’ensemble des indices pour lesquels x_{i} est non nul est dénombrable

Preuve : La preuve de ce lemme ne demande pas de connaissance nouvelle, mais elle met en oeuvre une technique non-standard dite du “bootstrapping” sans doute neuve pour le lecteur ; celui-ci est donc invité à y revenir ultérieurement, et à s’intéresser en priorité au théorème suivant et à sa preuve qui découle facilement du lemme : ceci peut constituer une motivation à l’étude de la preuve du lemme !

⇐ Supposons que pour tout ensemble fini F d’indices i-grands on a ∑_{ω∈F} u_{ω} ≃ 0. Soit σ une bijection standard de ℕ; soit (v_{n})_{n≥0}: =(u_{σ(n)})_{n≥0} la suite (u_{n})_{n≥0} ainsi renumérotée. Nous devons montrer que ∑_{n≥0} v_{n} converge, et vers la même limite s := ∑_{n=0}^{+∞} u_{n} que la série ∑_{n≥0} u_{n} (qui correspond au cas où σ est l’identité : σ(n) := n).

Soit p < q i-grands quelconques ; on a

∑_{n=p+1}^{q} v_{n} = ∑_{n∈{p+1,...,q}} u_{σ(n)} = ∑_{m∈σ({p+1,...,q})} u_{m} = ∑_{m∈F} u_{m},

où F := σ({p+1, …, q}) qui est un ensemble fini d’entiers tous non standard, puisque σ est une bijection standard, et que les indices p+1, …, q sont tous non standard (voir l’introduction heuristique au lemme). Donc, par le critère de Cauchy, ∑_{n≥0} v_{n} converge. Il reste à vérifier que sa limite t := ∑_{n=0}^{+∞} v_{n} est la même que la limite s := ∑_{n=0}^{+∞} u_{n}.

Soit ω i-grand quelconque ; on a t ≃ ∑_{n=0}^{ω} v_{n} et s ≃ ∑_{n=0}^{ω} u_{n}. Comme s et t sont standard, il suffit de montrer que s ≃ t, et, pour cela, il suffit de montrer que

(t ≃) ∑_{n=0}^{ω} v_{n} ≃ ∑_{n=0}^{ω} u_{n}(≃ s),

ce qui s’écrit encore

( ∑_{n∈D_{+}} u_{n} − ∑_{n∈D_{−}} u_{n} =) ∑_{n∈G} u_{n} − ∑_{n∈Ω} u_{n} ≃ 0,

où l’on a posé Ω := {0, …, ω}, G := {σ(0), …, σ(ω)} = σ({0, …, ω}), et où D_{+} est l’ensembles des indices n dans G qui ne sont pas dans Ω, et D_{−} est l’ensembles des indices n dans Ω qui ne sont pas dans G: seuls les u_{n} tels que n ∈ D_{+} ∪D_{−} ne s’annulent pas deux à deux dans la différence. Les ensembles D_{−} et D_{+} sont finis, et ne comporte aucun élément standard, comme cela a été expliqué dans l’introduction. Par hypothèse, on a donc ∑_{n∈D_{+}} u_{n} ≃ 0 et ∑_{n∈D_{−}} u_{n} ≃ 0, ce qui permet de conclure.

⇒ Nous devons montrer que si la série (standard) ∑_{n≥0} u_{n} est sommable, alors pour tout ensemble fini F d’entiers non standard, on a ∑_{n∈F} u_{n} ≃ 0. Nous allons montrer la contrapposée : s’il existe un ensemble fini F d’entiers non standard tel que ∑_{n∈F} u_{n} n’est pas i-petit, alors il existe une bijection standard σ de ℕ telle que la série ∑_{n≥0} v_{n} := ∑_{n≥0} u_{σ(n)} ne soit pas convergente.

Comme par hypothèse ∑_{n∈F} u_{n} ≄ 0, il existe un standard a > 0 tel que | ∑_{n∈F} u_{n}| > a. Nous avons donc que pour tout standard N

il existe un ensemble fini F d’entiers tous supérieurs a N + 1 tel que |∑_{n∈F} u_{n}| > a  (1.7)

En effet, l’ensemble F dont nous avons supposé l’existence convient bien pour chaque N standard. Mais la formule (1.7) étant standard (puisque la suite (u_{n})_{n≥0} et le réel a le sont), nous avons donc le droit d’applique le transfert, et la formule (1.7) est donc vrai pour tout N, standard ou non. Pour chaque N fixons un choix F (N) de tel ensemble vérifiant (1.7) ; nous venons de montrer l’existence d’une fonction N ↦ F (N) qui a chaque entier associe un ensemble fini d’entiers ayant les propriétés exprimées dans la formule (1.7). Par transfert, nous pouvons supposer en outre qu’il existe en outre une telle fonction qui est standard.^{2}

La figure 1.2 montre comment confectionner une renumérotation v_{n} := u_{σ(n)} des éléments de la suite (u_{n})_{n≥0} telle que la série ∑_{n≥0} v_{n} ne soit pas convergente. L’idée est simple on s’arrange pour que pour la série renumérotée (v_{n})_{n≥0}, pour une suite de N, les éléments u_{n} pour n ∈ F (N_{m}) soient consécutifs,

2Avec la preuve de l’existence de cette fonction standard, nous venons de voir un exemple de “bootstrapping”, expression anglo-saxonne dérivant littéralement de “lacet de chaussure”, et évoquant l’opération (périlleuse et pour le moins extrèmement difficile) consistant à s’auto-soulever en tirant (fort) sur ses lacets. En effet, au moyen de l’existence d’un seul ensemble F d’entiers i-grandsayant une propriété standard donnée, nous avons démontré l’existence de toute une suite standard (F (N))_{N≥0} d’ensembles ayant cette propriété. Le bootstrapping est un exemple de la force de l’axiomatique non-standard.

[figure: ℕ; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 23; 24; x : éléments de F (1); x; x; x; 1; 2; 3=q(1); 4; 5; 6; 7; y : éléments de F (σ^{−1}(q(1)) + 1); y; y; y; 8; 9; 10=q(2); 11; 12; 13; z : éléments de F (σ^{−1}(q(2)) + 1); z; z; z; 14; 15; 16=q(2); 17; 18; 19; 20; 21]

Figure 1.2: Confections d’une renumérotation v_{n} = u_{σ(n)} (bijection σ de ℕ) telle que pour tout N il existe q(N) > p(N) ≥ N tel que | ∑_{n=p(N)+1}^{q(N)} u_{σ(n)}| ≥ a > 0 ; pour une telle renumérotation σ la série ∑_{n≥0} v_{n} := ∑_{n≥0} u_{σ(n)} ne peut être convergente, d’après le critère de Cauchy. Par hypothèse pour tout N il existe un ensemble fini F (N) d’entiers supérieurs à N (on notera F (N) ≥ N) tel que | ∑_{n∈F (N)} | ≥ a.

numérotés de p(m) + 1 à q(m), de telle manière à ce que pour chaque m on ait | ∑_{n=p(m)+1}^{q(N_{m})} v_{n}| = | ∑_{n∈F (N_{m})} u_{n}| > a > 0, ce qui montre, par le critère de Cauchy, que ∑_{n≥0} v_{n} ne peut converger.

Voici comment on numérote σ(n) chaque élément n de ℕ:

1.- On numérote (en croissant) les éléments de F (1) ; soit p(1) tel que p(1) + 1 soit le numéro du premier élément de F (1) numéroté, et q(1) le numéro du dernier entier (σ^{−1}(q(1))) numéroté.

2.- S’il en existe, on numérote ensuite les entiers inférieurs à σ^{−1}(q(1)) qui ne sont pas encore numérotés. On atteint ainsi le numéro σ^{−1}(q(1)) + 1.

3.- On numérote (en croissant) les éléments de F (σ^{−1}(q(1)) + 1)(≥ σ^{−1}(q(1)) + 1) ; soit p(2) tel que p(2) + 1 soit le numéro du premier élément de F (σ^{−1}(q(1)) + 1) numéroté, et q(2) le numéro du dernier entier (σ^{−1}(q(2))) numéroté.

4.- S’il en existe, on numérote ensuite les entiers inférieurs à σ^{−1}(q(2)) qui ne sont pas encore numérotés. On atteint ainsi le numéro σ^{−1}(q(2)) + 1.

5.- On numérote (en croissant) les éléments de F (σ^{−1}(q(2)) + 1) ; …

…

2m-1.- On numérote (en croissant) les éléments de F (σ^{−1}(q(m − 1)) + 1)(≥ σ^{−1}(q(m − 1)) + 1) ; soit p(m) tel que p(m) + 1 soit le numéro du premier élément de F (σ^{−1}(q(m − 1)) + 1) numéroté, et q(m) le numéro du dernier entier (σ^{−1}(q(m))) numéroté.

2m.- S’il en existe, on numérote ensuite les entiers inférieurs à σ^{−1}(q(m)) qui ne sont pas encore numérotés. On atteint ainsi le numéro σ^{−1}(q(m)) + 1.

…

□

Théorème 1.12 Soit (u_{n})_{n≥0} une suite quelconque. La suite (u_{n})_{n≥0} est sommable si et seulement si la série ∑_{n≥0} u_{n} est absolument convergente.

Preuve : Par transfert, il suffit de prouver le théorème dans le cas où la suite (u_{n})_{n≥0} est standard, pour laquelle le critère de sommabilité 1.11 s’applique.

⇒ Supposons (u_{n})_{n≥0} sommable, et montrons que ∑_{n≥0} |u_{n}| converge. Pour cela, en vue d’appliquer le critère de Cauchy, soient p < q i-grandsquelconques. Nous devons montrer que ∑_{n∈F} |u_{n}| est i-petit, où F désigne l’ensemble {p + 1, …, q} des indices compris entre p + 1 et q. Décomposons F en l’ensemble F_{+} des indices où |u_{n}| = u_{n} > 0 et l’ensemble F_{−} des indices où u_{n} ≤ 0, c’est-à-dire |u_{n}| = −u_{n}. Nous avons donc

∑_{n=p+1}^{q} |u_{n}| = ∑_{n∈F} |u_{n}| = ∑_{n∈F_{+}} |u_{n}| + ∑_{n∈F_{−}} |u_{n}| = ∑_{n∈F_{+}} u_{n} − ∑_{n∈F_{−}} u_{n}.

Il ne reste plus qu’à observer que F_{+} et F_{−} sont des ensembles finis d’indices i-grands, et donc, d’après le critère de sommabilité, les deux dernières sommes sont i-petites, d’où ∑_{n=p+1}^{q} u_{n} ≃ 0.

⇐ Supposons ∑_{n≥0} |u_{n}| convergente, et montrons que (u_{n})_{n≥0} est sommable. En vue d’appliquer le critère de sommabilité, soit F un ensemble quelconque d’indices tous i-grands. Posons p := Min F − 1 et q := Max F. Nous avons donc

| ∑_{n∈F} u_{n}| ≤ ∑_{n∈F} |u_{n}| ≤ ∑_{n=p+1}^{q} |u_{n}|,

et cette dernière somme est i-petite, puisque la série ∑_{n≥0} |u_{n}| est convergente. D’où ∑_{n∈F} u_{n} ≃ 0. On conclut en appliquant le critère de sommabilité.

□

Intégrale généralisée

2.1 Définition et critère de Cauchy

Ce chapitre traite de la question du sens à donner à des expressions telles que ∫_{0}^{+∞} e^{−t} sin tdt ou ∫0^{\frac{π}{2}} \frac{dt}{sin \sqrt{t}}. Nous y verrons dans quel sens certaines régions non bornées du plan sont d’aire finie. Soient −∞ ≤ a < b ≤ +∞, et f :]a, b[⟶ ℝ une fonction que l’on suppose intégrable au sens Riemann sur tout intervalle [c, d] ⊂]a, b[, comme dans les exemples ci-dessus. Pour tout x ∈]a, b[ nous pouvons donc poser F_{c}(x) := ∫_{c}^{x} f(t)dt; si c_{1} et c_{2} appratiennent l’un et l’autre à ]a, b[, les fonctions F_{c_{1}} et F_{c_{2}} diffèrent par une constante C, et plus précisément F_{c_{2}}(x) = F_{c_{1}}(x) + C, avec C := ∫_{c_{2}}^{c_{1}} f(t)dt. L’existence des limites que nous allons examiner maintenant ne dépend donc pas du choix de c dans ]a, b[.

Définition : Si les limites lim_{x→a} F_{c}(x) et lim_{x→b} F_{c}(x) existent, on appelle intégrale généralisée de f sur ]a, b[ le nombre, indépendant du choix de c,

∫_{a}^{b} f(t)dt := lim_{α→a} ∫_{α}^{c} f(t)dt + lim_{β→b} ∫_{c}^{β} f(t)dt,

et on dit que l’intégrale ∫_{a}^{b} f(t)dt converge. Nous dirons que f est intégrable sur ]a, b[.

Exemples fondamentaux

Du fait qu’il est possible d’expliciter une primitive des fonctions e^{x} et 1/x^{α}, il est immédiat de vérifier que

• ∫_{0}^{+∞} e^{t}dt diverge alors que ∫_{0}^{+∞} e^{−t}dt converge.

• ∫_{1}^{+∞} \frac{dt}{t^{α}} converge si et seulement si α > 1

• ∫_{0}^{1} \frac{dt}{t^{α}} converge si et seulement si α < 1

Exercice : Montrer que si f est intégrable sur [a, b] (au sens usuel, de Riemann), alors les limites lim_{x→a} F_{c}(x) et lim_{x→b} F_{c}(x) existent, et les deux définitions du symbole ∫_{a}^{b} f(t)dt correspondent au même nombre.

Observons que si f est intégrable au sens de Riemann sur l’intervalle [c, d], cet intervalle est nécessairement borné et la fonction f est nécessairement bornée sur [c, d]. Ce qui peut donc empècher que f soit intégrable sur ]a, b[ alors qu’elle est intégrable sur tout intervalle [c, d] ⊂]a, b[ est, ou bien que l’intervalle ]a, b[ n’est pas borné (c’est-à-dire que a = −∞ ou b = +∞), ou que f n’est pas bornée : c’est ce qui se produit dans les deux exemples liminaires, où toutefois les deux intégrales sont bel et bien convergentes.

Exercice : Montrer que si l’intevalle ]a, b[ est borné, et si la fonction f est bornée sur ]a, b[, alors f est intégrable sur ]a, b[. (Indication : appliquer le critère de Cauchy ci-dessous.

Pour les critères d’intégrabilité auxquels sera consacré la fin de ce chapitre, nous n’envisagerons plus que le problème de l’existence de lim_{β→b} ∫_{c}^{β} f(t)dt, le cas de lim_{α→a} ∫_{α}^{c} f(t)dt se traitant au moyen de la remarque que ∫_{α}^{c} f(t)dt = ∫_{−c}^{−α} f(−t)dt. En pratique, nous ne considèrerons dorénavant que des fonctions intégrables sur tout intervalle [a, β] ⊂ [a, b[ et n’étudierons que la question de l’intégrabilité sur [a, b[, c’est-à-dire l’existence de lim_{β→b} ∫_{a}^{β} f(t)dt.

Notations : Nous dirons que x est i-voisin de +∞ et noterons x ≃ +∞ si et seulement si x est i-grand. En revanche nous proscrirons l’écriture +∞ ≃ x qui encouragerait (par transitivité abusive sur x′ ≃ +∞ ≃ x) l’erreur de déduire que deux i-grands x′ et x sont toujours i-voisins.

Théorème 2.1 (Critère de Cauchy) Soient a < b ≤ +∞ et f : [a, b[⟶ ℝ une fonction standard intégrable sur tout intervalle [a, β] ⊂ [a, b[. La fonction f est intégrable sur [a, b[ si et seulement si pour tous β′ ≃ b et β′′ ≃ b, on a ∫_{β′}^{β′′} f(t)dt ≃ 0.

Preuve : Par transfert, nous pouvons supposer que f, a, et b sont standard, et donc aussi F_{a}. Nous pouvons appliquer la caractérisation non standard de la limite, c’est-à-dire que lim_{x→b} F_{a}(x) existe et vaut I si et seulement si I est standard et pour tout β ≃ b F_{a}(β) = I. Voici la preuve de chacune des implications constituant l’équivalence affirmée :

⇒ Pour tous β′ ≃ b et β′′ ≃ b, nous avons F_{a}(β′) ≃ I et F_{a}(β′′) ≃ I, donc

∫_{β′}^{β′′} f(t)dt = ∫_{β′}^{a} f(t)dt + ∫_{a}^{β′′} f(t)dt = ∫_{a}^{β′′} f(t)dt − ∫_{a}^{β′} f(t)dt = F_{a}(β′′) − F_{a}(β′) ≃ I − I = 0

⇐ Soit β_{0} ≃ b. Nous souhaitons poser I := ^{o}(F_{a}(β_{0})), mais pour cela nous devons nous assurer que F_{a}(β_{0}) est bien presque-standard, c’est à dire limité, puisque tout réel limité est presque standard. Considérons l’ensemble interneE suivant : E := {x ∈ [a, b[ | |F_{a}(β_{0})−F_{a}(x)| ≤ 1}. Si on pose β′′ := β_{0} et β′ := x, on voit que l’ensemble E contient tous les réels i-voisins de β_{0}. Mais les réels i-voisins de β_{0} ne formant pas un ensemble interne (pourquoi? ), E ne peut pas se réduire à ces réels là, et il doit donc aussi comporter un (en fait des) c qui ne soit pas i-voisin de b. Il existe donc aussi un standard c_{0} ∈ [a, b[, c ≃ c_{0} (la partie standard de c). A présent F_{a}(c_{0}) est standard, F_{a}(c) ≃ F_{a}(c_{0}) est donc limité, et donc F_{a}(β_{0}) est également limité, puisque la distance |F_{a}(β_{0}) − F_{a}(c)| de F_{a}(c) à F_{a}(β_{0}) est inférieure à 1. Nous sommes donc bien assurés de l’existence de I := ^{o}(F_{a}(β_{0})), et nous avons bien, pour tout β ≃ b,en posant cette fois β′ := β, F_{a}(β) ≃ F_{a}(β_{0}) ≃ ^{o}(F_{a}(β_{0})) = I, ce qui montre que I = lim_{x→b} F_{a}(x).

□

2.2 Critères d’intégrabilité des fonctions positives

Dans toute cette section f et g désignerons des fonctions réelles définies sur [a, b, [, intégrable au sens de Riemann sur tout intervalle [α, β] contenu dans [a, b, [. On notera F (x) := ∫_{a}^{x} f(t)dt et G(x) := ∫_{a}^{x} g(t)dt. Le résultat suivant indique une raison de s’intéresser à l’intégrabilité de fonctions positives.

Proposition 2.2 Si ∫_{a}^{b} |f(t)|dt converge, alors ∫_{a}^{b} f(t)dt converge.

Preuve : Par transfert, nous pouvons supposer que f, a, et b sont standard ; |f| est donc également standard. Soient β′ < β′′ dans [a, b[ i-voisins de b. On a 0 ≤ | ∫_{β′}^{β′′} f(t)dt| ≤ ∫_{β′}^{β′′} |f(t)|dt, or ce dernier

nombre est i-petit puisque ∫_{a}^{b} |f(t)|dt converge (critère de Cauchy 2.1), donc ∫_{β′}^{β′′} f(t)dt est également

i-petit, ce qui implique que ∫_{a}^{b} f(t)dt converge, par ce même critère de Cauchy. □

Proposition 2.3 On suppose qu’il existe t_{0} < b tel que pour tout t ∈ [t_{0}, b[ on a 0 ≤ f(t) ≤ g(t). Si ∫_{a}^{b} g(t)dt converge, alors ∫_{a}^{b} f(t)dt converge.

Preuve : Par transfert, nous pouvons supposer que f, g, a, et b sont standard. Soient β′ < β′′ dans [a, b[ i-voisins de b. On a 0 ≤ ∫_{β′}^{β′′} f(t)dt ≤ ∫_{β′}^{β′′} g(t)dt, or ce dernier nombre est i-petit puisque ∫_{a}^{b} g(t)dt

converge (critère de Cauchy 2.1), donc ∫_{β′}^{β′′} f(t)dt est également i-petit, ce qui implique que ∫_{a}^{b} f(t)dt converge, par ce même critère de Cauchy. □

Définition : On dit f est équivalente à g au point b, et on note f ∼ g si et seulement si lim_{t→b} f(t)/g(t) = 1.

La relation ∼ est une relation d’équivalence sur l’ensemble des fonctions définies sur [a, b[.

Proposition 2.4 On suppose qu’il existe t_{0} < b tel que g(t) > 0 pour tout t ∈ [t_{0}, b[. Si f ∼ g au point b, alors ∫_{a}^{b} f(t)dt converge si et seulement si ∫_{a}^{b} g(t)dt converge.

Preuve : Par transfert, nous pouvons supposer que f, g, a, b, et t_{0} sont standard. Observons que comme f(β)/g(β) ≃ 1 pour tout β ≃ b, il suffit de choisir un t_{1} ≃ b pour s’assurer qu’il existe un t_{1} ∈ [t_{0}, b[ tel que pour tout t ∈ [t_{1}, b[ on a 0 < \frac{1}{2}g(t) ≤ f(t) ≤ 2g(t). Appliquons le transfert a cette propriété standard : nous en déduisons qu’il existe un tel t_{1} qui est standard. Partant, pour tout t ≃ b, nous avons t_{1} ≤ t < b puisque t_{1} <_{≄} b, et donc 0 < f(t) ≤ 2g(t), d’où, pour tout β′ < β′′ dans [a, b[ i-voisins de b on

a 0 ≤ ∫_{β′}^{β′′} f(t)dt ≤ 2 ∫_{β′}^{β′′} g(t)dt, or ce dernier nombre est i-petit puisque ∫_{a}^{b} g(t)dt converge (critère de

Cauchy 2.1), donc ∫_{β′}^{β′′} f(t)dt est également i-petit, ce qui implique que ∫_{a}^{b} f(t)dt converge, par ce même critère de Cauchy. □

2.3 Le critère d’Abel

Proposition 2.5 (Critère d’Abel) Si F (x) := ∫_{a}^{x} f(t)dt est une fonction bornée sur [a, b[, et si g est dérivable et décroissante vers 0, alors ∫_{a}^{b} f(t)g(t)dt converge.

Preuve : L’idée de la preuve tient dans une intégration par partie, qui donne

∫_{β′}^{β′′} f(t)g(t)dt = [F_{a}(t)g(t)]_{β′}^{β′′} − ∫_{β′}^{β′′} F_{a}(t)g′(t)dt.  (2.1)

Pour le reste, on raisonne comme à l’accoutumée : Par transfert, nous pouvons supposer que f, g, a, et b sont standard. Il en est donc de même pour F = F_{a} qui est donc bornée par un standard M, et donc à valeurs limitées. Par ailleurs g(β) ≃ 0 pour tout β ≃ b; Donc, si β′ ≃ b et β′′ ≃ b, nous voyons que le terme [F_{a}(t)g(t)]_{β′}^{β′′} = F_{a}(β′′)g(β′′) − F_{a}(β′)g(β′) est i-petit. Par ailleurs, pour β′ < β′′, et comme −g′ est positive puisque g est supposée décroissante

|− ∫_{β′}^{β′′} F_{a}(t)g′(t)dt| ≤ ∫_{β′}^{β′′} |F_{a}(t)(−g′(t))|dt ≤ M ∫_{β′}^{β′′} |(−g′(t))|dt = M ∫_{β′}^{β′′} −g′(t))dt = M(−g(β′′)+g(β′)) ≃ 0.

□ 18 CHAPITRE 2. INTÉGRALE GÉNÉRALISÉE

Intégrale double

3.1 Intégrale itérée et théorème de Fubini

On considère un domaine D, fermé-borné de ℝ^{2}, limité par les lignes x = a, x = b, y = \overline{α}(x), et y = \overline{β}(x), où \overline{α} : [a, b] ⟶ ℝ et \overline{β} : [a, b] ⟶ ℝ sont des fonctions continues, telles que \overline{α}(x) ≤ \overline{β}(x) pour tout x ∈ [a, b]. Précisément

D := \{(x, y) ∈ ℝ^{2} | x ∈ [a, b] et y ∈ [\overline{α}(x), \overline{β}(x)]\}.

En considérant x comme un paramètre, on peut intégrer f(x, y) par rapport à y sur l’intervalle [\overline{α}(x), \overline{β}(x)], ce qui donne un nombre dépendant du choix de x, c’est-à-dire une fonction

φ : [a, b] ⟶ ℝ , φ(x) := ∫_{\overline{α}(x)}^{\overline{β}(x)} f(x, y)dy.

Cette fonction est continue ; on peut l’intégrer sur [a, b]_{x} et obtenir le nombre ∫_{a}^{b} φ(x)dx =: I_{1,2}[f], c’est à dire l’intégrale itérée suivante :

I_{1,2}[f] := ∫_{a}^{b} (∫_{\overline{α}(x)}^{\overline{β}(x)} f(x, y)dy) dx.

Exercice : Former I_{1,2}[f] dans le cas [a, b] = [1, 2], \overline{α}(x) = ln(x), \overline{β}(x) = ln(3x), et f(x, y) = e^{x^{2}+y}. On obtient I_{1,2}[e^{x^{2}+y}] = e^{4} − e.

Il peut aussi se trouver que le domaine D se présente sous la forme

D := \{(x, y) ∈ ℝ^{2} | y ∈ [α, β] et x ∈ [\overline{a}(y), \overline{b}(y)]\},

où les fonctions \overline{a} et \overline{b} sont des fonctions continues, \overline{a}(y) ≤ \overline{b}(y) pour y ∈ [α, β]. Dans ce cas on peut former la fonction (continue)

ψ(y) := ∫_{\overline{a}(y)}^{\overline{b}(y)} f(x, y)dx,

qu’on peut intégrer sur [α, β], et obtenir le nombre ∫_{α}^{β} ψ(y)dy =: I_{2,1}[f], c’est à dire l’intégrale itérée suivante :

I_{2,1}[f] := ∫_{α}^{β} (∫_{\overline{a}(y)}^{\overline{b}(y)} f(x, y)dx) dy.

Exercice : En s’aidant d’une représentation graphique du domaine D de l’exercice précèdant, vérifier qu’on peut ici également considérer I_{2,1}[e^{x^{2}+y}]. La remarque que y = ln(x) ⇔ x = e^{y} et y = ln(3x) ⇔ x = e^{y}/3 et la représentation graphique de D permettent de trouver que [α, β] = [0, ln 6], que \overline{α}(y) = 1 si y ≤ ln 3^{1}, et \overline{α}(y) = e^{y}/3 si y ≥ ln 3, et enfin que \overline{β}(y) = e^{y} si y ≤ ln 2, et \overline{β}(y) = 2 si y ≥ ln 2. On notera que l’expression I_{2,1}[e^{x^{2}+y}] obtenue ne peut s’exprimer aussi simplement que I_{1,2}[e^{x^{2}+y}], faute de disposer d’une primitive de e^{x^{2}}. Pourtant :

1Hommage à Homère !

Théorème 3.1 (Fubini) Soit f définie et continue sur un ouvert U contenant le domaine D. Si le domaine D est tel que I_{1,2}[f] et I_{2,1}[f] sont tous les deux définis, alors I_{1,2}[f] = I_{2,1}[f]. La valeur commune est, par définition, égale à ∫∫_{D} f.

Ce théorème est une “évidence” si l’on observe que I_{1,2}[f] comme I_{2,1}[f] représentent l’un et l’autre le volume de la portions du “cylindre” D × ℝ_{z} comprise entre le plan z = 0 et le graphe de f, volume algébrique (i.e. éventuellement négatif), compté positivement là où f(x, y) ≥ 0 et négativement là où f(x, y) ≤ 0. La difficulté réside dans le fait que la notion physique de volume n’est pas définie mathématiquement à ce stade, sauf pour le cas d’un parallélépipède Π(v_{1}, v_{2}, v_{3}) = {λ_{1}v_{1} + λ_{2}v_{2} + λ_{3}v_{3}|λ_{i} ∈ [0, 1]} dont le volume est défini par

vol Π(v_{1}, v_{2}, v_{3}) := | det_{B}(v_{1}, v_{2}, v_{3})|,

où det_{B}(v_{1}, v_{2}, v_{3}) est le déterminant de la matrice formée des vecteurs v_{1}, v_{2}, v_{3} exprimés dans la base B, dont le choix equivaut au choix de l’unité de volume.

3.2 Intégrale double

A l’analogue de la notion d’aire, voici comment définir la notion de volume (algébrique) à partir de la notion de volume d’un parallélépipède.

3.2.1 Volume algébrique de la région V limitée par le graphe de f et z = 0

Nous considérons un domaine standard quelconque D, contenu dans un “pavé fermé” [a, b] × [α, β] et une fonction f standard continue définie sur D. Soient (x_{i})_{i=i_{−}..i_{+}} et (y_{j})_{j=j_{−}..j_{+}} des découpages fins de [a, b] et [α, β] respectivement, ce qui signifie que

a = x_{i_{−}} < x_{i_{−}+1} < … < x_{i_{+}−1} < x_{i_{+}} = b , et
β = y_{j_{−}} < y_{j_{−}+1} < … < y_{j_{+}−1} < y_{j_{+}} = β ,

avec x_{i+1} ≃ x_{i} et y_{j+1} ≃ y_{j} pour tous i et j. Dans chaque segment [x_{i}, x_{i+1}[ choisissons un point ξ_{i} et de même, choisissons un η_{j} ∈ [y_{j}, y_{j+1}[ dans chacun de ces segments. Ainsi, chaque point (ξ_{i}, η_{j}) appartient au pavé P_{ij} := [x_{i}, x_{i+1}[×[y_{j}, y_{j+1}[. Posons \overline{P}_{ij} := [x_{i}, x_{i+1}] × [y_{j}, y_{j+1}]. Le nombre positif Δ_{ij} := (x_{i+1} − x_{i})(y_{j+1} − y_{j}) représente aussi bien l’aire (arithmétique, i.e. positive) du pavé P_{ij} que du pavé fermé \overline{P}_{ij}. Si (ξ_{i}, η_{j}) ∈ D, f(ξ_{i}, η_{j}) est défini, et nous pouvons condidérer la somme S suivante, appelée somme de Riemann double associée au pavage pointé considéré du domaine D,

S := ∑_{(ξ_{i},η_{j})∈D} f(ξ_{i}, η_{j})Δ_{ij}.  (3.1)

Le nombre f(x_{i}, y_{j})Δ_{ij} représente le volume du parallélépipède de base P_{ij} et de hauteur égale à la valeur de f au point (ξ_{i}, η_{j}) choisi dans P_{ij} ; cette intuition géométrique demande de concevoir ℝ_{xy}^{2} comme le plan z = 0 de ℝ_{xyz}^{3}, et son intérêt apparaît lorsqu’on conçoit f comme étant son graphe z = f(x, y). Comme la fonction f est continue, f(ξ_{i}, η_{j}) ≃ f(x, y) pour tout (x, y) ∈ P_{ij}. Comme f et D sont standard, il est naturel de définir le volume algébrique de la région limitée par le graphe de f et z = 0 comme étant la partie standard de S, que nous notons ∫∫_{D} f ou encore ∫∫_{D} f(x, y)dxdy:

∫∫_{D} f := ^{o}( ∑_{(ξ_{i},η_{j})∈D} f(ξ_{i}, η_{j})Δ_{ij}) =: ^{o}S.  (3.2)

Observons qu’ainsi nous avons défini une opération f ↦ ∫∫_{D} f que pour des f et D standard. Nous postulons en outre que cette opération s’étend à une opération standard définie pour tous D et f, standard ou non. La justification de ce postulat est purement logique : c’est un cas particulier de l’axiome de standardisation, une des trois axiomes fondant l’analyse non standard.

3.2.2 Réduction aux fonctions positives

Si f : U :⟶ ℝ et g : U :⟶ ℝ sont deux fonctions, posons

Max_{f,g}(u) := Max {f(u), g(u)} et Min_{f,g}(u) := Min {f(u), g(u)}.

On voit immédiatement que Min_{f,g} = −Max_{−f,−g}.

Proposition 3.2 Si f et g sont continues, il en est de même de Max_{f,g} et Min_{f,g}.

Preuve : Comme Min_{f,g} = −Max_{−f,−g}, il suffit de montrer la continuité de Max_{f,g}. Par transfert, on peut supposer que f, g, et U sont standard. Soit u_{0} standard, et u ≃ u_{0}. Supposons, pour fixer les idées, que Max_{f,g}(u) = f(u), donc

f(u) ≥ g(u),

d’où, par continuité de f et g,

f(u_{0}) = ^{o}(f(u) ≥ ^{o}(g(u)) = g(u_{0}),

et donc Max_{f,g}(u_{0}) = f(u_{0}), d’où, par continuité de f,

Max_{f,g}(u) = f(u) ≃ f(u_{0}) = Max_{f,g}(u_{0}).
□

Pour toute fonction f, posons f_{+} = Max_{f,0} et f_{−} = Max_{−f,0}. C’est deux fonctions sont manifestement positives, et il est facile de voir que f = f_{+} − f_{−}. On en déduit que toute fonction f est la différence de deux fonctions positives, et que si f est continue, ces deux fonctions positives sont continues. Enfin

∫∫_{D} f = ^{o}( ∑_{(ξ_{i},η_{j})∈D}(f_{+} − f_{−})(ξ_{i}, η_{j})Δ_{ij}) = ^{o}( ∑_{(ξ_{i},η_{j})∈D} f_{+}(ξ_{i}, η_{j})Δ_{ij}) −^{o}( ∑_{(ξ_{i},η_{j})∈D} f_{−}(ξ_{i}, η_{j})Δ_{ij})

= ∫∫_{D} f_{+} − ∫∫_{D} f_{−}.

Nous pourrons donc dorénavant nous borner à l’étude de l’intégrale de fonctions continues positives.

3.3 Preuve du théorème de Fubini

Nous supposons dorénavant que f est positive. Observons que la somme S est le volume d’une réunion de parallélépipèdes, et cette réunion n’est pas tout-à-fait égale à la région entre D et le graphe de f : le “haut” des parallélépipèdes n’est qu’i-voisin du graphe de f, et les parallélépipèdes “au-dessus” des pavés P_{ij} à cheval sur le bord y = \overline{α}(x, y) et le bord y = \overline{β}(x, y) sont tantôt pris en entier (si (ξ_{i}, η_{j}) ∈ D), tantôt totalement exclus (si (ξ_{i}, η_{j}) ∉ D). En fait, nous voyons que

0 ≤ S_{−} := ∑_{P_{ij}⊂D} f(ξ_{i}, η_{j})Δ_{ij} ≤ S := ∑_{(ξ_{i},η_{j})∈D} f(ξ_{i}, η_{j})Δ_{ij} ≤ ∑_{P_{ij}∩D≠∅} f(ξ_{i}, η_{j})Δ_{ij} =: S_{+}  (3.3)

puique ces sommes de nombres tous positifs sont étendues à des familles de plus en plus larges : tout d’abord les pavés tout entier contenus dans D, puis les pavés dont le point (ξ_{i}, η_{j}) est contenu dans D, enfin ceux qui rencontrent D en un point au moins. Posons quelques notations : soient

m := Min f(D) , m_{ij} := Min f(\overline{P}_{ij}) , M_{ij} := Max f(\overline{P}_{ij}) , et M := Max f(D).

Ces nombres sont bien définis puisque f est continue, et D et les \overline{P}_{ij} fermés et bornés, et m_{ij} ≃ f(ξ_{i}, η_{j}) ≃ M_{ij}, puisque la fonction f est en outre standard. On a m_{ij} ≤ M_{ij} et m_{ij} ≃ M_{ij}, d’où 0 ≤ δ_{ij} := M_{ij} − m_{ij} ≃ 0. Soit δ le plus grand des δ_{ij} de sorte que

0 ≤ M_{ij} − m_{ij} = δ_{ij} ≤ δ ≃ 0.  (3.4)

3.3.1 Aire de D

Attachons notre attention à l’aire de la réunions des pavés. Rappelons que le pavé P_{ij} a pour aire Δ_{ij} = (x_{i+1} − x_{i})(y_{j+1} − y_{j}) ; posons

d_{−} := ∑_{P_{ij}⊂D} Δ_{ij} , d_{0} := ∑_{(ξ_{i},η_{j})∈D} Δ_{ij} , et d_{+} := ∑_{P_{ij}∩D≠∅} Δ_{ij}.  (3.5)

Comme D contient tous les pavés (disjoints) pris en compte dans la premières sommes, et est contenu dans la réunion des pavés (disjoints) pris en compte dans la dernière, son aire

∂ := ∫_{a}^{b} \overline{β} − ∫_{a}^{b} \overline{α} (= ∫_{a}^{b}(\overline{β} − \overline{α}))

satisfait à d_{−} ≤ ∂ ≤ d_{+}, et comme \overline{α} et \overline{β} sont standard et intégrables, d_{−} ≃ d_{+}, et donc

d_{−} ≃ ∫_{a}^{b}(\overline{β} − \overline{α}) ≃ d_{+}.  (3.6)

Aire de la “tranche” x = ξ_{i}

Posons

A(ξ) = ∫_{\overline{α}(ξ)}^{\overline{β}(ξ)} f(ξ, y)dy ;

A(ξ) représente l’aire de l’intersection de la région V dont nous étudions le volume avec le plan x = ξ. Pour ξ = ξ_{i_{0}}, comme 0 ≤ m_{i_{0}j} ≤ f(ξ_{i_{0}}, y) ≤ M_{i_{0}j} pour tout y ∈ [y_{j}, y_{j+1}], on a

∑_{P_{i_{0}j}⊂D} m_{i_{0}j}(y_{j+1} − y_{j}) ≤ A(ξ_{i_{0}}) ≤ ∑_{P_{i_{0}j}∩D≠∅} M_{i_{0}j}(y_{j+1} − y_{j}).  (3.7)

Revenons à présent aux sommes des volumes des parallélépipèdes ; par (3.3) et définition de m_{ij} et M_{ij}, nous avons

0 ≤ ∑_{P_{ij}⊂D} m_{ij}Δ_{ij} ≤ ∑_{(ξ_{i},η_{j})∈D} f(ξ_{i}, η_{j})Δ_{ij} ≤ ∑_{P_{ij}∩D≠∅} M_{ij}Δ_{ij} ≤ Md_{+}.  (3.8)

De façon analogue, si nous ne considérons que les P_{ij} tels que i = i_{0}, et mettons en facteur le terme (x_{i_{0}+1} − x_{i_{0}}) des Δ_{i_{0}j} := (x_{i_{0}+1} − x_{i_{0}})(y_{j+1} − y_{j}) nous obtenons

0 ≤ (x_{i_{0}+1} − x_{i_{0}}) ∑_{P_{i_{0}j}⊂D} m_{i_{0}j}(y_{j+1} − y_{j})
≤ (x_{i_{0}+1} − x_{i_{0}}) ∑_{(ξ_{i_{0}} ,η_{j})∈D} f(ξ_{i_{0}}, η_{j})(y_{j+1} − y_{j})

≤ (x_{i_{0}+1} − x_{i_{0}}) ∑_{P_{i_{0}j}∩D≠∅} M_{i_{0}j}(y_{j+1} − y_{j}),

et par (3.7) on a

0 ≤ (x_{i_{0}+1} − x_{i_{0}}) ∑_{P_{i_{0}j}⊂D} m_{i_{0}j}(y_{j+1} − y_{j}) ≤ (x_{i_{0}+1} − x_{i_{0}})A(ξ_{i_{0}}) ≤ (x_{i_{0}+1} − x_{i_{0}}) ∑_{P_{i_{0}j}∩D≠∅} M_{i_{0}j}(y_{j+1} − y_{j}).

Regroupement des “tranches” x = ξ_{i}

Etendons à nouveau la somme à tous les indices i. Nous obtenons

∑_{P_{ij}⊂D} m_{ij}Δ_{ij} ≤ ∑_{[x_{i},x_{i+1}[⊂[a,b]}(x_{i+1} − x_{i})A(ξ_{i}) ≤ ∑_{P_{ij}∩D≠∅} M_{ij}Δ_{ij}.  (3.9)

Or, par définition de ∫_{a}^{b} A(x)dx, nous avons

∑_{[x_{i},x_{i+1}[⊂[a,b]}(x_{i+1} − x_{i})A(ξ_{i}) ≃ ∫_{a}^{b} A(x)dx.  (3.10)

Par ailleurs, les trois termes de l’inégalité (3.9) sont tous i-voisins les uns des autres : ceci découle du lemme suivant :

Lemme 3.3

ΔV := ∑_{P_{ij}∩D≠∅} M_{ij}Δ_{ij} − ∑_{P_{ij}⊂D} m_{ij}Δ_{ij} ≃ 0.

Mais achevons tout d’abord la preuve du théorème en admettant provisoirement ce résultat. En appliquant le lemme 3.3 à (3.8) et (3.9), nous voyons que les termes médians de ces inégalités sont i-voisins :

∑_{(ξ_{i},η_{j})∈D} f(ξ_{i}, η_{j})Δ_{ij} ≃ ∑_{[x_{i},x_{i+1}[⊂[a,b]}(x_{i+1} − x_{i})A(ξ_{i}),

d’où, par (3.10), en utilisant la définition de A(x), nous avons finalement

∫_{a}^{b} (∫_{\overline{α}(x)}^{\overline{β}(x)} f(x, y)dy) dx ≃ ∑_{(ξ_{i},η_{j})∈D} f(ξ_{i}, η_{j})Δ_{ij},  (3.11)

d’où, comme ∫_{a}^{b} (∫_{\overline{α}(x)}^{\overline{β}(x)} f(x, y)dy) dx est standard,

∫_{a}^{b} (∫_{\overline{α}(x)}^{\overline{β}(x)} f(x, y)dy) dx = ^{o}( ∑_{(ξ_{i},η_{j})∈D} f(ξ_{i}, η_{j})Δ_{ij}) =: ∫∫_{D} f.

On montrerait de même que

∫_{α}^{β} (∫_{\overline{a}(y)}^{\overline{b}(y)} f(x, y)dx) dy = ∫∫_{D} f

ce qui achève la preuve du théorème de Fubini 3.1, à la preuve du lemme près. □

Preuve du lemme 3.3 :

Appelons “pavé à cheval” tout P_{ij} tel qu’à la fois P_{ij} ∩ D ≠ ∅ et P_{ij} ⊄ D. En (3.6) nous avons vu que l’aire totale d_{+} − d_{−} des pavés à cheval est i-petite. Par ailleurs

∑_{P_{ij}∩D≠∅} M_{ij}Δ_{ij} = ∑_{P_{ij}⊂D} M_{ij}Δ_{ij} + ∑_{P_{ij} à cheval} M_{ij}Δ_{ij}.

d’où

ΔV = ∑_{P_{ij}⊂D} (M_{ij} − m_{ij}) Δ_{ij} + ∑_{P_{ij} à cheval} M_{ij}Δ_{ij}.

Or tous les M_{ij} − m_{ij}(= M_{ij} − m_{ij} ≥ 0) sont i-petits ; soit δ le plus grand de ces nombres. Par ailleurs 0 = m ≤ M_{ij} ≤ M = M − m pour tout i et j, et comme M − m est standard, il est limité. Finalement, par (3.4),

0 ≤ ΔV ≤ ∑_{P_{ij}⊂D} (M_{ij} − m_{ij}) Δ_{ij} + ∑_{P_{ij} à cheval} M_{ij}Δ_{ij}

≤ δ ∑_{P_{ij}⊂D} Δ_{ij} + M ( ∑_{P_{ij} à cheval} Δ_{ii})
= δd_{−} + M(d_{+} − d_{−}) ≃ 0.
□

24 CHAPITRE 3. INTÉGRALE DOUBLE

Espaces normés

Les normes sont des généralisations de la notion de longueur de la géométrie euclidienne. Elles permettent de définir la notion de fonctions continues et surtout de fonctions différentiables entre certaines parties - les ouverts - d’espaces “normés”, c’est-à-dire munis d’une norme.

4.1 Normes et boules

Définition : Une norme sur un espace vectoriel E sur ℝ ou ℂ, généralement notée ∥ ∥, est une fonction de E dans ℝ, à valeurs positives, telle que, pour tous v et w dans E et tous scalaires (nombres) λ et μ, les trois propriétés suivantes sont satisfaites :

1. ∥v∥ = 0 si et seulement si v = 0 (séparation)

2. ∥λv∥ = |λ|∥v∥ (homogénéité)

3. ∥v + w∥ ≤ ∥v∥ + ∥w∥ (inégalité triangulaire)

Selon que λ est réel ou complexe, |λ| désigne sa valeur absolue ou son module.

Observons que par l’homogénéité, pour tout v, on a ∥v∥ = ∥ − v∥, et si v ≠ 0, le vecteur u := v/∥v∥ est tel que ∥u∥ = 1 : on dit que u est le normalisé du vecteur v.

Dans le plan affine, si l’on choisi une origine O, alors pour tout couple de point M et N, on peut poser v := O⃗M et w := O⃗N ; dans ce cas, la distance de M à N est la longueur du vecteur M⃗N = O⃗N − O⃗M = w − v; c’est cette idée que l’on généralise dans un espace normé quelconque de la manière suivante : on appelle distance de v à w le nombre d(v, w) := ∥w − v∥; la distance de v à w est donc nulle si et seulement si v = w. La boule ouverte centrée en v et de rayon r est l’ensemble, noté B(v, r), de tous les w tels que d(v, w) < r. La boule-fermée centrée en v et de rayon r est l’ensemble, noté \overline{B}(v, r), de tous les w tels que d(v, w) ≤ r.

Figure 4.1: a) les boules B((1, 2), 1) et \overline{B}((2, 2), 0.5) dans (ℝ^{2}, ∥ ∥_{1}) ; b) \overline{B}((0, 0), 1) dans (ℝ^{2}, ∥ ∥_{∞}).

La deuxième inégalité triangulaire

Si v et w sont deux vecteurs quelconques, on a ∥v∥ = ∥v−w+w∥ ≤ ∥v−w∥+∥w∥, d’où ∥v∥−∥w∥ ≤ ∥v−w∥. En échageant les rôles de v et w, on a de même ∥w∥ − ∥v∥ ≤ ∥w − v∥ = ∥v − w∥. Donc, que ∥v∥ − ∥w∥ soit positif ou négatif, on a

|∥v∥ − ∥w∥| ≤ ∥v − w∥(deuxième inégalité triangulaire)

Une conséquence de cette “deuxième inégalité triangulaire” est que si v ≃ w, alors ∥v∥ ≃ ∥w∥: deux vecteurs i-voisins sont de longueurs i-voisines. Ceci montre également que la fonction ∥ ∥ : (E, ∥ ∥) ⟶ (ℝ, | |), v ↦ ∥v∥, est une fonction continue.

4.1.1 Quelques normes usuelles

La norme euclidienne

Il est bien connu que la “norme euclidienne” ∥v∥_{2} = ∥(v_{1}, …, v_{d})∥_{2} := (v_{1}^{2} + … + v_{d}^{2})^{\frac{1}{2}} est une norme sur ℝ^{d}. Elle est très importante et est étudiée et généralisée lors de l’étude des produits scalaire (∥v∥_{2} := (v · v)^{\frac{1}{2}} ).

La norme ∥ ∥_{1} sur ℝ^{d}

Elle est défini par ∥v∥_{1} = ∥(v_{1}, ..., v_{d})∥_{1} := |v_{1}| + ... + |v_{d}|. C’est une norme ; en effet 0 = ∥v∥_{1} = |v_{1}| + ... + |v_{d}| si et seulement si |v_{i}| = 0 pour tout i, c’est-à-dire v = 0, d’où la propriété de séparation. D’autre part ∥λv∥_{1} = |λv_{1}| + ... + |λv_{d}| = |λ|(|v_{1}| + ... + |v_{d}|) = |λ|∥v∥_{1}, d’où l’homogénéité. Enfin ∥v + w∥_{1} = |v_{1} + w_{1}| + ... + |v_{d} + +w_{d}| ≤ |v_{1}| + |w_{1}| + ... + |v_{d}| + |w_{d}| = |v_{1}| + ... + |v_{d}| + |w_{1}| + ... + |w_{d}| = ∥v∥_{1} + ∥w∥_{1}, d’où l’inégalité triangulaire.

La norme du max

Rappelons que pour E ⊂ ℝ, Max E désigne le plus grand élément de E, s’il existe, ce qui est toujours le cas si E est fini, ou par exemple si E =]0, 1] ; en revanche Max [0, 1[ n’existe pas (alors que Sup [0, 1[ existe et vaut 1).

Pour v = (v_{1}, ..., v_{d}), on pose ∥v∥_{∞} := Max {|v_{i}|, i = 1..d}; c’est |v_{i_{0}}| pour un (ou plusieurs) indice(s) i_{0}. On a 0 = ∥v∥_{∞} = Max {|v_{i}|} si et seulement si |v_{i}| = 0 pour tout i, ce qui équivaut à v = (0, …, 0) = 0, d’où la propriété de séparation. La propriété d’homogénéité est évidente si λ = 0 ; si |λ| > 0, comme |v_{i}| ≤ |v_{i_{0}}| pour tout i si et seulement si |λ||v_{i}| ≤ |λ||v_{i_{0}}| pour tout i, on a

|λ|∥v∥_{∞} = |λ|Max {|v_{i}|} = |λ||v_{i_{0}}| = Max {|λ||v_{i}|} = Max {|λv_{i}|} = ∥λv∥_{∞},

d’où l’homogénéité. Enfin, soient i_{0} et i_{1} tels que ∥v∥_{∞} = |v_{i_{0}}| et ∥w∥_{∞} = |w_{i_{1}}|. Donc pour tout indice i on a |v_{i} + w_{i}| ≤ (|v_{i}| + |w_{i}|) ≤ |v_{i_{0}}| + |w_{i_{1}}| =) ∥v∥_{∞} + ∥w∥_{∞}, et donc ∥v + w∥_{∞} = Max {|v_{i} + w_{i}|} ≤ ∥v∥_{∞} + ∥w∥_{∞}, d’où l’inégalité triangulaire.

L’exemple v = (100, 1, −99) et w = (−99, 1, 100), d’où v+w = (1, 2, 1) montre que l’inégalité peut être stricte et surtout que ce sont des composantes d’indices différents qui peuvent réaliser les trois nombres ∥v∥_{∞}, ∥w∥_{∞}, et ∥v + w∥_{∞}.

Un exemple de norme non-standard

Soit ε > 0 i-petitet E = ℝ^{2}. Posons ∥(x, y)∥ := ε|x| + |y|. Nous voyons que le vecteur standard (1, 0) a pour norme ∥(1, 0)∥ = ε qui est non-standard ; cette norme est donc non-standard. Observons aussi que le vecteur (1/ε, 0) a pour norme ∥(1/ε, 0)∥ = 1 bien que l’une de ses composantes soit i-grand.

Exercice : Dessiner la boule B((0, 0), 1) pour cette norme.

Norme sur un produit cartésien E′ × E′′

Rappelons que le produit cartésien de deux espaces vectoriels E′ et E′′ est l’espace vectoriel des couples (v′, v′′) ; si les deux espaces sont munis respectivement des normes ∥ ∥′ et ∥ ∥′′, on défini une norme sur E′ × E′′, en posant, pour v := (v′, v′′), ∥v∥ := Max {∥v′∥′, ∥v′′∥′′}. La vérification est identique au cas précédant ; nous la laissons en exercice.

4.1.2 Convexité des boules

Si E est un espace vectoriel et si v et w sont des éléments de E, on appelle segment fermé joignant v et w et on note [v, w] le sous-ensemble de E suivant :

[v, w] := {(1 − λ)v + λw | λ ∈ [0, 1]}

Rappelons qu’un sous-ensemble C ⊆ E est dit convexe si et seulement si pour tout v ∈ C et tout w ∈ C on a [v, w] ⊆ C.

Proposition 4.1 Soit (E, ∥ ∥) un espace normé. Toute boule-ouverte B(u, r) et toute boule-fermée \overline{B}(u, r) est convexe.

Preuve : Calculons la distance du point (1 − λ)v + λw du segment [v, w] au centre u de la boule. On a, en écrivant 1 = 1 − λ + λ,

∥(1 − λ)v + λw − u∥ = ∥(1 − λ)v + λw − ((1 − λ)u + λu)∥  (4.1)
= ∥(1 − λ)(v − u) + λ(w − u)∥  (4.2)
≤ |1 − λ|∥v − u∥ + |λ|∥w − u∥.  (4.3)

A présent, comme λ ∈ [0, 1], |1 − λ| = 1 − λ et |λ| = λ, et d’ailleurs un de ces deux nombres est non nul. Donc si ∥v − u∥ ≤ r et ∥w − u∥ ≤ r, alors |1 − λ|∥v − u∥ + |λ|∥w − u∥ ≤ (1 − λ)r + λr = r, d’où on déduit que toute boule-fermée \overline{B}(u, r) est convexe, et, pour r > 0, si ∥v − u∥ < r et ∥w − u∥ < r, alors |1 − λ|∥v − u∥ + |λ|∥w − u∥ < (1 − λ)r + λr = r, d’où on déduit que toute boule-ouverte B(u, r) est convexe. □

4.2 Continuité

4.2.1 Ordres de grandeurs dans un normé standard

Dire que (E, ∥ ∥) est standard signifie à la fois que l’espace vectorie E est standard et que la fonction ∥ ∥ : E ⟶ ℝ est standard. Ainsi, si E = ℝ^{d}, ceci implique que d est standard, et si v ∈ E est un vecteur standard, alors il en est de même de sa norme ∥v∥. Dans ℝ on sait définir la notion de nombre i-petit, limité, appréciable, et i-grand. Cette notion s’étend immédiatement aux vecteurs d’un espace normé : v ∈ E est i-petit, limité, appréciable, ou i-grand si tel est le cas de ∥v∥. On dit que les vecteurs v et w sont i-voisins si et seulement si v − w est i-petit.

La proposition suivante est une simple traduction géométrique de ∥v − w∥ ≃ 0 :

Proposition 4.2 On a v ≃ w si et seulement si v appartient a toute boule-ouverte non vide de rayon standard centrée en w.

Preuve : Exercice. □

4.2.2 Normes équivalentes

La notion de vecteur i-petit dépend bien entendu du choix de la norme ; par exemple, si ε > 0 est i-petit, ∥v∥ := ε∥v∥_{2} détermine une norme sur ℝ^{2} pour laquelle le vecteur (1, 1) est i-petit. Toutefois, cette nouvelle norme n’est pas standard (alors que ∥ ∥_{2} l’est).

La notion de normes équivalentes est une notion standard. Deux normes standard ∥ ∥′ et ∥ ∥′′ sur E sont dites équivalentes, si et seulement si elles déterminent les mêmes vecteurs i-petits, c’est-à-dire que ∥v∥′ est i-petit si et seulement si ∥v∥′′ est i-petit. En fait, si deux normes déterminent les mêmes i-petits, elles déterminent les mêmes ordres de grandeurs. Plus précisément :

Proposition 4.3 Pour deux normes standard quelconques ∥ ∥′ et ∥ ∥′′ sur un même espace standard, les propriétés suivantes sont équivalentes

1. Les deux normes déterminent les mêmes vecteurs i-petits.

2. Les deux normes déterminent les mêmes vecteurs limités.

3. Les deux normes déterminent les mêmes vecteurs appréciables.

4. Les deux normes déterminent les mêmes vecteurs i-grands.

5. Il existe des M ≥ m > 0 tels que pour tout v ∈ E m∥v∥′ ≤ ∥v∥′′ ≤ M∥v∥′.

Preuve : Montrons tout d’abord que (i)⇒(ii)⇒(iii)⇒(iv)⇒(i) ce qui montrera l’équivalence des quatre premières notions.

(i)⇒(ii) Soit v un vecteur dont l’une des normes, par exemple ∥v∥′, soit limitée. Posons ν := ∥v∥′′ et u := v/ν. On a donc ∥u∥′′ = 1. L’hypothèse (i) implique que ∥u∥′ est non i-petit comme ∥u∥′′. Or ∥u∥′ = ∥v/ν∥′ = ∥v∥′/ν. Donc ν ne peut être i-grand. Donc la norme ∥v∥′′ (= ν) est, elle aussi, limitée.

(ii)⇒(iii) Soit v un vecteur dont l’une des normes, par exemple ∥v∥′, soit appréciable. Posons ν := ∥v∥′′ et u := v/ν. On a donc ∥u∥′′ = 1. L’hypothèse (ii) implique que ∥v∥′′ est limité comme ∥v∥′. Donc ν ne peut être i-grand. L’hypothèse (ii) implique que ∥u∥′ est limité comme ∥u∥′′. Or ∥u∥′ = ∥v∥′/ν. Donc ν ne peut être i-petit. Donc la norme ∥v∥′′ (= ν) est, elle aussi, appréciable.

(iii)⇒(iv) Soit v un vecteur dont l’une des normes, par exemple ∥v∥′, soit i-grande. Posons ν := ∥v∥′′ et u := v/ν. On a donc ∥u∥′′ = 1. L’hypothèse (iii) implique que ∥u∥′ est appréciable comme ∥u∥′′. Or ∥u∥′ = ∥v∥′/ν. Donc ν ne peut être limité. Donc la norme ∥v∥′′ (= ν) est, elle aussi, i-grande.

(iv)⇒(i) Soit v un vecteur dont l’une des normes, par exemple ∥v∥′, soit i-petite. Posons μ := ∥v∥′ ≃ 0 et w := v/μ. On a donc ∥w∥′ = 1. L’hypothèse (iv) implique que ∥w∥′′ est non i-grand comme ∥w∥′. Or ∥w∥′′ = ∥v∥′′/μ. Donc ∥v∥′′ doit être i-petit puisque μ l’est. Donc la norme ∥v∥′′ (= ν) est, elle aussi, i-petite.

Montrons à présent que (iii)⇔(v) ce qui achèvera la preuve de la proposition. Observons que la relation 4.3-5 est toujours vrai si v = 0. Si v ≠ 0, la relation 4.3-5 équivaut à m ≤ ∥v∥′′/∥v∥′ ≤ M. Or ∥v∥′′/∥v∥′ = ∥v/∥v∥′∥′′ = ∥u∥′′, où u = v/∥v∥′. Dire que la relation 4.3-5est vraie pour tout v ∈ E équivaut donc à dire que

Pour tout u ∈ E tel que ∥u∥′ = 1 on am ≤ ∥u∥′′ ≤ M  (4.4)

(iii)⇒(v) L’hypothèse (iii) implique que ∥u∥′′ est appréciable dès que ∥u∥′ = 1. Donc 4.4 est vrai pour tout m i-petit est tout M i-grand. Nous pouvons donc considérer m_{0} := Inf {∥u∥′′ | u ∈ E, ∥u∥′ = 1} et M_{0} := Sup {∥u∥′′ | u ∈ E, ∥u∥′ = 1}. Nous avons vu que m_{0} ne peut être i-petit et M_{0} ne peut être i-grand. Ils sont donc appréciables l’un et l’autre. Il suffit donc de choisir des standard m et M tels que 0 < m ≤ m_{0} ≤ M_{0} ≤ M, par exemple m := ^{o}(m_{0})/2 et M := 2^{o}(M_{0}).

(v)⇒(iii) Il suffit de remarquer que si M ≥ m > 0 sont standard, la relation 4.3-5 et la relation ∥v∥′′/M ≤ ∥v∥′ ≤ ∥v∥′′/m qui en découle montrent immédiatement que ∥v∥′ est appréciable si et seulement si ∥v∥′′ est appréciable.

□

La propriété 4.3-5 est manifestement standard : c’est elle qu’on a retenu pour définir la notion de normes équivalentes dans le cas général, c’est-à-dire que ces normes soient standard ou non.

Définition : Deux normes ∥ ∥′ et ∥ ∥′′ sur E sont équivalentes si et seulement si il existe des réels M ≥ m > 0 tels que pour tout v ∈ E

m∥v∥′ ≤ ∥v∥′′ ≤ M∥v∥′

4.2.3 Fonctions continues

La notion, standard, de fonctions continues s’étant également aux fonctions f : A ⟶ E′′, où A est une partie d’un espace normé E′, et E′′ est également un espace normé : si f est une fonction standard, elle est continue si et seulement si pour tout standard v_{0} ∈ A et tout v ∈ A, si v est i-voisin de v_{0}, alors f(v) est i-voisin de f(v_{0}).

Définition : f : A ⟶ E′′ est continue si et seulement si pour tout v_{0} ∈ A

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀v ∈ A [ ∥v − v_{0}∥′ ≤ δ ⇒ ∥f(v) − f(v_{0})∥′′ ].

Comme pour le cas où E′ = ℝ = E′′, on montre immédiatement la proposition suivante :

Proposition 4.4 Si f : A ⟶ E′′ et g : A ⟶ E′′ sont continue alors f + g est continue. Si E′′ = ℝ, alors fg est continue ; si, de plus, g ne s’annule pas, alors f/g est également continue.

Preuve : Exercice. □

Notations : Soit l ∈ E′′; on dit que l est la limite de f quand v tends vers v_{0} et on écrit l = lim_{v→v_{0}} f(v) si et seulement si

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀v ∈ A [ ∥v − v_{0}∥′ ≤ δ ⇒ ∥f(v) − l∥′′ ].

Avec cette notation, f est continue au point v_{0} si et seulement si lim_{v→v_{0}} f(v) = f(v_{0}). Observons que la locution “v tend vers v_{0}” n’a pas de sens en elle-même, alors que v ≃ v_{0} en a un.

Proposition 4.5 (Fonction à valeurs dans un produit) Soient E, E′, et E′′ des espaces normés et A ⊆ E; on munit E′ × E′′ de la norme-produit. Toute fonction f : A ⟶ E′ × E′′, v ↦ f(v) =: (f_{1}(v), f_{2}(v)) est continue si et seulement si les fonctions-composantes f_{1} : A ⟶ E′ et f_{2} : A ⟶ E′′ sont continues.

Preuve : Exercice. □

La section suivante nous donnera une définition plus géométrique des fonctions continues.

4.3 Ouverts et fermés

Définition : On dit que le sous-ensemble U ⊆ E est ouvert, si et seulement si pour tout u ∈ U, il existe un rayon r > 0 tel que B(u, r) ⊆ U.

Proposition 4.6 Si le sous-ensemble U et l’espace normé E sont standard, U ⊆ E est ouvert si et seulement si pour tout standard u_{0} ∈ U et tout u ≃ u_{0}, u appartient lui aussi à U.

Preuve : Exercice. Indication : penser au boules de rayon i-petit et au transfert ! □

Exemple : Tout intervalle ouvert ]a, b[ et toute demi-droite ouverte ] − ∞, b[ ou ]a, +∞[ est un ouvert de (ℝ, | |) On a le très joli théorème suivant, que nous ne démontrons pas :

Théorème 4.7 Pour tout ouvert U ⊆ ℝ il existe une famille finie ou dénombrable d’intervalles ouverts ]a_{i}, b_{i}[ disjoints deux-à-deux tels que U = ⋃_{i}]a_{i}, b_{i}[.

Exercice : Montrer que toute boule-ouverte B(u, r) est ouverte.

Définition : On dit qu’un sous-ensemble F ⊆ E est fermé si et seulement si le complémantaire F^{c} := E \ F est ouvert.

Exemple : Tout intervalle-fermé [a, b] et toute demi-droite-fermée ] − ∞, b[ ou [a, +∞[ est un fermé de (ℝ, | |)

Proposition 4.8 Si le sous-ensemble F et l’espace normé sont standard, F est fermé si et seulement si pour tout u ∈ U, s’il existe un standard u_{0} ≃ u, alors ce standard u_{0} appartient lui aussi a F.

Preuve : D’après la proposition 4.6, F^{c} est ouvert si et seulement si u_{0} ∈ F^{c} implique que u ∈ F^{c}; on en déduit immédiatement les deux implications annoncées : si F est fermé, u_{0} ne peut pas appartenir F^{c} qui est ouvert, ce qui impliquerait que u ∈ F^{c}: il est donc dans F ; réciproquement, si v_{0} ∈ F^{c} et si v ≃ v_{0}, alors v ne peut appartenir F (sans quoi on aurait aussi v_{0} ∈ F), et donc v ∈ F^{c}, ce qui montre que F^{c} est ouvert. □

Exercice : Montrer que toute boule-fermée \overline{B}(u, r) est fermée.

Rappelons que si f : A ⟶ B est une fonction quelconque, pour tout sous-ensemble V ⊆ B, on appelle image réciproque de V par f et on note f^{−1}(V) le sous-ensemble suivant de A:

f^{−1}(V) := {x ∈ A | f(x) ∈ V }

Cette notion a donc un sens et définit une fonction de P(B) vers P(A), que f soit bijective ou non. Biensûr, si de plus f est bijective, alors elle admet une fonction réciproque f^{−1} : B ⟶ A, et y = f(x) ssi x = f^{−1}(y), mais aussi {x} = f^{−1}({y}), au sens de l’image réciproque. On voit facilement que pour tous V′, V′′, et V contenus dans B, on a

f^{−1}(V′ ∪ V′′) = f^{−1}(V′) ∪ f^{−1}(V′′)
f^{−1}(V′ ∩ V′′) = f^{−1}(V′) ∩ f^{−1}(V′′)
f^{−1}(B \ V) = A \ f^{−1}(V).

Théorème 4.9 Soit f : E′ → E′′ une application entre espaces normés (E′, ∥ ∥_{E′}) et (E′′, ∥ ∥_{E′′}). Il y a équivalence entre les trois propriétés suivantes :

(i) f est continue

(ii) pour tout ouvert U′′ ⊆ E′′ f^{−1}(U′′) est un ouvert U′ ⊆ E′

(iii) pour tout fermé F′′ ⊆ E′′ f^{−1}(F′′) est un fermé F′ ⊆ E′.

Preuve : Par transfert nous pouvons supposer E′, E′′, f, U′′, et F′′ standard, ce qui implique que U′ := f^{−1}(U′′) et F′ := f^{−1}(F′′) sont standard puisque déterminés entièrement par des ensembles et fonction standard. Nous pouvons donc utiliser la propriété caractéristique non-standard d’ouvert et fermé.

(ii)⇔(iii) Comme pour tout sous-ensemble A ⊆ E′′ on a la relation ensembliste f^{−1}(E′′ \ A) = E′ \ f^{−1}(A), il est immédiat de voir que les propriétés (ii) et (iii) sont équivalentes.

(i)⇒(ii) Soit u_{0} ∈ U′ un élément standard quelconque de U′ = f^{−1}(U′′), et u ≃ u_{0}. Comme f est standard continue, f(u) ≃ f(u_{0}), et comme f(u_{0}) est un élément standard de U′′ qui est ouvert, f(u) ∈ U′′: ceci montre que u ∈ U′ lui aussi, et donc U′ est bien ouvert.

(ii)⇒(i) Soit u_{0} un élément standard de E′ et u ≃ u_{0}. Nous devons montrer que f(u) ≃ f(u_{0}), c’est-à-dire, d’après la caractérisation géométrique d’être i-voisins 4.2, que f(u) appartient a toute boule de rayon standard centrée en f(u_{0}). Or chacune de ces boules est en particulier un ouvert standard U′′ contenant f(u_{0}) ; par hypothèse U′ := f^{−1}(U′′) est un ouvert standard, et u_{0} ∈ U′ puisque f(u_{0}) ∈ U′′; par la caractérisation non standard des ouverts standards 4.6 on a donc u ∈ U′ puisque u ≃ u_{0}, et donc f(u) ∈ U′′

□

Corollaire 4.10 La composée g ∘ f de fonctions continues est continue.

Preuve : Soit U un ouvert quelconque du but de l’application g, qui est aussi le but de g ∘ f. Comme g est continue V := g^{−1}(U) est un ouvert du domaine de g, qui est aussi le but de f ; comme f est continue, f^{−1}(V) est un ouvert. Donc (g ∘ f)^{−1}(U) = g^{−1}(f^{−1}(U)) = g^{−1}(V) est bien ouvert. □

Exemples : Soient F := \{(x, y) | (x−2y)y ≤ 0\}, U := \{(x, y) | (x−2y)y < 0\}, et A := \{(x, y) | \frac{x}{2y} ≤ 2}. Posons f(x, y) := (x − 2y)y qui est somme et produit de fonctions continues, donc continu. Comme F = f^{−1}(]−∞, 0], et que ]−∞, 0] est fermé, F est donc fermé. Comme U = f^{−1}(]−∞, 0[, et que ]−∞, 0[ est ouvert, U est donc ouvert. Soit g(x, y) := \frac{x}{y}, qui est le rapport de deux fonctions continues, et est donc continue sur son domaine de définition, ici les (x, y) tels que y ≠ 0. On a bien A = g^{−1}(] − ∞, 2] et ] − ∞, 2] est bien fermé, mais A n’est pas fermé dans ℝ^{2}, car g n’est pas défini sur tout ℝ^{2}. Pourtant la relation \frac{x}{y} ≤ 2 équivaut à (x − 2y)y ≤ 0, dès que y ≠ 0. En fait A = F ∩ \{(x, y) | y ≠ 0\}, et F est le plus petit fermé contenant A, ou encore F est l’adhérence de A, dans le sens suivant :

Définition : On dit que u ∈ E est adhérent à A ⊆ E si et seulement si toute boule de rayon strictement positif centrée au point u rencontre A; on appelle adhérence de A et on note \overline{A} ou Adh (A) l’ensemble des points adhérents à A. En d’autres termes

u ∈ Adh (A) ⇔ ∀r > 0 B(u, r) ∩ A ≠ ∅.

Proposition 4.11 Pour tout A ⊆ E, Adh A est fermé ; c’est le plus petit fermé (au sens de l’inclusion) contenant A.

Preuve : exercice. □

Proposition 4.12 Soit E un espace normé standard. Si u_{0} ∈ E et A sont standard, alors Adh (A) est standard ; u_{0} ∈ Adh (A) si et seulement si il existe a ∈ A tel que a ≃ u_{0}.

Preuve : Adh (A) est déterminé de manière unique à partir de A et de la norme sur E qui sont standard par hypothèse ; Adh (A) est donc standard ; à présent

[⇒ ] Si u ∈ Adh (A) on a B(u, r) ∩ A ≠ ∅ pour tout r > 0 ; il suffit d’appliquer cela pour un tel r qui soit infinitésimal.

[⇐ ]Par transfert (licite car A et u sont standard), il suffit de montrer que B(u_{0}, r) ∩ A ≠ ∅ dans le cas où r > 0 est standard. Mais alors a ∈ B(u_{0}, r) puisque a ≃ u_{0}, et donc ∥a − u_{0}∥ < r, le premier étant i-petit et le second étant appréciable. Donc a ∈ B(u_{0}, r) ∩ A ≠ ∅.

□

4.4 Sous ensembles compacts d’un normé

Rappelons qu’un sous-ensemble standard F ⊆ E est fermé si et seulement si pour tout u ∈ F, si u_{0} ∈ E est tel que u ≃ u_{0}, alors u_{0} ∈ F lui aussi. Mais, même si F est fermé, ceci n’assure pas qu’il existe effectivement un standard u_{0} tel que u_{0} ≃ u; ainsi la demi-droite fermée [1, +∞[ est bien fermé, mais elle comporte des u i-grands et ceux-ci ne sont i-voisins d’aucun standard. Cette situation ne pourra pas se présenter dans le cas d’un sous-ensemble compact.

La notion de sous-ensemble compact K ⊆ E est une notion standard. Nous ne la caractériserons pas en toute généralité^{1}, mais seulement dans le cas où K et l’espace normé sont standard. Nous en donnerons au chapitre une caractérisation générale dans le cas d’un espace de dimension finie.

Définition : Soit K un sous-ensemble standard d’un espace normé standard. On dit que K est compact si et seulement si pour tout u ∈ K il existe un standard u_{0} ∈ K tel que u ≃ u_{0}.

Observons que deux standard u′_{0} et u′′_{0} i-voisins sont nécessairement égaux, puisque ∥u′_{0} − u′′_{0}∥ ≃ 0 implique que ∥u′_{0} − u′′_{0}∥ = 0 car ∥u′_{0} − u′′_{0}∥ est standard, et donc u′_{0} − u′′_{0} = 0, c’est-à-dire u′_{0} = u′′_{0}. C’est pourquoi u_{0} est appelé la partie-standard de u.

Comme évoqué dans l’introduction de cette section, on a :

Proposition 4.13 Si K ⊆ E est compact, alors K est fermé.

Preuve : Les notions de compact et de fermé étant des notions standard, on peut appliquer le transfert, et supposer E et K standard. Nous allons appliquer la caractérisation 4.8 des fermés standard : soit u ∈ K et u_{0} un standard de E tel que u ≃ u_{0}. Donc u_{0} est la partie standard de u, et par compacité de K, cette partie standard d’un élément de K appartient K. □

Proposition 4.14 Pour tout fermé F ⊆ E, si F est contenu dans un compact K, ce fermé est lui-même compact.

1Voici néanmoins la définition générale, que nous n’utiliserons pas : K est compact si et seulement si pour tout famille U := (U_{i})_{i∈I} d’ouverts telle que K ⊆ ⋃_{i∈I} U_{i}, il existe une sous-famille finie U_{0} := (U_{i})_{i∈I_{0}} telle que K ⊆ ⋃_{i∈I_{0}} U_{i}, ce qui se prononce “de tout recouvrement ouvert de K, on peut extraire un recouvrement fini”.

Preuve : Par transfert on peut supposer F et K compact. Soit u ∈ F ⊆ K; donc u admet une partie standard u_{0} ∈ K, mais, comme F est fermé, u_{0} ∈ F, et donc tout u admet une partie standard u_{0} ∈ F.

□

Voici un exemple utile de compact :

Proposition 4.15 Toute boule-fermée \overline{B}_{∞}(v_{0}, r) de (ℝ^{d}, ∥ ∥_{∞}) est compacte.

Preuve : Par transfert, on peut supposer que d, v_{0}, et r sont standard. Soit u = (u^{1}, …, u^{d}) ∈ \overline{B}_{∞}(v_{0}, r) ; pour tout i = 1..d

|u^{i}| ≤ ∥u∥_{∞} ≤ ∥u − v_{0}∥_{∞} + ∥v_{0}∥_{∞} ≤ r + ∥v_{0}∥_{∞},

ce dernier nombre étant standard ; donc u^{i} est limité, donc i-proche d’un standard u_{0}^{i}. Soit u_{0} := (u_{0}^{1}, …, u_{0}^{d}) qui est standard car composé que d’éléments standard ; on a ∥u − u_{0}∥_{∞} = Max {u^{1} − u_{0}^{1}, …, u^{d} − u_{0}^{d}} ≃ 0 puisque u^{i} ≃ u_{0}^{i} pour tout i = 1..d, et donc u ≃ u_{0}. □

Rappelons qu’on dit que A est borné s’il existe R ≥ 0 tel que A ⊆ B(0, R).

Proposition 4.16 Tout compact est borné.

Preuve : Par transfert, on peut supposer l’espace, E, la norme, ∥ ∥, et le compact, K standard. Choisissons R i-grand ; la norme ∥u_{0}∥ de tout standard u_{0} ∈ E est standard, et si u ≃ u_{0}, sa norme ∥u∥ est i-voisine de ∥u_{0}∥, donc limitée, d’où u ∈ B(0, R). Comme K est compact, chaque u ∈ K est i-voisin d’un standard, et donc K ⊆ B(0, R). □

On déduit des propositions 4.13 et 4.16 le résultat suivant relatif aux compacts de (ℝ, | |) :

Corollaire 4.17 Si K ⊆ ℝ est compact, Sup K et Inf K existent et appartiennent à K.

Preuve : Par transfert, on peut supposer K standard. Comme K est borné, il existe R tel que K ⊆ ]−R, +R[ (= B(O, R) dans ℝ). Donc K est majoré et minoré ; soient k_{−} = Inf K et k_{+} = Sup K. Comme ces nombre sont uniques et déterminés par K qui est standard, ils sont standard. Montrons qui’ils sont dans K. Comme k_{+}(= Sup K) est le plus petit minorant de K, pour tout ε > 0 on a K ∩ [k_{+} − ε, k_{+}] ≠ ∅. Si on choisit ε i-petit on voit qu’il existe u ∈ K tel que u ≃ k_{+}. Comme K est fermé et k_{+} standard, ceci implique que k_{+} ∈ K. On raisonne de façon analogue pour k_{−} □

Proposition 4.18 Soient K ⊆ E′ et f : K ⟶ E′′. Si K est compact et f continue, alors f(K) est compact.

En d’autres termes, l’image continue de tout compact et compact.

Preuve : Par transfert on peut supposer E′, E′′, K, et f standard. Soit v ∈ f(K) ; il existe donc u ∈ K tel que v = f(u). Comme K est compact, il existe un standard u_{0} ∈ K tel que u ≃ u_{0}. Comme f est continue v_{0} := f(u_{0}) ≃ f(u) = v. Comme f et u_{0} sont standard, v_{0} := f(u_{0}) est standard. Il existe donc bien un standard v_{0} ∈ f(K) tel que v ≃ v_{0} ; K est donc bien compact. □

Théorème 4.19 Soit K ⊆ E et f : K ⟶ ℝ. Si K est compact et f continue, il existe u_{−} ∈ K et u_{+} ∈ K tels que f(u_{−}) ≤ f(u) ≤ f(u_{+}) pour tout u ∈ K.

On dit que u_{−} est un minimum de f et que f(u_{−}) est la valeur minimale de f ; de façon analogue, u_{+} est un maximum de f et f(u_{+}) est la valeur maximale. Ce théorème s’ennonce souvent toute fonction continue sur un compact atteind ses valeurs minimale et maximale sur ce compact.

Preuve : Par la proposition 4.18 f(K) est compact, et par la proposition 4.17, il existe k_{−} et k_{+} dans ce compact f(K) tel que k_{−} = Inf f(K) et k_{+} = Sup f(K) ; k_{±} ∈ f(K) signifie précisément qu’il existe u_{−} ∈ K et u_{+} ∈ K tels que f(u_{−}) = k_{−} = Inf f(K) et f(u_{+}) = k_{+} = Sup f(K). □

Espaces normés de dimension finie

Nous dégageons dans ce chapitre quelques résultats spécifiques aux espaces de dimension finie. Si E est un ℝ-espace vectoriel de dimension finie d, il existe une base B comportant d éléments :

B = {e_{1}, …, e_{d}}.

De façon analogue à la norme ∥ ∥_{∞} sur ℝ^{r}, nous pouvons considérer la norme ∥ ∥_{B} sur E définie par

∥v∥_{B} := Max {|v^{1}|, …, |v^{d}|}

si v = v^{1}e_{1} + … + v^{d}e_{d}. Si E est supposé standard, il en est de même de d (qui est uniquement déterminé par E), et il existe une base standard B; comme cet ensemble est fini, ses éléments e_{i} sont tous standard, et la norme ∥ ∥_{B} est elle aussi standard, puisqu’uniquement déterminée par E et B.

Dans la suite E désignera un espace vectoriel normé sur ℝ ou ℂ de dimension finie d.

5.1 Normes equivalentes

Théorème 5.1 Si E est de dimension finie, toutes les normes sur E sont équivalentes.

Preuve : Il suffit de montrer que toute norme ∥ ∥ est équivalente à la norme ∥ ∥_{B}. Par ailleurs, le théorème étant standard, nous pouvons supposer que E, ∥ ∥, et B sont standard, ce qui implique que ∥ ∥_{B} est standard. En vertu de la proposition 4.3 donnant des propriétés caractéristiques des normes standard équivalentes, il suffit que nous montrions que pour tout vecteur v = v^{1}e_{1} + … + v^{d}e_{d} ∈ E non nul, ∥v∥ ≃ 0 si et seulement si ∥v∥_{B} ≃ 0.

Supposons tout d’abord que ∥v∥_{B} ≃ 0 ; donc ∥v∥_{B} := Max {|v^{1}|, …, |v^{d}|} ≃ 0, d’où v^{1} ≃ 0,…,v^{d} ≃ 0. A présent, comme les e_{i} sont standard, leur norme ∥e_{i}∥ est standard donc limitée, et comme d est standard, nous avons

∥v∥ = ∥v^{1}e_{1} + … + v^{d}e_{d}∥ ≤ |v^{1}|∥e_{1}∥ + … + |v^{d}|∥e_{d}∥ ≃ 0.

puisque somme de d nombres i-petits, avec d standard.

Réciproquement, supposons que ∥v∥ ≃ 0. Posons u := v/∥v∥_{B} =: u^{1}e_{1} + … + u^{d}e_{d}. Donc ∥u∥_{B} = 1, d’où |u_{i}| ≤ 1 pour tout i = 1 … d. Les nombres u_{i} sont donc limités et donc presque-standard : pour chaque i = 1 … d, soit u_{0}^{i} l’unique standard i-voisin de u^{i}, et u_{0} := u_{0}^{1}e_{1} + … + u_{0}^{d}e_{d}, qui est standard puisque combinaison linéaire à coefficients standard d’une famille finie standard (B) de vecteurs.

Notons que u_{0} ≠ 0, puisque, comme ∥u∥_{B} = 1, il existe au moins un indice i_{0} tel que |u^{i_{0}}| = 1, et donc |u_{0}^{i_{0}}| = 1. Biensûr ∥u − u_{0}∥ = Max {|u^{1} − u_{0}^{1}|, …, |u^{d} − u_{0}^{d}|} ≃ 0.

A présent, par le deuxième inégalité triangulaire, |∥u∥ − ∥u_{0}∥| ≤ ∥u − u_{0}∥ ≃ 0, d’où ∥u∥ ≃ ∥u_{0}∥, et comme ce dernier nombre est standard et non nul, nous voyons que ∥u∥ =: a est limité. Résumons :

a = ∥u∥ = ∥v/∥v∥_{B}∥ = ∥v∥/∥v∥_{B},

d’où ∥v∥_{B} = a∥v∥ ≃ 0

□

5.2 Convergence des suites de Cauchy

Rappelons que la notion de suite de Cauchy de E est une notion standard, et si (u_{n})_{n≥0} est une suite standard, elle est de Cauchy si et seulement si pour tous q ≥ p i-grands, u_{p} ≃ u_{q}. Si (u_{n})_{n≥0} converge, elle est de Cauchy, puisque si u := lim_{n} u_{n}, on a u_{p} ≃ u ≃ u_{q}, et donc u_{p} ≃ u_{q}. La réciproque est vraie également :

Théorème 5.2 Si E est de dimension finie, toute suite de Cauchy de E converge dans E.

Preuve : Soit (u_{n})_{n≥0} une suite de Cauchy de E quelconque et montrons que (u_{n})_{n≥0} est convergente. Par transfert nous pouvons supposer que E, ∥ ∥, et (u_{n})_{n≥0} sont standard. Soit B une base standard de E; par le théorème précédant 5.1, les normes ∥ ∥ et ∥ ∥_{B} sont équivalentes, et comme elles sont standard, elle déterminent les mêmes vecteurs i-petits. En d’autres termes, comme (u_{n})_{n≥0} une suite de Cauchy (pour ∥ ∥), pour tout q ≥ p i-grands, ∥u_{p} − u_{q}∥ ≃ 0, et donc ∥u_{p} − u_{q}∥_{B} ≃ 0. Nous en déduisons

∃N ∀n ≥ N ∥u_{n} − u_{N}∥_{B} ≤ 1,

puisque n’importe quel N i-grand convient. Mais cette propriété est standard, et ne fait intervenir que des objets standard ((u_{n})_{n≥0}, ∥ ∥_{B}, −, ≤, et 1). Par transfert

∃^{st}N ∀n ≥ N ∥u_{n} − u_{N}∥_{B} ≤ 1,

Désignons par N un tel standard tel que ∥u_{n} − u_{N}∥_{B} ≤ 1 pour tout n ≥ N. Nous pouvons à présent confectionner une (en fait la) limite de (u_{n})_{n≥0} ; voici comment :

Soit ω i-grand fixé ; comme ω ≥ N nous avons |u_{ω}^{i} − u_{N}^{i}| ≤ 1 pour tout i = 1 … d, et donc |u_{ω}^{i}| ≤ 1 + |u_{N}^{i}| et ce dernier nombre est standard, donc u_{ω}^{i} est limité ; soit \overline{u}^{i} l’unique standard i-voisin de u_{ω}^{i}, et \overline{u} := \overline{u}^{1}e_{1} + … + \overline{u}^{d}e_{d}, qui est standard puisque combinaison linéaire à coefficients standard d’une famille finie standard (B) de vecteurs, et biensûr ∥\overline{u} − u_{ω}∥_{B} = Max \{|\overline{u}^{1} − u_{ω}^{1}|, …, |\overline{u}^{d} − u_{ω}^{d}|\} ≃ 0. Mais comme les normes, standard, ∥ ∥_{B} et ∥ ∥ sont équivalentes, on a aussi, ∥\overline{u} − u_{ω}∥ ≃ 0. A présent, pour tout n i-grand, comme ω est également i-grand et que (u_{n})_{n≥0} est de Cauchy, nous avons bien

∥\overline{u} − u_{n}∥ ≤ ∥\overline{u} − u_{ω}∥ + ∥u_{ω} − u_{n}∥ ≃ 0,

et donc \overline{u} = lim_{n} u_{n}. □

De façon générale, on appelle espace de Banach tout espace normé dont toutes les suites de Cauchy sont convergentes. Le théorème 5.2 montre donc que tout espace normé de dimension finie est un espace de Banach.

5.3 Compacts

Théorème 5.3 Soit K un sous-ensemble de E. Si E est de dimension finie, alors K est compact si et seulement si K est à la fois fermé et borné.

Preuve : Par les propositions 4.13 et 4.16 et sans avoir à se restreindre aux espaces de dimension finie, nous savons que tout compact est à la fois fermé et borné.

Nous n’avons donc que la réciproque à démontrer ; supposons donc K ⊆ E fermé et borné, c’està-dire qu’il existe R ≥ 0 tel que K ⊆ B(0, R). Par transfert nous pouvons supposer E, d, ∥ ∥, K, et R standard. Nous devons montrer que tout u ∈ K est i-voisin d’un standard u_{0} ∈ K. Choisissons une base standard B = {e_{1}, …, e_{d}} de E et considérons la norme ∥ ∥_{B} associée. Décomposons u sur B; on a u = u^{1}e_{d} + … + u^{d}e_{d} et ∥u∥_{B} = Max {|u^{i}|}; par le théorème 5.1 les normes ∥ ∥ et ∥ ∥_{B} sont équivalentes, et comme elles sont standard, par la proposition 4.3, elles détermines les mêmes limités ; comme ∥u∥ ≤ R est limité, ∥u∥_{B} est limité, c’est-à-dire Max {|u^{i}|}(= ∥u∥_{B}) est limité. Donc toutes les composantes u^{i} de u sur la base B sont limitées, donc chacune i-voisine d’un standard u_{0}^{i}. Il suffit de poser u_{0} = u_{0}^{1}e_{1} + … + u_{0}^{d}e_{d}, qui est standard puisque combinaison linéaire à coefficients standard d’une famille finie standard (B) de vecteurs, et biensûr ∥u_{0} − u∥_{B} = Max {|u_{0}^{1} − u^{1}|, …, |u_{0}^{d} − u^{d}|} ≃ 0. Mais comme les normes ∥ ∥ et ∥ ∥_{B} sont équivalentes, ceci implique que ∥u_{0} − u∥ ≃ 0 : on a bien u_{0} ≃ u, et comme u ∈ K et que K est fermé, u_{0} ∈ K. □

Rappelons que si K est compact et que si f : K ⟶ ℝ est continue, alors f admet sur K (au moins) un minimum et un maximum (4.17). On a donc, dans tout espace de dimension finie E, si K est fermé et borné il existe des éléments k_{−} ∈ K et k_{+} ∈ K tels que pour tout k ∈ K

Min_{v∈K}f(v) := f(k_{−}) ≤ f(k) ≤ f(k_{+}) =: Max_{v∈K}f(v).

Observons également que dans un espace normé de dimension finie, toute boule fermée \overline{B}(u, R) et toute sphère S(u, R) est donc compacte.

5.4 Applications linéaires continues

Théorème 5.4 Soit L : E ⟶ F une application linéaire. Si E est de dimension finie, L est nécessairement continue.

Preuve : Par transfert, on peut supposer que L, E, ∥ ∥_{E}, F, et ∥ ∥_{F} sont standard ; soit B une base standard de E, et ∥ ∥_{B} la norme associée à cette base. Soit u_{0} = u_{0}^{1}e_{d} + … + u_{0}^{d}e_{d} un élément standard de E et u = u^{1}e_{d} + … + u^{d}e_{d} ≃ u_{0} ; ceci signifie que ∥u − u_{0}∥ ≃ 0, et implique que ∥u − u_{0}∥_{B} ≃ 0 puisque ces normes sont équivalentes. Donc u^{1} ≃ u_{0}^{1},…,u^{d} ≃ u_{0}^{d}. Nous devons montrer que L[u] ≃ L[u_{0}], on encore, compte tenu de la linéarité de L, L[u − u_{0}] = L[u] − L[u_{0}] ≃ 0. Or, toujours par linéarité de L,

L[u − u_{0}] = (u^{1} − u_{0}^{1})L[e_{1}] + … + (u^{d} − u_{0}^{d})L[e_{d}] , donc
∥L[u − u_{0}]∥ ≤ |u^{1} − u_{0}^{1}|∥L[e_{1}]∥ + … + |u^{d} − u_{0}^{d}|∥L[e_{d}]∥ ;

or les ∥L[e_{i}]∥ sont standard donc limités, et les |u^{i} − u_{0}^{i}| sont i-petits. Donc ∥L[u − u_{0}]∥ est majoré par la somme de d nombres i-petits, avec d standard, donc ∥L[u − u_{0}]∥ ≃ 0. □

Le théorème 5.3 montre en particulier que si E est de dimension finie, la boule unité centrée en 0, consituée des u ∈ E tels que ∥u∥ ≤ 1, est compacte. Si L : E ⟶ F est linéaire, et si E est de dimension finie, la fonction l : E ⟶ ℝ définie par l(u) = ∥L[u]∥ est continue. On peut donc considérer le nombre N(L) := Max_{∥u∥≤1}l(u). L’application N qui a toute application linéaire L de E vers F associe le nombre N(L) défini ci-dessus est une norme sur l’espace vectoriel des applications linéaires de E vers F. Le nombre N(L) est de ce fait généralement noté ∥L∥; en d’autres termes^{1} ∥L∥ := Max_{∥u∥≤1}∥L[u]∥.

Proposition 5.5 Si E est de dimension finie, la norme sur L(E, F) définie par

∥L∥ := Max_{∥u∥≤1}∥L[u]∥  (5.1)

vérifie les propriétés suivantes : Pour tout v ∈ E, on a

∥L[v]∥ ≤ ∥L∥ · ∥v∥  (5.2)

et si M : F ⟶ G est également une application linéaire et si F est de dimension finie, alors ∥M∥ et ∥M ∘ L∥ sont également définies, et on a

∥M ∘ L∥ ≤ ∥M∥ · ∥L∥.  (5.3)

Preuve : Pour v = 0 l’inégalité 5.2 résulte de L[0] = 0. Si v ≠ 0, considérons u := v/∥v∥, d’où ∥u∥ = 1, et par la définition 5.1,

∥L[u]∥ ≤ ∥L∥ ;

or

(∥L∥ ≥) ∥L[u]∥ = ∥L[v/∥v∥]∥ = ∥L[v]/∥v∥∥ = ∥L[v]∥/∥v∥

d’où 5.2, en multipliant les deux membres de cette dernière inégalité par ∥v∥.

Soit u ∈ E tel que ∥u∥ ≤ 1. En appliquant 5.2 successivement à (M, L[u]) et (L, u) on a

∥M[L[u]]∥ ≤ ∥M∥ · ∥L[u]∥ ≤ ∥M∥ · ∥L∥ · ∥u∥ ≤ ∥M∥ · ∥L∥

pour tout u ∈ E tel que ∥u∥ ≤ 1. Comme ∥M ∘ L∥ := Max_{∥u∥≤1}∥M ∘ L [u]∥ désigne le plus petit des majorants de ∥M[L[u]]∥ pour tout u ∈ E tel que ∥u∥ ≤ 1, on a bien ∥M ∘ L∥ ≤ ∥M∥ · ∥L∥, c’est-à-dire l’inégalité 5.3. □

1Notez que la notation ∥ ∥ est utilisée ici dans trois sens différents : dans ∥u∥ elle désigne la norme dans E, dans ∥L[u]∥ elle désigne la norme dans F, et dans ∥L∥ elle désigne la norme dans l’espace vectoriel L(E, F) des applications linéaires (continues) de E dans F.

36 CHAPITRE 5. ESPACES NORMÉS DE DIMENSION FINIE

Matrice jacobienne d’une fonction

Nous considérons dans ce chapitre une fonction f : ℝ^{n} ⟶ ℝ^{p}, v ↦ w = f(v). Plus précisément, on supposera que le domaine de définition D_{f} de la fonction f est un ouvert U de ℝ^{n}. Ainsi, pour v_{0} ∈ D_{f}, f(v_{0} + h) sera défini pour tout h i-petit relativement^{1} à f et v_{0}. On notera indifféremment par ∥ ∥ la norme sur ℝ^{n} et celle sur ℝ^{p}.

6.1 Différentielle

Définition : On dit que f est différentiable au point v_{0} ∈ D_{f} si et seulement si il existe une fonction linéaire continue L telle que

f(v_{0} + h) = f(v_{0}) + L[h] + ∥h∥δ(h)  (6.1)

où la fonction δ déterminée par cette relation tend vers 0 avec h. La fonction linéaire L est dite tangente à f au point v_{0}.

Si f, v_{0}, et L sont standard, il en sera de même de la fonction δ qui est déterminée, pour h ≠ 0, par (6.1) et ces trois objets, puisque

δ(h) = \frac{f(v_{0} + h) − f(v_{0})}{∥h∥}.

Dans ce cas l’hypothèse que lim_{h→0} δ(h) = 0 se réduit à une notion d’ordre de grandeur :

si h ≠ 0 est i-petit, alors δ(h) est i-petit.

L’intérêt de cette approche est qu’elle est statique (on ne s’intéresse qu’à un h ≃ 0), alors que l’approche par lim_{h→0} δ(h) évoque l’évolution de δ(h) lorsque ∥h∥ devient de plus en plus petit : c’est une idée dynamique, plus difficile à manier dès que d’autres grandeurs doivent également évoluer. Le prix à payer pour pouvoir sans perte de généralité fixer ainsi h à une valeur infinitésimale est à peu près toujours la même : montrer au préalable qu’il suffit de ne considérer le problème que dans le cas où les “paramètres libres” (ici f, v_{0}, et L) sont tous standard ; ceci est rendu possible très souvent par application d’une des deux versions du principe de transfert. Si tel est le cas, cette phase préparatoire se déroule toujours à la manière de l’incantation “par transfert, on peut supposer que … sont standard”. Une fois que cette démarche est comprise dans un exemple, elle devient naturelle dans toute autre situation, totalement indépendamment des situations géométriques envisagées.

Proposition 6.1 Il existe au plus une fonction linéaire tangente en un point v_{0} à une fonction f. Si une telle fonction linéaire existe, on l’appelle la différentielle de f au point v_{0}, et on la note D_{v_{0}}f. En d’autres termes, on écrira D_{v_{0}}f[h] pour L[h] et on aura f(v_{0} + h) = f(v_{0}) + D_{v_{0}}f[h] + ∥h∥δ(h).

Preuve : Par transfert, on peut supposer f et v_{0} standard. Supposons qu’il existe deux applications linéaires L_{1} et L_{2} satisfaisant (6.1). Par transfert, il existe alors aussi deux applications linénaires standard L_{1} et L_{2} satisfaisant (6.1). On a

(L_{1} − L_{2})[h] = L_{1}[h] − L_{2}[h] = ∥h∥δ_{1}(h) − ∥h∥δ_{2}(h),

1 c’est-à-dire si f et v_{0} sont supposés standard

Figure 6.1: Graphe de la fonction f : ℝ ⟶ ℝ^{2}, v ↦ w = f(v) = (cos(v), sin(v)) et son image par une loupe

et donc

(L_{1} − L_{2}) [\frac{h}{∥h∥}] = δ_{1}(h) − δ_{2}(h) =: δ(h).

Lemme 6.2 Soit E ≠ ∅ un ensemble (interne) de nombre tous i-petits, alors Sup E ≃ 0 ≃ Inf E.

Preuve : [du lemme] Soit ε_{0} ∈ E ; Sup E ≥ ε_{0} donc S := Sup E est soit i-petit soit appréciable positif. Si S était appréciable positif, il en serait de même de S/2 et donc, pour tout ε ∈ E, comme ε est i-petit, on aurait ε < S/2 < S d’où S = Sup E ≤ S/2 < S ce qui est absurde. Le preuve de inf E ≃ 0 est analogue, d’où le lemme. □

Soient u ∈ E quelconque tel que ∥u∥ = 1, et h_{u} = h := αu, avec α ≃ 0 non nul. On a h/∥h∥ = αu/∥αu∥ = αu/α∥u∥ = u, donc, en appliquant le lemme 6.2,

∥L_{1} − L_{2}∥ = Sup_{∥u∥=1}∥(L_{1} − L_{2})[u]∥ = Sup_{∥u∥=1}∥(L_{1} − L_{2})[h_{u}/∥h_{u}∥]∥Sup_{∥u∥=1}∥δ(h_{u})∥ ≃ 0.

Mais L_{1} − L_{2} est standard, donc ∥L_{1} − L_{2}∥ est standard ; donc ∥L_{1} − L_{2}∥ = 0, puisque 0 est le seul standard i-petit. Finalement L_{1} − L_{2} = 0, c’est-à-dire L_{1} = L_{2}. □

Remarques :

Loupe Soit f : ℝ ⟶ ℝ une fonction standard, et v_{0} ∈ ℝ un point standard. En première année, vous avez vu que f est dérivable au point v_{0} si et seulement si l’image sous la loupe centrée au point (v_{0}, f(v_{0})) de son graphe est une droite de pente p, où p est la dérivée au point considéré ; la situation ici est parfaitement identique, moyennant le fait de généraliser le nom “droite” par “graphe de fonction linéaire L”. En effet, rappelons qu’on entend par loupe centrée au point standard^{2} (v_{0}, f(v_{0})), le fait de considérer les valeurs limitées des variables V et W liées à v et w par les relations

v = v_{0} + εV et w = f(v_{0}) + εW

pour ε > 0 infinitésimal quelconque. Sous la loupe on obtient le graphe de la fonction F telle que W = F (V), c’est-à-dire, d’après w = f(v), on a

f(v_{0}) + εW = w_{0} + εW = w = f(v) = f(v_{0} + εV),

d’où

F (V) = W = \frac{1}{ε}(f(v_{0} + εV) − f(v_{0}))

Choisissons h = εV ; En utilisant la linéarité de L nous voyons que la relation (6.1) équivaut à

δ(h) = \frac{f(v_{0} + h) − f(v_{0})}{∥h∥} − L [\frac{h}{∥h∥}] = \frac{f(v_{0} + εV) − f(v_{0})}{∥εV ∥} − L [\frac{εV}{∥εV ∥}] = \frac{1}{∥V ∥}(F (V) − L[V]).

Nous voyons donc que pour V appréciable, δ(h) ≃ 0 équivaut bien a F (V) ≃ L[V].

normes équivalentes Comme nous venons de le voir, la relation (6.1) détermine la valeur de δ(h) et le fait L = D_{v_{0}}f équivaut à ce que δ(h) soit i-petit dès que h est i-petit. A présent, si on remplace les normes sur ℝ^{n} et ℝ^{p} par des normes équivalentes, on ne change pas les i-petits : on ne change donc pas non plus la notion de différentiabilité. En particulier, en dimension finie, on pourra choisir la norme qui nous arrange pour la fonction considérée.

2 Si on supposait ceci aussi pour les points presque-standard, c’est-à-dire i-voisins d’un standard du domaine de f, on déboucherait directement sur la notion de fonction de classe C^{1}.

6.2 Différentiabilité, matrice jacobienne

6.2.1 Quelques règles de différentiabilité

Proposition 6.3 Soit g également définie sur un ouvert de ℝ^{n} et à valeurs dans ℝ^{p}. Soient λ et μ des nombres. Si f et g sont différentiables au point v, il en est de même de la fonction λf + μg, et D_{v}(λf + μg) = λD_{v}f + μD_{v}g.

Preuve : Comme f et g sont différentiables au point v_{0}, il existe des fonctions h ↦ δ(h) et h ↦ ε(h) avec lim_{h→0} δ(h) = 0 = lim_{h→0} ε(h) telles que

f(v_{0} + h) = f(v_{0}) + D_{v_{0}}f[h] + ∥h∥δ(h)
g(v_{0} + h) = g(v_{0}) + D_{v_{0}}g[h] + ∥h∥ε(h)

d’où

(λf + μg)(v_{0} + h) := λf(v_{0} + h) + μg(v_{0} + h)
= λ(f(v_{0}) + D_{v_{0}}f[h] + ∥h∥δ(h)) + μ(g(v_{0}) + D_{v_{0}}g[h] + ∥h∥ε(h))
= λf(v_{0}) + μg(v_{0}) + λD_{v_{0}}f[h] + μD_{v_{0}}g[h] + ∥h∥λδ(h) + ∥h∥με(h)
=: (λf + μg)(v_{0}) + (λD_{v_{0}}f + μD_{v_{0}}g)[h] + ∥h∥(λδ + με)(h)

Comme lim_{h→0}(λδ + με)(h) = lim_{h→0}(λδ(h) + με(h)) = λ lim_{h→0} δ(h) + μ lim_{h→0} ε(h) = 0, ceci montre que λf + μg est différentiable au point v_{0} avec

D_{v_{0}}(λf + μg) = λD_{v_{0}}f + μD_{v_{0}}g.
□

Proposition 6.4

1. Toute fonction constante f(v) = c est différentiable en chaque point, et sa différentielle en chaque v ∈ ℝ^{n} est la fonction nulle.

2. Toute fonction linéaire (continue) L : ℝ^{n} ⟶ ℝ^{p} est différentiable en chaque point v ∈ ℝ^{n}, et D_{v}L[h] = L[h] ; D_{v}L est donc indépendante du choix de v ∈ ℝ^{n}.

3. Si n = 1, f est dérivable au point v de dérivée f′(v) si et seulement si f est différentiable au point v, et D_{v}f[h] = hf′(v).

4. Posons E_{1} = ℝ^{n_{1}} et E_{2} = ℝ^{n−2} ; donc E_{1} × E_{2} = ℝ^{n_{1}+n_{2}}. Si b : E_{1} × E_{2} ⟶ F est bilinéaire continue, elle est différentiable en tout point (v_{1}, v_{2}) ∈ E_{1} × E_{2}, et D_{(v_{1},v_{2})}b[(h_{1}, h_{2})] = b[h_{1}, v_{2}] + b[v_{1}, h_{2}].

Preuve :

1. On a f(v + h) = c = f(v) = f(v) + 0[h] + ∥h∥0, d’où D_{v}f[h] = 0.

2. On a L[v + h] = L[v] + L[h] = L[v] + L[h] + ∥h∥0, d’où D_{v}L[h] = L[h].

3. Supposons f dérivable au point v, de dérivée f′(v), c’est-à-dire

f′(v) = lim_{h→0} \frac{f(v + h) − f(v)}{h} ∈ ℝ^{p}

(pour h ≠ 0, \frac{1}{h} a bien un sens puisque h ∈ ℝ). Posons δ̂(h) := \frac{f(v+h)−f(v)}{h} −f′(v), d’où lim_{h→0} δ̂(h) = 0, et δ(h) := \frac{h}{|h|} δ̂(h), d’où lim_{h→0} δ(h) = ± lim_{h→0} δ̂(h) = 0. On a donc

f(v + h) = f(v) + hf′(v) + hδ̂(h) = f(v) + hf′(v) + |h|δ(h)

ce qui montre que D_{v}f[h] = hf′(v).

Réciproquement, si f(v + h) = f(v) + D_{v}f[h] + |h|δ(h), avec lim_{h→0} δ(h) = 0, alors

lim_{h→0} \frac{f(v + h) − f(v)}{h} = lim_{h→0}(D_{v}f [\frac{h}{h}] + \frac{|h|}{h}δ(h))
= D_{v}f[1] + lim_{h→0} ±δ(h) = D_{v}f[1]

ce qui montre que f′(v) = D_{v}f[1], et donc hf′(v) = hD_{v}f[1] = D_{v}f[h].

4. Par transfert, on peut, sans perte de généralité, supposer n_{1}, n_{2}, p, ∥ ∥, b, v_{1} et v_{2} standard. En appliquant la linéarité de b par rapport à chacun de ses deux arguments, on a :

b(v_{1} + h_{1}, v_{2} + h_{2}) = b(v_{1}, v_{2} + h_{2}) + b(h_{1}, v_{2} + h_{2}) = b(v_{1}, v_{2}) + b(v_{1}, h_{2}) + b(h_{1}, v_{2}) + b(h_{1}, h_{2})

Nous avons ∥h∥ = ∥(h_{1}, h_{2})∥ = Max {∥h_{1}∥, ∥h_{2}∥} si nous choisissons la norme ∥ ∥_{∞} sur ℝ^{n_{1}}, ℝ^{n_{2}}, et ℝ^{n_{1}+n_{2}}. Observons que

∥\frac{h_{1}}{\sqrt{∥h∥}}∥ = \frac{∥h_{1}∥}{\sqrt{∥h∥}} = \sqrt{\frac{∥h_{1}∥^{2}}{∥h∥}} ≤ \sqrt{\frac{∥h∥^{2}}{∥h∥}} = \sqrt{∥h∥} ≃ 0 si h ≃ 0,

et de même ∥\frac{h_{2}}{\sqrt{∥h∥}} ∥ ≃ 0 si h ≃ 0. Définissons δ(h) par b(h_{1}, h_{2}) = ∥h∥δ(h). On a δ(h) =

\frac{1}{\sqrt{∥h∥}\sqrt{∥h∥}}b(h_{1}, h_{2}) = b (\frac{h_{1}}{\sqrt{∥h∥}}, \frac{h_{2}}{\sqrt{∥h∥}}) ≃ 0 puisque b est continue, que b(0, 0) = 0 et que (\frac{h_{1}}{\sqrt{∥h∥}}, \frac{h_{2}}{\sqrt{∥h∥}}) ≃

0. D’où D_{(v_{1},v_{2})}b[(h_{1}, h_{2})] = b[h_{1}, v_{2}] + b[v_{1}, h_{2}].
□

Théorème 6.5 Soit f différentiable au point v et soit g différentiable au point w = f(v) ; alors g ∘ f est différentiable au point v, et D_{v}(g ∘ f) = D_{w}g ∘ D_{v}f. En particulier

Jac (g ∘ f)(v) = Jac g(f(v)) × Jac f(v).

Preuve : On peut, sans perte de généralité, supposer f, g et v standard ; donc w = f(v), D_{v}f et D_{w}g sont standard, puisqu’ils sont déterminés uniquement par f, g et w. Par hypothèse, pour tout h ≃ 0 et k ≃ 0, il existe δ ≃ 0 et ε ≃ 0 tels que :

f(v + h) = f(v) + D_{v}f[h] + ∥h∥δ
g(w + k) = g(w) + D_{w}g[k] + ∥k∥ε

Choisissons k = D_{v}f[h] + ∥h∥δ. On a k ≃ 0 puisque D_{v}f[h] ≃ 0. Nous avons

g ∘ f(v + h) = g(f(v) + D_{v}f[h] + ∥h∥δ)
= g(f(v)) + D_{w}g[D_{v}f[h] + ∥h∥δ] + ∥k∥ε
= g ∘ f(v) + D_{w}g ∘ D_{v}f[h] + D_{w}g[∥h∥δ] + ∥k∥ε.

Nous devons vérifier que \frac{1}{∥h∥}D_{w}g[∥h∥δ]+∥k∥ε ≃ 0. Or ∥k∥ = ∥D_{v}f∥[h]+∥h∥δ∥ ≤ D_{v}f∥·∥h∥+∥h∥·∥δ∥ = ∥h∥l avec l := ∥D_{v}f∥ + ∥δ∥ donc limité puisque ∥D_{w}f∥ est standard et δ ≃ 0.

On a donc

∥\frac{1}{∥h∥}(D_{w}g[∥h∥δ] + ∥k∥ε)∥ = \frac{1}{∥h∥}∥D_{w}g[∥h∥δ] + ∥k∥ε∥
≤ \frac{1}{∥h∥}(∥D_{w}g[∥h∥δ]∥ + ∥h∥l∥ε∥)
≤ \frac{1}{∥h∥}(∥h∥∥D_{w}g[δ]∥ + ∥h∥l∥ε∥)
≤ ∥D_{w}g[δ]∥ + l∥ε∥

Or cette dernière quantité est i-petite puisque δ ≃ 0 et donc D_{w}g[δ] ≃ 0, ε ≃ 0 et l est limité. □

6.2.2 Fonctions-composantes, dérivées partielles, jacobienne

Comme f(v) ∈ ℝ^{p}, f(v) est un vecteur (f_{1}(v), .., f_{p}(v)) ; cette écriture revient à poser f_{i} = pr_{i} ∘ f où pr_{i} désigne la projection de ℝ^{p} sur la i-ème composante, c’est-à-dire pr_{i}[w] = pr_{i}[(w_{1}, .., w_{p})] := w_{i}. Comme un ensemble fini est standard si et seulement si tous ses éléments sont standard, la fonction f est standard si et seulement si toutes ses composantes f_{1}, f_{2}, …, f_{p} le sont. Rappelons que nous savons déjà que la fonction f est continue si et seulement si f_{i} est continue, pour tout i = 1..p.

Proposition 6.6 Avec les notations qui précèdent, la fonction f est différentiable au point v si et seulement si toutes les fonctions f_{i} le sont.

Preuve : Par transfert, on peut supposer f et v standard, ce qui implique que les f_{i} le sont aussi. Comme f_{i} = pr_{i}∘f, la différentiabilité de f implique celle des f_{i} puisque pr_{i} est linéaire donc différentiable (proposition 6.4) et que la composée de fonctions différentiables est différentiable (théorème 6.5). Réciproquement, supposons les f_{i} différentiables et posons L[h] = (D_{v}f_{1}[h] + … + D_{v}f_{p}[h]). Comme par hypothèse

f_{i}(v + h) = f_{i}(v) + D_{v}f_{i}[h] + ∥h∥δ_{i}(h)

avec δ_{i}(h) ≃ 0 dès que h ≃ 0, on a donc

f(v + h) = f(v) + L[h] + ∥h∥δ(h)

avec δ(h) = (δ_{1}(h), …, δ_{p}(h)). Si h ≃ 0, ∥δ(h)∥_{∞} = Max {|δ_{1}(h)|, …, |δ_{p}(h)|} ≃ 0. Comme δ est standard puisque tel est le cas de chacune de ses composantes, ceci implique que lim_{h→0} δ(h) = 0.

□

La notion de dérivée partielle de f_{i} : ℝ^{n} ⟶ ℝ a été introduite en première année, et il a été démontré que si f_{i} est différentiable au point v, alors toutes les dérivées partielles ∂f_{i}/∂v_{j}(v) existent (j = 1..n), et la matrice de la différentielle D_{v}f_{i} dans la base canonique de ℝ^{n} est égale à Grad f := (∂f_{i}/∂v_{1}(v) .. ∂f_{i}/∂v_{n}(v)) ; ce vecteur ligne est appelé vecteur gradient de f_{i} au point v.

Corollaire 6.7 Si f est différentiable au point v, alors la matrice de D_{v}f dans la base canonique est la matrice

Jac f(v) := ( \begin{matrix}\frac{∂f_{1}}{∂v_{1}} (v) & ⋯ & \frac{∂f_{1}}{∂v_{j}} (v) & ⋯ & \frac{∂f_{1}}{∂v_{n}} (v) \\ ⋮ & & ⋮ & & ⋮ \\ \frac{∂f_{i}}{∂v_{1}} (v) & ⋯ & \frac{∂f_{i}}{∂v_{j}} (v) & ⋯ & \frac{∂f_{i}}{∂v_{n}} (v) \\ ⋮ & & ⋮ & & ⋮ \\ \frac{∂f_{p}}{∂v_{1}} (v) & ⋯ & \frac{∂f_{p}}{∂v_{j}} (v) & ⋯ & \frac{∂f_{p}}{∂v_{n}} (v) \end{matrix} )

appelée matrice Jacobienne^{3} de f au point v.

Théorème 6.8 Soit U un ouvert de ℝ^{n}. Si pour chaque i = 1..p et chaque j = 1..n la fonction v ↦ \frac{∂f_{i}}{∂x_{j}} (v) est continue pour v ∈ U, alors f est différentiable en tout point v ∈ U, et D_{v}f[V] = Jac f(v) · V.

Preuve : Ce théorème vous a été démontré en première année dans le cas p = 1. Pour le cas général, la proposition 6.6 montre que f est différentiable ssi chaque fonction f_{i} l’est. Or les fonctions f_{i} sont à valeurs dans ℝ et on peut donc leur appliquer le théorème connu du cas p = 1.

□

Définition : On dit que f est continûment différentiable, ou encore f est C^{1}, si et seulement si les hypothèses du théorème 6.8 sont satisfaites.On désigne par C^{1}(U, ℝ^{p}) l’ensemble des fonctions qui sont continûment différentiables sur U et à valeurs dans ℝ^{p}.

6.2.3 Le théorème des accroissements finis

Rappelons que pour une fonction de ℝ dans ℝ suffisamment régulière le théorème des accroissements finis assure l’existence d’un c ∈]a, a + H[ tel que f(a + H) − f(a)(= Hf′(c)) = D_{c}f[H]. Sous cette forme, le théorème ne se généralise pas à une fonction à valeurs dans ℝ^{p} de dimension plus grande. Ceci peut se voir sur l’exemple de la fonction f : ℝ → ℝ^{2} définie par f(t) := (cos t, sin t), pour laquelle on a Jac f(t) = (− sin t, cos t), et donc, pour H ≠ 0, l’“accroissement linéaire” Jac f(c) × H est non nul pour n’importe quel c. En revanche, pour H = 2π, l’accroissement “exact” f(a + 2π) − f(a) est toujours nul.

Il est toutefois possible de majorer l’accroissement, moyennant une majoration de la différentielle. Commençons par une majoration dans le cas particulier d’une fonction φ : ℝ ⟶ ℝ^{p}.

Proposition 6.9 Soit φ : ℝ ⊇ [a, b] ⟶ ℝ^{p}, continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Si ∥φ′(t)∥_{∞} ≤ M pour tout t ∈]a, b[, alors ∥φ(b) − φ(a)∥_{∞} ≤ |b − a|M.

3Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851)

Preuve : Posons φ(t) = (φ_{1}(t), …, φ_{p}(t)) ; φ est continue si et seulement si les φ_{i} le sont, et dérivable si et seulement si les φ_{i} le sont. Le théorème des accroissements finis pour une fonction de ℝ dans ℝ assure l’existence, pour chaque^{4} i = 1 … p d’un c_{i} ∈]a, b[ tel que

φ_{i}(b) − φ_{i}(a) = (b − a)φ′_{i}(c_{i}).

Finalement,

∥φ(b) − φ(a)∥_{∞} = ∥(b − a)(φ′_{1}(c_{1}), …, φ′_{p}(c_{p}))∥_{∞} = |b − a|∥(φ′_{1}(c_{1}), …, φ′_{p}(c_{p}))∥_{∞} ≤ |b − a|M
□

Théorème 6.10 On munit ℝ^{p} de la norme ∥ ∥_{∞}. Soit f : ℝ^{n} ⊇ [v, w] ⟶ ℝ^{p}, continue sur [v, w] et différentiable sur ]v, w[, où

[v, w] := {v + t(w − v) ∈ ℝ^{n} | t ∈ [0, 1]} et ]v, w[:= {v + t(w − v) ∈ ℝ^{n} | t ∈]0, 1[}.

Si ∥D_{u}f∥ ≤ M pour tout u ∈]v, w[, alors

∥f(w) − f(v)∥_{∞} ≤ ∥w − v∥M.

Preuve : Soit γ : ℝ ⟶ ℝ^{n}, γ(t) = v + t(w − v), et φ : [0, 1] ⟶ ℝ^{p}, φ = f ∘ γ. Par le théorème de diférentiabilité des fonctions composée 6.5, φ = f ∘ γ, qui est continue sur [0, 1], est aussi différentiable sur ]0, 1[, et

φ′(t) = D_{t}φ[1] = D_{γ(t)}f ∘ D_{t}γ[1] = D_{u}f[γ′(t)] = D_{u}f[w − v],

avec u := γ(t). Pour chaque t ∈]0, 1[ on a donc

∥φ(t)∥_{∞} = ∥D_{u}f[w − v]∥_{∞} = ∥w − v∥∥D_{u}f [\frac{w − v}{∥w − v∥_{∞}} ] ∥_{∞} =: ∥w − v∥∥D_{u}f[U]∥_{∞},

avec U := (w − v)/∥w − v∥ et donc ∥U∥ = 1, d’où

∥D_{u}f[U]∥_{∞} ≤ Sup_{∥U∥}∥D_{u}f[U]∥_{∞} = ∥D_{u}f∥ ≤ M.

Finalement, pour tout t ∈]0, 1[,

∥φ′(t)∥_{∞} = ∥D_{u}f[w − v]∥_{∞} ≤ ∥w − v∥M.

A présent, comme φ(0) = f(γ(0)) = f(v) et φ(1) = f(γ(1)) = f(w), on a

∥f(w) − f(v)∥_{∞} = ∥φ(1) − φ(0)∥_{∞} ≤ (1 − 0)∥w − v∥M = ∥w − v∥M.
□

6.3 Difféomorphismes

Définition : Soient V et W deux ouverts de ℝ^{n}. On appelle C^{1}-difféomorphisme de V sur W toute application f ∈ C^{1}(V, ℝ^{n}), bijective de V sur W, telle que pour tout v ∈ V, Jac f(v) soit inversible.

Remarque : On pourrait penser que le fait que f soit bijective implique que Jac f(v) le soit automatiquement. L’exemple f(v) := v^{3}, où n = 1 et V = ℝ = W, montre qu’il n’en est rien : f est bien bijective, avec f^{−1}(w) = ^{3}\sqrt{w}, et Jac f(v) = (3v^{2}) qui est nulle si v = 0. De fait, s’il est bien clair que l’image sous la loupe d’une application bijective est bijective, il ne faut pas oublier que la différentielle n’est qu’une approximation de l’application vue sous la loupe. Ainsi, dans notre exemple, sous la loupe centrée au point (0, f(0)), l’application w = f(v) devient W = F (V) := ε^{2}V, et ε^{2}V ≃ 0 tant que V est limité.

A l’inverse, si Jac f(v_{0}) est inversible, alors f est un C^{1} difféomorphisme au voisinage du point v_{0} : c’est précisément ce qu’assure le théorème d’inversion locale que nous examinons à présent.

4à noter que la valeur de c_{i} dépend de la composante φ_{i} considérée ; il n’y a pas de raison qu’en général les c_{i} soient égaux.

6.3.1 Le théorème d’inversion locale

Nous admettrons le résultat suivant :

Théorème 6.11 (d’inversion locale) Ici p = n. Soient U un ouvert de ℝ^{n}, v ∈ U et f ∈ C^{1}(U, ℝ^{n}). Si la matrice Jac f(v) est inversible alors il existe un ouvert V, v ∈ V ⊆ U ⊆ ℝ^{n}, et un ouvert W, f(v) ∈ W ⊆ f(U) ⊆ ℝ^{n} tels que f soit une bijection de V sur W. Soit g : W → V la bijection réciproque ; on a g ∈ C^{1}(W, ℝ^{n}) et Jac g(f(v)) = [Jac f(v)]^{−1} pour tout v ∈ V.

Preuve : Nous ne démontrons pas ce théorème qui est un point culminant du cours de Calcul Différentiel de Licence, et nous nous bornerons à quelques observations simples.

Notons tout d’abord que, même si sa preuve est assez fine, ce résultat est naturel puisque, dans le cas où f et v sont standard, l’hypothèse implique que, vu sous toute loupe centrée en v, son graphe est i-voisin du graphe d’une fonction linéaire inversible (de matrice Jac f(v)) : il convient toutefois de s’assurer que ce graphe, “vu depuis les w(= f(v))”, ne présente pas de trou (non surjectivité) ni de pli (non injectivité) infinitésimaux ! En revanche, le fait que Jac g(f(v)) = [Jac f(v)]^{−1} découle directement de la règle de dérivation des fonction composées (théorème 6.5) dès que l’on est assuré de l’existence de g; en effet g ∘ f = Id ℝ^{n} = f ∘ g et donc

Jac g(f(v)).Jac f(v) = 𝕀_{n×n} = Jac f(v).Jac g(f(v))
□

Exemple : La fonction f : ℝ^{2} → ℝ^{2} définie par (x, y) ↦ (x^{2} − y^{2}, 2xy) est de classe C^{1}. Sa jacobienne

Jac f(x, y) = ( \begin{matrix}2x & −2y \\ 2y & 2x \end{matrix} )

est inversible pour tout (x, y) ≠ (0, 0), puisque son déterminant^{5} jac f(x, y) := det Jac f(x, y) est égal à 4(x^{2} + y^{2}) et est non nul en dehors de (0, 0). Le théorème d’inversion locale s’applique donc en tout point (x, y) ≠ (0, 0). Pourtant f n’est pas une bijection de ℝ_{∗}^{2} := ℝ^{2} − {(0, 0)} sur f(ℝ_{∗}^{2}), puisque (x, y) et (−x, −y) ont même image. Il convient donc de bien veiller au caractère local de ce théorème.

6.3.2 Changements de variables

La notion de C^{1}-difféomorphisme peut paraître un peu abstraite au premier abord ; elle devient beaucoup plus concrète lorsque qu’elle décrit un changement de variable. Bornons-nous au cas n=2 ; notons plutôt X pour l’ouvert-source (plus haut nous écrivions V) et désignons par (x, y) la variable de X (plus haut nous écrivions v au lieu de (x, y)). Notons toujours W pour l’ouvert-but, mais notons (u, v) la variable de W (nous écrivions w au lieu de (u, v)). Nous concevrons notre C^{1}-difféomorphisme comme un changement de variable et nous l’appelons de ce fait c : X ⟶ W (au lieu de f : V ⟶ W). Nous avons donc c(x, y) = (u, v), ou encore

[ \begin{matrix}u & = & \overline{u}(x, y) \\ v & = & \overline{v}(x, y) \end{matrix}  (6.2)

où c(x, y) = (\overline{u}(x, y), \overline{v}(x, y)), les fonctions \overline{u} et \overline{v} étant C^{1}.

Exemple : Coordonnées polaires : en posant u = x cos y et v = x sin y, x et y sont simplement le module et l’angle polaire du point (u, v) ; c(x, y) := (x cos y, x sin y) est un C^{1}-difféomorphisme sur tout ouvert X := ℝ_{∗}^{+}×]y_{−}, y_{+}[ dès que 0 < y_{+} − y_{−} < 2π.

Voici une propriété essentielle des changements de variables standard.

6.3.3 Changements de variables standard

Pour des raisons de clarté d’exposition nous nous restraignons toujours au cas n = 2, mais ce qui suit se généralise facilement au cas n quelconque (standard). Soit W un ouvert standard de ℝ^{2}.

Soit C le carré de côté 1 centré en (0, 0), à côtés parallèles aux axes :

C := \{xe_{1} + ye_{2} | x ∈ [\frac{−1}{2}, \frac{+1}{2}] , y ∈ [\frac{−1}{2}, \frac{+1}{2}]\}.

5jac f = det Jac f : ce sont ces déterminants fonctionnels que Jacobi a abondamment étudiés

Soit L une application linéaire inversible, et K := L[C], donc

K := \{xL[e_{1}] + yL[e_{2}] | x ∈ [\frac{−1}{2}, \frac{+1}{2}] , y ∈ [\frac{−1}{2}, \frac{+1}{2}]\}.

c’est-à-dire un parallélogramme (plein), centré en (0, 0), à coté parallèles à L[e_{1}] et L[e_{2}] et de même longueur que ces vecteurs, qui sont indépendants puisque L est inversible. Son aire est égale à | det L|.

Soit (u′, v′) un point de W et ε > 0 un nombre i-petit. Notons

κ := (u′, v′) + εK := {(u′, v′) + ε(U, V) | (U, V) ∈ K}.

Si L est standard ou i-voisine d’une application standard, alors κ est un parallélogramme infinitésimal centré au point (u′, v′). Son aire est égale à ε^{2}Aire K = ε^{2}| det L|.

Définition : Nous dirons que Ã ⊆ ℝ^{2} est asymptotiquement proche de A ⊆ ℝ^{2} s’il existe un point w ∈ A et des infinitésimaux δ_{−} > 0 et δ_{+} > 0 tels que

A_{−} ⊆ Ã ⊆ A_{+},

où A_{−} et A_{+} désignent les homothétiques de A par les homothéties de centre w et de rapports respectifs 1 − δ_{−} et 1 + δ_{+}.

Il est facile de voir que si l’aire de Ã et de A sont définies, alors

\frac{Aire Ã}{Aire A} ≃ 1.

Proposition 6.12 Soit c : X ⟶ W un changement de variable standard, et (x_{0}, y_{0}) ∈ X un point standard. Soit (x′, y′) ≃ (x_{0}, y_{0}) et ε > 0 i-petit. Soit

P := (x′, y′) + εC.

Alors c(P) est asymptotiquement proche du parallélogramme κ := c(x′, y′) + εD_{(x′,y′)}f[C] dont l’aire est égale à |jac f(x′, y′)|.

Preuve : ; posons L := D_{(x′,y′)}f □

Intégrales doubles : Changements de variables

Définition : Soient U et V des ouverts de ℝ^{n}, et c : U ⟶ V une application. On dit c est un C^{1}-difféomorphisme de U sur V si et seulement si

1. c est une bijection de U sur V;

2. c et c^{−1} sont des applications continûment différentiables.

Plutôt que C^{1}-difféomorphisme, nous dirons ici changement de variable. Par le théorème de dérivation des fonctions composées appliqué à c ∘ c^{−1} = Idℝ^{n}, nous savons que pour w ∈ V ⊆ ℝ^{n}, Jac c^{−1}(w) = [Jac c(c^{−1}(w)]^{−1}. Nous noterons jac c := det(Jac c).

Nous dirons qu’un domaine D est mesurable s’il est du type de ceux où nous avons défini l’intégrale itérée, c’est-à-dire tel qu’ou bien il existe \overline{α} : [a, b] ⟶ ℝ et \overline{β} : [a, b] ⟶ ℝ , \overline{α} ≤ \overline{β} continues, avec

D := \{(x, y) ∈ ℝ^{2} | x ∈ [a, b] et y ∈ [\overline{α}(x), \overline{β}(x)]\}.

ou bien il existe \overline{a} : [α, β] ⟶ ℝ et \overline{b} : [α, β] ⟶ ℝ , \overline{a} ≤ \overline{b} continues, avec

D := \{(x, y) ∈ ℝ^{2} | y ∈ [α, β] et x ∈ [\overline{a}(y), \overline{b}(y)]\},

Théorème 7.1 Soit D un domaine mesurable de ℝ^{2} contenu dans un ouvert U. Soit c : U ⟶ V un changement de variables. On suppose également c(D) mesurable. Soit g : V ⟶ ℝ une fonction continue. Alors

∫∫_{c(D)} g(u, v)dudv = ∫∫_{D} g(c(x, y))|jac c(x, y)|dxdy.  (7.1)

Preuve : Posons f(x, y) := g(c(x, y))|jac c(x, y)|; nous avons donc à montrer que

∫∫_{c(D)} g(u, v)dudv = ∫∫_{D} f(x, y)dxdy.

Par transfert, nous pouvons supposer que U, D, g, et c sont standard ; f et c(D) sont donc standard également. Comme toute fonction continue est la différence de deux fonctions continues positives, nous pouvons nous borner à étudier le cas où g est positive ; f sera donc également positive.

Rappelons comment nous avons défini ∫∫_{D} f :

Somme de Riemann

Par hypothèse D ⊆ [a, b] × [α, β] ; on découpe le rectangle [a, b] × [α, β] en pavés i-petits pointés :

P_{ij} := [x_{i}, x_{i+1}[×[y_{j}, y_{j+1}[∋ (ξ_{i}, η_{j}).

Nous supposerons, pour simplifier les notations, que tous ces intervalles ont même longueur : x_{i+1} − x_{i} = ε = y_{j+1} − y_{j}, et que le point-base (ξ_{i}, η_{j}) est le milieu de ce carré.

On considère alors trois familles emboitées de tels pavés :

• la famille des pavés contenus entièrement dans D: ceux pour lesquels on a P_{ij} ⊆ D.

• la famille des pavés dont le point-base appartient à D: ceux pour lesquels on a (ξ_{i}, η_{j}) ∈ D.

• la famille des pavés dont un point au-moins appartient à D: ceux pour lesquels on a P_{ij} ∩ D ≠ ∅.

L’aire Δ_{ij} de P_{ij} est égale à (x_{i+1} −x_{i})(y_{j+1} −y_{j}). On appelle somme de Riemann associée à ce pavage pointé du domaine de f la somme R := ∑_{(ξ_{i},η_{j})∈D} f(ξ_{i}, η_{j})Δ_{ij} , c’est-à-dire la somme des volumes des parallélépipèdes construits sur les pavés de la deuxième famille dont la hauteur est la valeur de f au point-base, et nous posions ∫∫_{D} f = ^{o}R.

Sommes de Darboux

Deux autres sommes sont naturelles dans cette question : Rint et Rext dont voici la définition. Soit \overline{P}_{ij} le pavé fermé-borné infinitésimal

\overline{P}_{ij} := [x_{i}, x_{i+1}] × [y_{j}, y_{j+1}].

Comme f est continue, il existe des points p_{ij}^{+} ∈ \overline{P}_{ij} et p_{ij}^{−} ∈ \overline{P}_{ij} tels que

f(p_{ij}^{−}) = Inf f(\overline{P}_{ij}) =: M_{ij}^{−} , et f(p_{ij}^{+}) = Inf f(\overline{P}_{ij}) =: M_{ij}^{+} .

Comme f est standard, continue, et les points (ξ_{i}, η_{j}), p_{ij}^{−}, et p_{ij}^{+} i-voisins d’un même standard de D, on a, en ordre croissant,

f(p_{ij}^{−}) ≃ f(ξ_{i}, η_{j}) ≃ f(p_{ij}^{+}).

Au-dessus de chaque pavé P_{ij} nous introduisons trois parallélépipèdes :

R_{ij} = P_{ij} × [0, f(ξ_{i}, η_{j})] , R_{ij}^{−} = P_{ij} × [0, M_{ij}^{−}] , et R_{ij}^{+} = P_{ij} × [0, M_{ij}^{+}].

Soit R la région de ℝ_{xyz}^{3} comprise entre z = 0 et z = f(x, y) pour (x, y) ∈ D, et soit

R^{−} := ⋃_{P_{ij}⊆D} R_{ij}^{−} = ⋃_{P_{ij}⊆D} P_{ij} × [0, M_{ij}^{−}] , et R^{+} := ⋃_{P_{ij}⊆D} R_{ij}^{+} = ⋃_{P_{ij}⊆D} P_{ij} × [0, M_{ij}^{+}].

Nous avons donc

R^{−} ⊆ R ⊆ R^{+}.

Définissons Rint comme étant le volume de R^{−}, Rext comme étant le volume de R^{+}. Par définition ∫∫_{D} f est le volume de R, et comme R^{−} ⊆ R ⊆ R^{+}, on a^{1}

Rint := ∑_{P_{ij}⊆D} M_{ij}^{−}Δ_{ij} ≤ ∫∫_{D} f ≤ ∑_{P_{ij}∩D≠∅} M_{ij}^{+}Δ_{ij} =: Rext.

Nous avons montré (lemme 3.3) que

Rint ≃ Rext.

Pour établir le théorème, nous allons associer à g des régions S^{−} et S^{+} de volume respectif Sint et Sext telles que

Sint ≤ ∫∫_{c(D)} g ≤ Sext.

Nous montrerons par ailleurs que Sint ≃ Rint et Sext ≃ Rext, ce qui montrera que les nombres standard ∫∫_{D} f et ∫∫_{c(D)} g sont i-voisins donc égaux.

Voici l’observation fondamentale :

Comme le changement de variables c est C^{1}, par la proposition 6.12, pour chaque pavé P_{ij}, son image c(P_{ij}) est asymptotique à un parallélogramme κ_{ij} d’aire |jac f(ξ_{i}, η_{j})|Δ_{ij} ; en d’autres termes, il existe des paralélogrammes κ_{ij}^{−} et κ_{ij}^{+} tels que

κ_{ij}^{−} ⊆ c(P_{ij}) ⊆ κ_{ij}^{+}

et

Aire κ_{ij}^{±} = Aire κ_{ij}(1 + o /) = |jac f(ξ_{i}, η_{j})|Δ_{ij}(1 + o /).  (7.2)

L’intégrale ∫∫_{c(D)} g est le volume d’une région S dont nous pouvons à présent encadrer le volume.

1ici, en toute rigueur, il conviendrait d’abord de montrer que si φ ≤ ψ, alors ∫∫_{D} φ ≤ ∫∫_{D} ψ

Approximation de S

Soit S la région de ℝ_{uvz}^{3} comprise entre z = 0 et z = g(u, v), pour (u, v) ∈ c(D). Par définition, ∫∫_{c(D)} g est le volume de S. Nous allons encadrer ce volume de façon analogue à ce que nous avons fait pour f, mais nous allons utiliser cette fois des parallélogrammes κ_{ij}^{−} et κ_{ij}^{+} à la place des pavés P_{ij} que nous avons utilisés pour ∫∫_{D} f.

Comme g est continue et que les parallélogrammes κ_{ij}^{+} sont fermés-bornés, il existe des points q_{ij}^{−} ∈ κ_{ij}^{+} et q_{ij}^{+} ∈ κ_{ij}^{+} tels que

g(q_{ij}^{−}) = Inf g(κ_{ij}^{+}) = : N_{ij}^{−},
g(q_{ij}^{+}) = Sup g(κ_{ij}^{+}) = : N_{ij}^{+}.

Comme g est standard et continue, et que les points c(ξ_{i}, η_{j}), q_{ij}^{−}, et q_{ij}^{+} sont i-voisins d’un même standard de c(D), on a

g(c(ξ_{i}, η_{j})) ≃ g(q_{ij}^{−}) ≃ g(q_{ij}^{+}).  (7.3)

Au-dessus de chaque parallélogramme κ_{ij}^{−} et κ_{ij}^{+} nous considérons les “prismes”

S^{−} = κ_{ij}^{−} × [0, N_{ij}^{−}] , et S^{+} = κ_{ij}^{+} × [0, N_{ij}^{+}].

Comme κ_{ij}^{−} ⊆ κ_{ij}^{+} et N_{ij}^{−} ≤ N_{ij}^{+}, nous avons S_{ij}^{−} ⊆ S_{ij}^{+}. Posons

S^{−} := ⋃_{c(P_{ij})⊆c(D)} S_{ij}^{−} = ⋃_{c(P_{ij})⊆c(D)} κ_{ij} × [0, N_{ij}^{−}] = ⋃_{P_{ij}⊆D} κ_{ij} × [0, N_{ij}^{−}],

puisqu’on a c(P_{ij}) ⊆ c(D) si et seulement si P_{ij} ⊆ D. De façon analogue,

S^{+} := ⋃_{c(P_{ij})⊆c(D)} S_{ij}^{+} = ⋃_{c(P_{ij})⊆c(D)} κ_{ij} × [0, N_{ij}^{+}] = ⋃_{P_{ij}⊆D} κ_{ij} × [0, N_{ij}^{+}].

Comme κ_{ij}^{−} ⊆ c(P_{ij}) ⊆ κ_{ij}^{+}, et N_{ij}^{−} ≤ g(u, v) ≤ N_{ij}^{+} pour tout (u, v) ∈ κ_{ij}^{+}, nous voyons que

S^{−} ⊆ S ⊆ S^{+}.

Observons que les prismes S_{ij}^{−} sont disjoints, alors que les S_{ij}^{+} consécutifs se chevauchent. Le volume de S^{−} est donc la somme des volumes des prismes qui le compose, alors que le volume de S^{+} est inférieur à la somme des volumes des primes qui le composent. En pratique, cela donne

Sint := ∑_{P_{ij}⊆D} N_{ij}^{−} Aire κ_{ij}^{−} ≤ ∫∫_{c(D)} g ≤ ∑_{P_{ij}∩D} N_{ij}^{+}Aire κ_{ij}^{+} =: Sext.  (7.4)

Calcul asymptotique final : Rint ≃ Sint et Rext ≃ Sext

Par (7.2) et (7.3), et puisque (1 + o /)(1 + o /) = 1 + o /, nous avons

N_{ij}^{±} Aire κ_{ij}^{±} = g(q_{ij}^{±}) jac_{ij}Δ_{ij}(1 + o /)
= (g(c(ξ_{i}, η_{j})) + o /) jac_{ij}Δ_{ij}(1 + o /)
= g(c(ξ_{i}, η_{j})) jac_{ij}Δ_{ij} + g(c(ξ_{i}, η_{j})) jac_{ij}Δ_{ij}o / + o / jac_{ij}Δ_{ij}(1 + o /)  (7.5)
= g(c(ξ_{i}, η_{j})) |jac (ξ_{i}, η_{j})|Δ_{ij} + o /Δ_{ij}  (7.6)
= f(ξ_{i}, η_{j})Δ_{ij} + o /Δ_{ij}  (7.7)

où (7.6) se déduit de (7.5) en remarquant que

g(c(ξ_{i}, η_{j})) jac_{ij}o / + o / jac_{ij}(1 + o /) = o /,

puisque g(c(ξ_{i}, η_{j})) et jac_{ij} sont limités, et (7.7) se déduit de (7.6) par définition de f. On a donc

Sint := ∑_{P_{ij}⊆D} N_{ij}^{−} Aire κ_{ij}^{−} = ∑_{P_{ij}⊆D}(f(ξ_{i}, η_{j})Δ_{ij} + o /Δ_{ij})
= ∑_{P_{ij}⊆D} f(ξ_{i}, η_{j})Δ_{ij} + ∑_{P_{ij}⊆D} o /Δ_{ij}  (7.8)

= Rint + o / ∑_{P_{ij}⊆D} Δ_{ij}  (7.9)
= Rint + o /d_{−}
≃ Rint .

où (7.9) résulte de (7.8) par application de la proposition 7.2. De façon analogue,

Sext := ∑_{P_{ij}∩D≠o /} N_{ij}^{+} Aire κ_{ij}^{+} ≃ Rext .

Comme le lemme 3.3 montre que Rint ≃ Rext, on en déduit que Sint ≃ Sext, et comme Sint ≤ ∫∫_{c(D)} g ≤ Sext, nous avons

∫∫_{c(D)} g ≃ Sext ≃ Rext ≃ ∫∫_{D} f.

Comme ∫∫_{c(D)} g et ∫∫_{D} f sont des nombres standard, i-voisins ils ne peuvent être qu’égaux. □

Le “zérobarre” de Van den Berg

Nous avons adopté ici la notation o / (prononcer “zérobarre”) introduite par I. van den Berg, pour désigne un i-petit “générique” : deux occurences distinctes de o / ne désigne pas nécessairement le même i-petit. Ce zérobarre constitue un des éléments du calcul asymptotique de Van den Berg. Voici un exemple de joli résultat de calcul asymptotique que nous avons utilisé :

Proposition 7.2 Soit (p_{i})_{i∈I} un ensemble fini de nombres positifs. On a

∑_{i∈I} o /p_{i} = o / ∑_{i∈I} p_{i}

Preuve : Le terme ∑_{i∈I} o /p_{i} représente la somme ∑_{i∈I} ε_{i}p_{i} où les ε_{i} sont les infinitésimaux à priori distincts représentés par cette occurence de o /. Posons, pour tout j ∈ I, λ_{j} := p_{j}/ (∑_{i∈I} p_{i}) ≥ 0 ; on a

∑_{j∈I} λ_{j} = ∑_{j∈I} \frac{p_{j}}{∑_{i∈I} p_{i}} = \frac{∑_{j∈I} p_{j}}{∑_{i∈I} p_{i}} = 1.

Posons à présent ε := ∑_{j∈I} ε_{j}λ_{j} qui est i-petit, puisque compris entre le plus petit est plus grand des éléments, tous i-petits, de (ε_{i})_{i∈I}. Nous avons maintenant

ε ∑_{i∈I} p_{i} = (∑_{j∈I} ε_{j}λ_{j}) (∑_{i∈I} p_{i}) = ∑_{j∈I} ε_{j} (λ_{j} ∑_{i∈I} p_{i}) = ∑_{j∈I} ε_{j} \frac{p_{j}}{∑_{i∈I} p_{i}} ∑_{i∈I} p_{i} = ∑_{j∈I} ε_{j}p_{j} .

Nous avons finalement bien ∑_{j∈I} ε_{j}p_{j} = ε ∑_{i∈I} p_{i} = o / ∑_{i∈I} p_{i}, puisque ε est i-petit, d’où le résultat annoncé. □

Le théorème de la fonction implicite

L’objet de cette leçon est l’étude de cas où l’ensemble des (x, y) tels que f(x, y) = 0 est, “localement”, un graphe de fonction y = \overline{y}(x). E désignera un espace normé de dimension finie (de manière à nous permettre d’utiliser le théorème d’inversion locale) ; en pratique, dans les exercices, les cas où E = ℝ ou E = ℝ^{2} seront tout-à-fait intéressants.

8.1 Le théorème

Théorème 8.1 Soit f : E × ℝ ⟶ ℝ une fonction C^{1} sur un ouvert contenant le point (x^{0}, y^{0}). Si f(x^{0}, y^{0}) = 0 et f′_{y}(x^{0}, y^{0}) ≠ 0, il existe un ouvert V ∋ x^{0} de E, un ouvert W ∋ (x^{0}, y^{0}) de E × ℝ, et une fonction C^{1} \overline{y} : V ⟶ ℝ telle que

(x, y) ∈ W et f(x, y) = 0 ⇔ x ∈ V et y = \overline{y}(x).  (8.1)

Remarques :

• La fonction \overline{y} est la (ou plutôt une) fonction implicite définie par la relation f(x, y) = 0.

• Le point (x^{0}, y^{0}) est une condition initiale contribuant a choisir \overline{y}, puisque \overline{y}(x^{0}) = y^{0}.

• L’exemple f(x, y) := (y −x^{2})^{2} (et E = ℝ) est tel que f′_{y}(x, y) = 0 dès que f(x, y) = 0. Il montre que la condition f′_{y}((x^{0}, y^{0})) ≠ 0 n’est nullement nécessaire pour que l’équivalence 8.1 soit satisfaite ; toutefois cette situation est exceptionelle.

• L’exemple f(x, y) := y^{2} − x^{2} = (y − x)(y + x) et (x^{0}, y^{0}) := (0, 0) donne une situation telle que f′_{y}(x^{0}, y^{0}) ≠ 0 est en défaut, et où c’est l’unicité de \overline{y} qui n’est pas assurée (\overline{y}_{1}(x) = +x et \overline{y}_{2}(x) = −x conviennent).

• L’exemple f(x, y) := x^{2} + y^{2} et (x^{0}, y^{0}) := (0, 0) donne une situation telle que f′_{y}(x^{0}, y^{0}) ≠ 0 est en défaut, et où c’est l’existence qui n’est pas assurée : l’ensemble des points où f(x, y) = 0 se réduite au point (0, 0) qui ne saurait être le graphe d’une fonction définie sur un ouvert.

• L’exemple f(x, y) := y^{2} − x commule d’une certaine manière les deux difficultés : deux solutions y = ±\sqrt{x} pour x > 0, et aucune pour x < 0.

• L’exemple f(x, y) := xy − y − 1, pour lequel on a bien f′_{y}(x, y) ≠ 0 dès que f(x, y) = 0 montre que cette dernière condition ne suffit pas pour que V soit égal à E tout entier. Ici \overline{y}(x) = 1/(x − 1) et donc ] − ∞, 1[∪]1, +∞[ est le plus grand V possible.

• L’exemple f(x, y) = f(x_{1}, x_{2}, y) := x_{2} cos(y) − x_{1} sin(y), où E = ℝ^{2} = ℝ_{x_{1}} × ℝ_{x_{2}} est une autre exemple de ce phénomène, un peu plus subtile. En dehors de l’axe des y, d’équation x = 0, on a f′_{y}(x, y) ≠ 0 dès que f(x, y) = 0. Pourtant V ne peut être choisi égal à ℝ^{2} \ \{(0, 0)\}: la fonction \overline{y}, continue puisque C^{1}, ne peut être “uniforme”, puisque f(x, y) = 0 si et seulement si y = θ + kπ, où θ est “l’angle polaire de x”, c’est-à-dire que x = (r cos θ, r sin θ), et k ∈ ℤ est un entier relatif quelconque. L’ensemble des (x, y) tels que f(x, y) = 0 est un double colimaçon.

Figure 8.1: Le difféomorphisme local F de W := F^{−1}(V × I) sur V × I.

Preuve : 8.1 Posons F (x, y) = (F_{1}(x, y), F_{2}(x, y)) := (x, f(x, y)) ; le lecteur qui souhaite comprendre ce choix (qui constitue l’idée fondamentale de la preuve) est invité à considérer les courbes et hypersurfaces F_{1}(x, y) = Cste et F_{2}(x, y) = Cste (voir figure 8.1). Nous avons F (x^{0}, y^{0}) = (x^{0}, f(x^{0}, y^{0})) = (x^{0}, 0) et jac F (x, y) = f′_{y}(x, y) (l’application (x, y) ↦ F_{1}(x, y) = x est la projection sur la première composante ; la différentielle de cette application linéaire est donc, en tout point (x, y), cette première projection ; ceci suffit à calculer facilement la matrice jacobienne de F, puis son déterminant).

En particulier jac F (x^{0}, y^{0}) = f′_{y}(x^{0}, y^{0}) ≠ 0, et donc, par le théorème d’inversion locale 6.11, F est un difféomorphisme d’un voisinage V de v_{0} := (x^{0}, y^{0}) sur un voisinage W de w_{0} := (x_{0}, 0) ; notons G = (G_{1}, G_{2}) : W ⟶ V l’inverse local de F. Soient V et I des boules ouvertes centrées en x_{0} et 0 suffisamment petites pour qu’on ait W ⊇ V × I(∋ (x_{0}, 0)) ; I est en fait simplement un intervalle. Soit W := F^{−1}(V × I), et posons \overline{y}(x) := G_{2}(x, 0), pour x ∈ V. Avec l’aide de la figure 8.1, il est évident que ce choix de V, W, et \overline{y} : V ⟶ ℝ convient ; en voici néanmoins une preuve algébrique.

Observons tout d’abord que pour (X, Y) ∈ V × I(⊂ W) nous avons par définition de F

(X, Y) = F ∘ G(X, Y) = F (G_{1}(X, Y), G_{2}(X, Y)) = (G_{1}(X, Y), ∗)

où l’étoile ∗ désigne une expression dont la valeur précise ne nous sera pas utile. Donc G_{1}(X, Y) = X pour tout (X, Y) ∈ V × I.

Notons ensuite que, comme X = G_{1}(X, 0), nous avons

(x, f(x, \overline{y}(x))) = F (x, \overline{y}(x)) = F (G_{1}(x, 0), G_{2}(x, 0)) = F ∘ G(x, 0) = (x, 0)

et donc f(x, \overline{y}(x)) = 0.

Finalement, comme F est bijective de W sur F (W) = V × I,

(x, y) ∈ W et f(x, y) = 0

équivaut à

(x, f(x, y)) = F (x, y) ∈ F (W) = V × I et (x, f(x, y)) = F (x, y) = (x, 0) = F (x, \overline{y}(x))

qui équivaut, puisque F est injective, à

x ∈ V et y = \overline{y}(x).
□

Proposition 8.2 Soit E = ℝ^{n}; si f(x, \overline{y}(x)) = 0 pour tout x, alors, pour tout i = 1 … n, on a

f′_{x_{i}}(x, \overline{y}(x)) + f′_{y}(x, \overline{y}(x)) · \overline{y}′_{x_{i}}(x) = 0 (x ∈ V).

En particulier

\overline{y}′_{x_{i}} = −\frac{f′_{x_{i}}(x^{0}, y^{0})}{f′_{y}(x^{0}, y^{0})}.

Preuve : Il suffit de calculer la dérivée partielle par rapport à chaque coordonnée x_{i} de la fonction composée x ↦ f(x, \overline{y}(x)) dont on sait, par ailleurs, qu’il s’agit de la fonction identiquement nulle, donc constante, donc à dérivées partielles toutes nulles. □

8.2 Application : sous-variétés de codimension un.

Soit G un espace vectoriel de dimension n. Rappelons qu’on dit que l’espace G est somme directe de ses deux sous-espaces E et F, et on note G = E ⊕ F, si et seulement si tout vecteur v ∈ G s’écrit de façon unique v = x + y, avec x ∈ E et y ∈ F. Nous écrirons, dans ce cas, v =^{E⊕F} x + y. Notons que si G est normé, il en est de même de de E et F, en considérant simplement la norme induite par restriction à E ou F.

Définition : Soit A ⊂ G un sous-ensemble A d’un espace normé G. On dit que A est lisse de dimension r au point a ∈ A si et seulement si G admet une décomposition en somme directe G = E ⊕ F ayant la propriété suivante :

1. il existe un voisinage W de a =^{E⊕F} x_{0} + y_{0} dans G,

2. il existe un voisinage V de x_{0} dans E,

3. il existe une fonction C^{1} \overline{y} de E dans F définie sur V,

tels que w =^{E⊕F} x + y ∈ A ∩ W si et seulement si x ∈ V et y = \overline{y}(x).

On dit que A est une sous-variété de dimension r si et seulement si A est lisse de dimension r au voisinage de chacun de ses points a ∈ A.

Corollaire 8.3 Soient f : G ⟶ ℝ de classe C^{1} et a ∈ G tel que f(a) = 0 ; posons A := f^{−1}(0). Pour que A soit lisse de dimension n − 1 au point a, il suffit que Grad f(a) ≠ 0. Dans ce cas, l’espace tangeant au point a à l’hypersurface d’équation f(v) = 0 a pour équation Grad f(a)V = 0.

52 CHAPITRE 8. LE THÉORÈME DE LA FONCTION IMPLICITE

Convergence uniforme

Avec ce cours, nous abordons, de façon aussi opérationelle et concrète que possible, une perspective sur un apport important du XXème siècle aux Mathématiques : l’analyse fonctionelle. Alors que l’algèbre se propose de dégager les structures des solutions d’équations sur des ensembles de nombres (entiers, rationnels, complexes), l’analyse fonctionelle se propose d’étudier ce même type de questions sur des ensembles de fonctions, sur lesquels sont définis par exemple les équations différentielles^{1} ou intégrales. Avouons que nous avons déjà abordé cette question sans la mentionner lorsque nous avons traité des espaces normés sans toujours nous restreindre à la dimension finie ; nous verrons, à la dernière section de ce chapitre, comment la notion de la convergence uniforme est liée à certains espaces normés.

9.1 Fonctions i-voisines

On peut considérer que ce chapitre est consacré à la question de savoir quelles propriétés une fonction g peut hériter d’une fonction f dès lors que l’on est assuré que les deux fonctions sont i-voisines. Il nous faut donc tout d’abord une définition, guère surprenante :

Définition : Deux fonctions f : D ⟶ ℝ et g : D ⟶ ℝ, définies sur un même domaine D, sont dites i-voisines et on note f ≃ g si et seulement si f(x) ≃ g(x) pour tout x ∈ D.

Nous allons vouloir intégrer ou dériver f et g; l’exemple le plus simple où cela est possible, c’est lorsque D est un intervalle compact [a, b] lorsqu’on veut intégrer, ou un intervalle ouvert ]a, b[ lorsqu’on veut dériver : c’est à de tels cas que nous nous restreindrons, mais le lecteur curieux constatera sans doute que les preuves s’étendent facilement à des compacts ou ouverts plus généraux, ce qui montre, s’il était nécessaire, que les résultats éventuellement sophistiqués, peuvent être découverts et compris sur des cas simples.

Cette définition nous conduit tout naturellement à définir la convergence d’une suite standard (f_{n})_{n≥0} de fonctions vers une fonctions standard \overline{f} : on dit que \overline{f} est la limite de (f_{n})_{n≥0} si et seulement si f_{ω} ≃ \overline{f} pour tout indice ω i-grand. En reprenant ce qui a été fait pour les suites numériques en première année, on trouve la définition suivante dans le cas général, que (f_{n})_{n≥0} et \overline{f} soient standard ou non :

Définition : [convergence uniforme] On dit que la suite (f_{n})_{n≥0} converge vers \overline{f} si et seulement si pour tout ε > 0, on peut trouver un N tel que |f_{n}(x) − \overline{f}(x)| ≤ ε pour tout n ≥ N et tout x ∈ D, ce qui ce formule ainsi :

∀ε > 0 ∃N ∀n n ≥ N ⇒ [∀x ∈ D |f_{n}(x) − \overline{f}(x)| ≤ ε]

Exemples :

• Pour chaque indice n > 0, posons f_{n}(x) := \frac{1}{n} sin n^{2}x. Nous voyons que pour ω i-grand |f_{ω}(x)−0| ≤ \frac{1}{ω} est i-petit pour tout x ∈ ℝ; la suite de fonctions (f_{n})_{n>0} définies sur D := ℝ est une suite standard, et celle-ci converge vers la fonction (standard) nulle.

• Pour chaque indice n > 0, posons

f_{n}(x) := 1 − \frac{x^{2}}{2 !} + \frac{x^{4}}{4 !} − … + (−1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n) !}

1c’est-à-dire équations différentielles ordinaires ou équations aux dérivées partielles

La formule de Taylor-MacLaurin^{2} montre que pour chaque x ∈ ℝ, lim_{n→∞} f_{n}(x) = cos(x), ce qui montre que si la suite (f_{n})_{n≥0} a une limite, ce ne peut qu’être la fonction cos. Pourtant, comme f_{n} est un polynôme, |f_{n}(x)| peut être arbitrairement grand, pourvu que |x| soit suffisamment grand, alors que | cos(x)| ≤ 1, donc |f_{n}(x) − cos(x)| ≥ |f_{n}(x)| − 1 ne saurait être petit pour tout x, donc la suite de fonctions (f_{n})_{n>0} définies sur D := ℝ ne converge pas vers la fonction cos.

• Formons un troisième exemple à partir du précédant, en considérant cette fois les restrictions f̂_{n} et ĉos des fonctions f_{n} et cos à un intervalle [−a, +a], pour un a ≥ 0 quelconque fixé. En choisissant un entier M ≥ a pour la majoration de |x^{2n+1}/(2n+1)!|, nous voyons que la suite (f̂_{n})_{n≥0} converge vers ĉos. On dit aussi que pour tout a ≥ 0, la suite (f_{n})_{n≥0} converge uniformément vers cos sur l’intervalle [−a, a].

9.2 Convergence uniforme et convergence simple

Il est d’usage, pour une suite numérique (u_{n})_{n≥0} convergeant vers \overline{u}, de noter cette propriété u_{u} → \overline{u}; nous généralisons cet usage en notant f_{n} → \overline{f} si \overline{f} est la limite des f_{n} au sens de la limite uniforme que nous venons de définir. Avec les polynômes de Taylor f_{n} de la fonction cos, nous venons de voir qu’il se peut que pour chaque x dans D (ici, on avait D = ℝ) on ait f_{n}(x) → \overline{f}(x) sans que pour autant on ait f_{n} → \overline{f} (ce qu’on pourra dénoter par f_{n} ↛ \overline{f}) ; dans ce cas, on dit que \overline{f} est la limite simple des f_{n}, et qu’elle n’est pas la limite uniforme des f_{n}. Comme il est souvent commode, pour les calculs, de faire apparaître une notations pour la “variable” (ici x) d’une fonction, comme dans \frac{1}{n} sin n^{2}x, il peut y avoir confusion entre convergence simple et convergence uniforme ; on notera donc aussi f_{n}(x) \overrightarrow{→} \overline{f}(x) pour f_{n} → \overline{f} (ce qui ne laisse qu’une éventuelle ambiguité sur le choix domaine D_{x}, qu’il convient de fixer par le discours ou par une déclaration telle que D_{x} := ℝ ou D_{ξ} := [−a, +a]). Ainsi \frac{1}{n} sin n^{2}x \overrightarrow{→} 0 et ∑_{p=0}^{n}(−1)^{p}x^{2p}/(2p) ! \overrightarrow{↛} cos x pour D_{x} := ℝ, alors que ∑_{p=0}^{n}(−1)^{p}ξ^{2p}/(2p) ! \overrightarrow{→} cos ξ pour D_{ξ} := [−a, +a].

A noter que si f_{n}(x) \overrightarrow{→} \overline{f}(x), alors f_{n}(x) → \overline{f}(x) pour tout x ∈ D_{x}; voyez-vous pourquoi?

Dans l’exemple de la non uniforme convergence des polynômes de Taylor f_{n} de cos vers cos, c’étaient les grandes valeurs de x qui étaient en cause. Voici un exemple où la difficulté provient des petites valeurs de x.

Posons f_{n}(x) := nx(1 − x)^{n} pour D_{x} := [0, 1], et supposons par l’absurde que la suite ainsi définie admette une limite uniforme \overline{f}. Pour x = 0 et x = 1 on a f_{n}(x) = 0, donc \overline{f}(0) = 0 et \overline{f}(1) = 0. Par ailleurs, pour chaque x ∈]0, 1[, on a 0 < q := (1 − x^{2}) < 1, et donc 0 ≤ f_{n}(x) ≤ nxq^{n}, d’où 0 ≤ lim_{n⟶∞} f_{n}(x) ≤ lim_{n⟶∞} nxq^{n} = 0 (exercice de type DEUG 1) ; d’où \overline{f}(x) = 0 pour tout x ∈ D_{x} = [0, 1]. Et pourtant f_{n} ne tend pas vers f. En effet, le plus grand écart entre f_{ω} et 0 = \overline{f} se trouve au point x_{ω} où la fonction f_{ω} est maximale ; la recherche des zéros de \overline{f}′_{ω} donne x_{ω} =

−ω + \sqrt{ω^{2} + 1} = ω(\sqrt{1 + \frac{1}{ω^{2}}} − 1) = ω(1 + \frac{1+δ}{2ω^{2}} − 1) = \frac{1+δ}{2ω}, avec δ ≃ 0 dès que ω est i-grand, ce qui suggère d’évaluer la fonction f_{ω} au point x̃_{ω} := \frac{1}{2ω}, avec δ ≃ 0 dès que ω est i-grand ; on obtient f_{ω}(x̃_{ω}) = \frac{1}{2}(1 − \frac{1}{2ω})^{ω} = \frac{1}{2}e^{− \frac{1}{2}} (1 + η), avec η ≃ 0 dès que ω est i-grand, et donc f_{ω}(x̃_{ω}) ≄ 0 = \overline{f}(x̃_{ω}). La suite (f_{n}(x))_{n≥0} n’a donc pas de limite (uniforme).

|\frac{x^{2n+1}}{(2n + 1) !} | ≤ \frac{M}{1} \frac{M}{2} \frac{M}{3} … \frac{M}{M − 1} \frac{M}{M} \frac{M}{M + 1} \frac{M}{M + 2} … \frac{M}{2n} \frac{M}{2n + 1} .

2) cos(x) − f_{n}(x) = \frac{x^{2n+1}}{(2n+1) !} cos^{(n+1)}(ξ) pour un ξ entre 0 et x; en choisissant un entier M ≥ |x|, on voit que Passés les M − 1 premiers termes, dont on dénote par P le produit, tous les suivants sont inférieurs à 1, et en particulier |\frac{x^{2n+1}}{(2n+1) !} | ≤ \frac{P}{2n+1} , qui tend bien vers 0 lorsque n tends vers l’infini. A noter que C. MacLaurin ne mérite pas seulement sa célébrité pour avoir attiré notre attention sur le fait qu’il suffit de mémoriser la formule de Taylor pour x_{0} = 0, selon un principe d’économie fécond en Mathématiques. C’est également lui, en admirateur de l’anglais Newton, qui devant le scepticisme affiché par G. Berkley, philosophe évèque dans le sud de l’Irlande, envers les infiniment petits de Newton, a proposé une explicitation de la méthode des quantités “évanouissante” de Newton, dans son Traité des Fluxions, publié à Edinburg en 1742 (pour plus de détails, voir par exemple E.F. Robertson et R.A.A. Devéria, Colin MacLaurin, Argyllshire’s mathematician, ISBN 1-902847-10-5). A noter qu’il semble bien que, dans sa critique, Georges Berkley était moins préoccupé d’une quète de fondements pour le calcul de Newton que d’un argument en faveur de ses réflexions théologiques destiné a ses lecteurs rationalistes.

Le non-standard permet de préciser, pour une suite (f_{n})_{n≥0} standard, cette question des valeurs de la variable qui “empèchent la convergence uniforme”. En effet, la convergence simple se formule

∀x lim_{n} f_{n}(x) = \overline{f}(x)

Mais comme (f_{n})_{n≥0} et \overline{f} sont standard, ceci equivaut, par transfert, à

∀^{st}x lim_{n} f_{n}(x) = \overline{f}(x)

c’est à dire que, pour x standard, la suite standard (u_{n})_{n≥0} définie par u_{n} = f_{n}(x) converge vers la valeur standard \overline{u} := \overline{f}(x), ou encore que u_{ω} ≃ \overline{u} dès que ω est i-grand. Nous obtenons donc une troisième forme pour la convergence simple des f_{n}(x) :

∀^{st}x ∀i-grandω f_{ω}(x) ≃ f(x).

En d’autres termes, pour ω i-grand, en cas de convergence simple, on a f_{ω}(x) ≃ \overline{f}(x) pour les x standard, alors que pour la convergence uniforme, nous avons f_{ω}(x) ≃ \overline{f}(x) pour tous les x, standard ou non.

9.3 Convergence uniforme et opérations fonctionnelles

Pour connaître la valeur de la dérivée f′(x), il ne suffit pas de connaître f(x) : il convient, par exemple, de connaître f sur tout un voisinage ouvert B(x, r). Par connaître ∫ f, il est même nécessaire de connaître f (presque-)^{3} partout. C’est en ce sens que dérivation et intégration sont des “opérations fonctionnelles”, par opposition à la somme et au produit des fonctions.

Le résultat suivant a peu de contenu opérationnel, mais il est capital du point de vue de l’Analyse :

Théorème 9.1 La limite uniforme de toute suite de fonctions continues est une fonction continue.

Le théorème 9.7 ci-dessous est un peu plus fort. Nous démontrerons ce théorème.

Théorème 9.2 Soit (f_{n})_{n≥0} une suite de fonction continues sur [a, b] convergeant uniformément vers \overline{f}. Alors lim_{n⟶∞} ∫_{a}^{b} f_{n}(x)dx = ∫_{a}^{b} \overline{f}(x)dx.

Ce théorème s’écrit aussi, de façon opérationnelle

lim_{n⟶∞} ∫_{a}^{b} f_{n}(x)dx = ∫_{a}^{b}( lim_{n⟶∞} f_{n})(x)dx

Notez bien les parenthèses : c’est sur elles seules que reposent de rappeler que ce théorème demande la convergence (uniforme ! ) des f_{n}. Il est bien clair que dans les calculs explicites, on les néglige généralement, ce qui donne

lim_{n⟶∞} ∫_{a}^{b} f_{n}(x)dx = ∫_{a}^{b} lim_{n⟶∞} f_{n}(x)dx

… avec le risque d’erreur que cela entraine, puisque lim_{n} f_{n}(x) suggère la seule limite simple. Ainsi voici une “preuve” de \frac{1}{2} = 0 : nous avons

∫_{0}^{1} nx(1 − x^{2})^{n}dx = [\frac{−1}{2} \frac{n}{n + 1}(1 − x^{2})^{n+1}]_{0}^{1} = \frac{1}{2} \frac{n}{n + 1}

d’où

\frac{1}{2} = lim_{n} \frac{1}{2} \frac{n}{n + 1} = lim_{n} ∫_{0}^{1} nx(1 − x^{2})^{n}dx “=” ∫_{0}^{1} lim_{n} nx(1 − x^{2})^{n}dx = ∫_{0}^{1} 0dx = 0.

Cette erreur est pourtant moins naïve qu’il n’y paraît. Souvent, la seule méthode à notre disposition pour calculer la limite (uniforme, si elle existe) \overline{f} des f_{n} est de calculer la limite pour chaque x, c’est-à-dire la limite simple. Le théorème 9.2 n’est pas le seul autorisant le “calcul simple” d’une limite d’intégrales : on doit à Lebesgue un cadre beaucoup plus général (son “théorème de convergence dominée”) que vous apprendrez prochainement. Biensûr, ce théorème ne s’applique pas non plus à notre exemple.

La preuve du théorème 9.2 se déduit facilement du lemme suivant :

Lemme 9.3 Soit [a, b] un intervalle de longueur (b − a) limitée et δ : [a, b] ⟶ ℝ une fonction intégrable i-petite en tout point x ∈ [a, b]. Alors ∫_{a}^{b} δ(x)dx ≃ 0.

3Ce “presque” est placé là pour aiguiser votre curiosité sur une théorie que vous verrez vraissemblablement en Licence :

celle de l’intégrale de Lebesgue

Preuve : Si δ est supposée en outre continue, il en est de même de |δ|, et comme [a, b] est compacte, cette fonction admet un maximum x_{0} ∈ [a, b], d’où, pour tout x ∈ [a, b], |δ(x)| ≤ |δ(x_{0})| =: M, ce dernier nombre étant i-petit par hypothèse sur δ. On a donc

|∫_{a}^{b} δ(x)dx| ≤ ∫_{a}^{b} |δ(x)|dx ≤ ∫_{a}^{b} Mdx = (b − a)M ≃ 0.

Si l’on ne suppose plus δ continue, il suffit de choisir M := Sup_{x∈[a,b]}|δ(x)| et de remarquer que le Sup d’un ensemble (interne) de nombre tous i-petits qui existe puisque l’ensemble est majoré (par 1 par exemple), ne peux qu’être i-petit lui-même. □

Théorème 9.4 Soit (f_{n})_{n≥0} une suite de fonctions dérivables sur ]a, b[ dont la suite des dérivées (f′_{n})_{n≥0} converge uniformément vers g. Supposons en outre qu’il existe x_{0} ∈]a, b[ et y_{0} tel que lim_{n⟶∞} f_{n}(x_{0}) = y_{0}. Alors (f_{n})_{n≥0} converge uniformément vers y_{0} + ∫_{x_{0}}^{x} g(t)dt.

Théorème 9.5 Soit f(x, y) une fonction de classe C^{1} sur un ouvert contenant le pavé [a, b]_{x}×]c, d[_{y}. Soit g la fonction définie sur ]c, d[_{y} par g(y) := ∫_{a}^{b} f(x, y)dx. Alors g est de classe C^{1} et g′(y) = ∫_{a}^{b} f′_{y}(x, y)dx

Preuve : Par transfert, on peut supposer f, a, b, et y standard. Nous devons montrer que lim_{h→0} \frac{1}{h}(g(y+ h)−g(y)) = ∫_{a}^{b} f′_{y}(x, y)dx. Comme ∫_{a}^{b} f′_{y}(x, y)dx est standard, ceci revient à montrer que pour tout h ≃ 0 non nul, on a \frac{1}{h}(g(y + h) − g(y)) ≃ ∫_{a}^{b} f′_{y}(x, y)dx. Or

\frac{1}{h}(g(y + h) − g(y)) = \frac{1}{h}(∫_{a}^{b} f(x, y + h)dx − ∫_{a}^{b} f(x, y)dx) = \frac{1}{h} ∫_{a}^{b}(f(x, y + h) − f(x, y))dx.

Or, par le théorème des accroissement finis appliqué à la fonction φ(y) := f(x, y) (x fixé), il existe η ∈]y, y + h[ tel que f(x, y + h) − f(x, y) = hf′_{y}(x, η). Comme [a, b] est compact standard, pour chaque x ∈ [a, b], il existe un standard x_{0} ∈ [a, b] tel que x ≃ x_{0} (la “partie standard” de x), et comme f′_{y} est standard continue, et que η ≃ y puisque h est i-petit, on a f′_{y}(x, η) ≃ f′_{y}(x_{0}, y) ≃ f′_{y}(x, y), ou encore f′_{y}(x, η) = f′_{y}(x, y) + δ(x), avec δ(x) ≃ 0. Finalement, en appliquant le lemme 9.3, on a

\frac{1}{h}(g(y + h) − g(y)) = \frac{1}{h} (∫_{a}^{b}(f(x, y + h) − f(x, y))dx)

= \frac{1}{h} (∫_{a}^{b} h(f′_{y}(x, y) + δ(x))dx) = ∫_{a}^{b} f′_{y}(x, y) + ∫_{a}^{b} δ(x))dx ≃ ∫_{a}^{b} f′_{y}(x, y).

□

9.4 La norme de la convergence uniforme

Considérons l’ensemble E des fonctions continues f : D − ℝ qui sont bornées, c’est-à-dire les fonctions telles qu’il existe, pour chaque d’elles, un M ≥ 0 ayant la propriété que |f(x)| ≤ M pour tout x ∈ D. Du fait que, pour tout f_{1} et f_{2} dans E et tout λ_{1} et λ_{2} dans ℝ, si M_{1} et M_{2} sont tels que |f_{i}(x)| ≤ M_{i}, i = 1, 2 et x ∈ D, alors |(λ_{1}f_{1} + λ_{2}f_{2})(x)| ≤ λ_{1}M_{1} + λ_{2}M_{2} =: M, on voit que E est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des fonctions de D à valeurs dans ℝ.

Proposition 9.6 La fonction ∥ ∥_{∞} : E ⟶ ℝ, définie par

∥f∥_{∞} := Sup_{x∈D}|f(x)|

est une norme sur l’espace vectoriel E des fonctions continues sur D. On l’appelle la norme de la convergence uniforme sur D.

Preuve : Détaillons la preuve dans le cas où D est compact. Dans ce cas, comme la fonction |f| est continue, elle atteint son maximum sur D, c’est-à-dire qu’il existe x_{0} ∈ D tel que |f(x_{0})| = Sup_{x∈D}|f(x)| = ∥f∥_{∞}. Soient donc f, f_{1}, et f_{2} dans E et λ_{1}, et λ_{2} dans ℝ. Notons x′, et x′′ des maxima respectifs de |f|, et |f_{1} + f_{2}|; nous vérifions les trois propriétés caractéristiques d’une norme :

• On a 0 ≤ |f(x)| ≤ Sup_{x∈D}|f(x)| = ∥f∥_{∞}; donc f(x) = 0 pour tout x ∈ D si et seulement si ∥f∥_{∞} = 0, et donc ∥f∥_{∞} = 0 ⇔ f = 0.

• On a, pour tout x ∈ D,

|λf(x)| = |λ||f(x)| ≤ |λ|∥f∥_{∞} = |λ||f(x′)| = |λf(x′)| ≤ Sup_{x∈D}|λf(x)| = ∥λf∥_{∞},

et donc ∥λf∥_{∞} = Sup_{x∈D}|λf(x)| ≤ |λ|∥f∥_{∞} ≤ ∥λf∥_{∞}, d’où ∥λf∥_{∞} = |λ|∥f∥_{∞}.

• On a ∥f_{1} + f_{2}∥_{∞} = |(f_{1} + f_{2})(x′′)| ≤ |f_{1}(x′′)| + |f_{2}(x′′)| ≤ Sup_{x∈D}|f_{1}(x)| + Sup_{x∈D}|f_{2}(x)| = ∥f_{1}∥_{∞} + ∥f_{2}∥_{∞}, d’où ∥f_{1} + f_{2}∥_{∞} ≤ ∥f_{1}∥_{∞} + ∥f_{2}∥_{∞}.

Indications pour le cas général (D non nécessairement compact). Dans ce cas, nous ne sommes assuré que de l’existence, pour chaque ε > 0, d’un x_{ε} tel que |f(x_{ε})| ≤ Sup_{x∈D}|f(x)| = ∥f∥_{∞} ≤ |f(x_{ε})| + ε. En adaptant en conséquence les notations et calculs ci-dessus, nous obtenons

• Pour tout x ∈ D et tout ε > 0

|λf(x)| = |λ||f(x)| ≤ |λ|∥f∥_{∞} ≤ |λ|(|f(x′_{ε})| + ε) = |λf(x′_{ε})| + |λ|ε
≤ Sup_{x∈D}|λf(x)| + |λ|ε = ∥λf∥_{∞} + |λ|ε.

On a donc ∥λf∥_{∞} = Sup_{x∈D}|λf(x)| ≤ |λ|∥f∥_{∞} ≤ ∥λf∥_{∞} + |λ|ε. En passant à la limite pour ε → 0^{+}, on retrouve ∥λf∥_{∞} = Sup_{x∈D}|λf(x)| ≤ |λ|∥f∥_{∞} ≤ ∥λf∥_{∞} d’où ∥λf∥_{∞} = |λ|∥f∥_{∞}.

• On a ∥f_{1}+f_{2}∥_{∞} ≤ |(f_{1}+f_{2})(x′′_{ε})|+ε ≤ |f_{1}(x′′_{ε})|+|f_{2}(x′′_{ε})|+ε ≤ Sup_{x∈D}|f_{1}(x)|+Sup_{x∈D}|f_{2}(x)|+ε =

∥f_{1}∥_{∞} + ∥f_{2}∥_{∞} + ε, d’où

∥f_{1} + f_{2}∥_{∞} ≤ ∥f_{1}∥_{∞} + ∥f_{2}∥_{∞} + ε.

En passant à la limite pour ε → 0^{+}, on obtient le résultat souhaité.

□

Théorème 9.7 L’espace normé (E, ∥ ∥_{∞}) est complet, c’est-à-dire, par définition, que, pour toute suite (f_{n}) ⊂ E, (f_{n}) converge si et seulement si (f_{n}) est de Cauchy. Si f dénote la limite des f_{n}, on a f(x) = lim_{n} f_{n}(x).

Preuve : Nous savons que toute suite convergente est de Cauchy. Réciproquement, soit (f_{n}) une suite de Cauchy. Pour chaque x ∈ D, comme

|f_{p}(x) − f_{q}(x)| ≤ Sup_{ξ∈D}|f_{p}(ξ) − f_{q}(ξ)| = ∥f_{p} − f_{q}∥_{∞}.

Donc (f_{n}(x)) est de Cauchy, et comme ℝ est complet, la suite (f_{n}(x)) a une limite. On pose f(x) := lim_{n} f_{n}(x). Il nous faut nous assurer que la fonction f, ainsi définie pour chaque x ∈ D est bien dans E, c’est-à-dire continue et bornée, et que f = lim f_{n} au sens de la norme∥ ∥_{∞} (voir l’exemple f_{n}(x) = nx(1 − n)^{n} ci-dessus, qui conduit à poser f(x) = 0, et cette fonction n’est pas la limite au sens de ∥ ∥_{∞} de cette suite, qui n’est donc pas convergente).

Voyons d’abord la continuité de f en tout point x_{0} ∈ E: soit ε > 0 quelconque ; comme f(x_{0}) = lim_{n} f_{n}(x_{0})

∃N_{1} ∀n ≥ N_{1} |f_{n}(x_{0}) − f(x_{0})| ≤ \frac{ε}{3}.  (9.1)

Mais comme (f_{n}) est de Cauchy, il existe aussi N_{2} tel que, pour tous q ≥ p ≥ N_{2}, on a ∥f_{p} − f_{q}∥_{∞} ≤ \frac{ε}{3} ; en d’autres termes

∀x ∈ D ∀q ≥ p ≥ N_{2} |f_{p}(x) − f_{q}(x)| ≤ ∥f_{p} − f_{q}∥_{∞} ≤ \frac{ε}{3}.  (9.2)

Posons maintenant N = Max {N_{1}, N_{2}}. Comme f_{N} est continue au point x_{0}, il existe η > 0 tel que pour tout x ∈ D,

|x − x_{0}| ≤ η ⇒ |f_{N}(x) − f_{N}(x_{0})| ≤ \frac{ε}{3}.  (9.3)

A présent, pour tout n ≥ N = Max {N_{1}, N_{2}} et tout x ∈ D tel que |x − x_{0}| ≤ η, nous avons

|f_{n}(x) − f(x_{0})| ≤ |f_{n}(x) − f_{N}(x)| + |f_{N}(x) − f_{N}(x_{0})| + |f_{N}(x_{0}) − f(x_{0})|
≤ \frac{ε}{3} + \frac{ε}{3} + \frac{ε}{3} = ε.

la majoration de chacun des trois termes résultant respectivement de (9.2) puisque n ≥ N ≥ N_{2}, de (9.3) puisque |x − x_{0}| ≤ η, et de (9.1) puisque N ≥ N_{1}.

En pratique, pour tout n ≥ N = Max {N_{1}, N_{2}}, nous avons donc

|f_{n}(x) − f(x_{0})| ≤ ε pour tout n ≥ N et tout x ∈ D tel que |x − x_{0}| ≤ η

et donc, comme | | : ℝ ⟶ ℝ est continue, on a pour tout x ∈ D tel que |x − x_{0}| ≤ η

|f(x) − f(x_{0})| = | lim_{n} f_{n}(x) − f(x_{0})| = lim_{n} |f_{n}(x) − f(x_{0})| ≤ lim_{n} ε = ε,

ce qui montre que f est bien continue.

Enfin, en reprenant (9.2), on a pour tout x ∈ D et tout q ≥ n ≥ N_{2},

|f_{n}(x) − f(x)| = |f_{n}(x) − lim_{q} f_{q}(x)| = lim_{q} |f_{n}(x) − f_{q}(x)| ≤ lim_{q} \frac{ε}{3} = \frac{ε}{3} ≤ ε.

En d’autres termes, |f_{n}(x) − f(x)| ≤ ε pour tout x ∈ D et tout n ≥ N_{2}, ce qui montre d’une part que f est bornée (par ∥f_{n}∥_{∞} + ε), et d’autre part que ∥f_{n} − f∥_{∞} = Sup_{x∈D}|f_{n}(x) − f(x)| ≤ ε, ce qui montre que f est bien la limite, au sens de l’espace normé (E, ∥ ∥_{∞}), de la suite (f_{n}). □

Exercice : Déduire le théorème 9.1 de ce théorème 9.7.

Corollaire 9.8 Soit (u_{n})une suite de fonctions continues sur D. Supposons qu’il existe une suite numérique (α_{n}) telles que

1. on a |u_{n}(x)| ≤ α_{n} pour tout x ∈ D,

2. la série ∑_{n≥0} α_{n} converge.

Posons f_{N}(x) := ∑_{n=0}^{N} u_{n}(x). Alors, la suite de fonctions f_{N} ainsi définie converge uniformément vers une limite f. On note ∑_{n=0}^{∞} u_{n} cette limite ; elle est continue et a pour valeurs f(x) = ∑_{n=0}^{∞} u_{n}(x).

Preuve : Comme la série numérique ∑_{n≥0} α_{n} converge, la suite s_{N} := ∑_{n=0}^{N} α_{n} est convergente ; c’est donc une suite de Cauchy. On en déduit que la suite de fonctions (f_{N}) est une suite de Cauchy de l’espace normé (E, ∥ ∥_{∞}), puisque, pour q ≥ p,

∥f_{q} − f_{p}∥_{∞} ≤ ∥f_{q} − f_{q−1}∥_{∞} + ∥f_{q−1} − f_{q−2}∥_{∞} + … + ∥f_{p+1} − f_{p}∥_{∞}
= ∥u_{q}∥_{∞} + ∥u_{q−1}∥_{∞} + … + ∥u_{p+1}∥
≤ ∑_{n=p+1}^{q} α_{n} = s_{q} − s_{p} = |s_{q} − s_{p}|.

Donc la série ∑_{n≥0} u_{n} converge dans l’espace normé (E, ∥ ∥_{∞}) en vertu du théorème 9.7. □

Définition : Soit (u_{n}) une suite de fonctions continues et bornées définies sur D. Posons a_{n} := ∥u_{n}∥_{∞}. On dit que la série de fonctions ∑_{n≥0} u_{n}(x) est normalement convergente, si la série numérique ∑_{n≥0} a_{n} converge.

Corollaire 9.9 Toute série normalement convergente converge uniformément vers sa limite, et cette limite est continue.

Preuve : Il suffit, dans le corollaire 9.8, de poser α_{n} := ∥u_{n}∥_{∞}. □

Exemple : Revenons sur le troisième exemple du début du chapitre. On a D = [−a, +a] et u_{n}(x) = x^{2n}/(2n) !. On a a_{n} = ∥u_{n}∥_{∞} = a^{2n}/(2n) !. La série ∑_{n≥0} a_{n} est convergente (appliquer par exemple le critère de d’Alembert). La série ∑_{n≥0} x^{2n}/(2n) ! est donc normalement convergente. Sur [−a, +a] la série ∑_{n≥0} x^{2n}/(2n) ! est donc uniformément convergente vers sa limite, cos(x). On retrouve ainsi que la fonction cos est continue.

Fonctions holomorphes et séries entières

10.1 Nombres complexes

Comme vous le savez, les nombres complexes sont les expressions de la forme z = x + iy, avec x et y dans ℝ, que l’on traite tout d’abord comme des polynômes de degré un en l’indéterminée i, ce quindéfini z′ + z′′ pour z′ = x′ + iy′ et z′′ = x′′ + iy′′. Par bilinéarité du produit de polynômes, on a z′ · z′′ = (x′ + iy′) · (x′′ + iy′′) = x′x′′ + i(x′y′′ + x′′y′) + i^{2}y′y′′. Puis on convient que i^{2} = −1, ce qui fait de i une solution de 1 + z^{2} = 0, et conduit à

z′ · z′′ = (x′ + iy′) · (x′′ + iy′′) = x′x′′ − y′y′′ + i(x′y′′ + x′′y′).

Selon une idée de Jean Robert Argand apparue à la fin du 18ème siècle, donc après l’introduction des nombres complexes, on représente l’expression x + iy par le couple de réels (x, y), donc 1 = 1 + i0 par (1, 0) et i = 0 + i1 par (0, 1). Poser i^{2} = −1 revient à poser (0, 1) · (0, 1) = (1, 0). Avant la représentation géométrique des complexes, la relation i^{2} = −1 paraissait tellement peu naturelle, que la composante y de z = x + iy a été appelée la partie imaginaire de z, alors que x est sa partie réelle. Nous noterons x = Re z et y = Im z. Vous avez vu en terminale que cette manière de faire étend le calcul du corps de réels x ∈ ℝ à un calcul sur le corps des complexes z ∈ ℂ. L’opération x+iy = z ↦ \overline{z} = x−iy (c’est-à-dire la symétrie (x, y) ↦ (x, −y) dans le plan d’Argand) est souvent utile car pour tout z ∈ ℂ

z · \overline{z} = (x + iy) · (x − iy) = x^{2} + y^{2} (= ∥(x, y)∥_{2}^{2} dans le plan d’Argand),

c’est-à-dire un réel, positif de surcroît. On pose |z| = \sqrt{z · \overline{z}}, c’est-à-dire ∥(x, y)∥_{2} du plan d’Argand, d’où |z′ + z′′| ≤ |z′| + |z′′|; on vérifie facilement les relations

\overline{z′ + z′′} = \overline{z′} + \overline{z′′} , \overline{z′ · z′′} = \overline{z′} · \overline{z′′} ; |z′ · z′′| = |z′| · |z′′| , \frac{\overline{z}}{|z|^{2}} = \frac{\overline{z}}{z · \overline{z}} = \frac{1}{z}.

Si on note r := |z| et ϑ = angle(Ox, Oz) dans le plan d’Argand, et [r, ϑ] := z, on vérifie facilement que z′ · z′′ = [r′, ϑ′] · [r′′, ϑ′′] = [r′r′′, ϑ′ + ϑ′′] et, partant, \frac{z′}{z′′} = \frac{[r′,ϑ′]}{[r′′,ϑ′′]} = [r′/r′′, ϑ′ − ϑ′′], d’où en particulier

\frac{1}{z} = \frac{[1,0]}{[r,ϑ]} = [1/r, −ϑ].

10.2 Dérivation complexe

Le fait que ℂ soit un corps permet de considérer, pour toute fonction z ↦ f(z), la question de l’existence d’une limite pour

\frac{f(z + h) − f(z)}{h}

lorsque h → 0, h ∈ ℂ ÷ {0}. A titre de comparaison, souvenez-vous des difficultés que nous avons eu pour traité de la différentielle Dg pour une fonction (x, y) ↦ g(x, y) = (g_{1}(x, y), g_{2}(x, y)) qui, elle, se représente par une matrice 2 × 2 et non un nombre.

Définition : Soit U un ouvert de ℂ (vu comme le plan d’Argand). On dit que f : U ⟶ ℂ admet l pour dérivée au point z si et seulement si

l = lim_{h→0} \frac{f(z + h) − f(z)}{h}.

Si f admet une dérivée en chaque point z de U, on dit que f est holomorphe^{1}, et on pose

f′(z) := lim_{h→0} \frac{f(z + h) − f(z)}{h}.

En copiant sur le cas réel , on montre

Proposition 10.1 Si f et g sont holomorphes sur U, il en est de même de f +g, fg et f/g, et (f +g)′ = f′ + g′, (fg)′ = f′g + fg′, (f/g)′ = (f′g − fg′)/g^{2}.

En particulier (az^{n})′ = naz^{n−1}, tout comme pour un monôme réel. A noter que la fonction z ↦ \overline{z} n’est nulle part dérivable. En effet

\frac{\overline{(z + h)} − \overline{z}}{h} = \frac{\overline{z} + \overline{h} − \overline{z}}{h} = \frac{\overline{h}}{h}

vaut 1 si h = h_{1} est réel et vaut −1 si h = ih_{2} est imaginaire pur, aussi petits soient-ils. Il n’y a donc pas de limite au rapport de dérivations, en quelque point z que ce fût.

Toujours en copiant sur le cas réel, on définit de manière analogue la dérivée seconde f′′(z) := (f′)′(z), et, par récurrence, f^{(n)}(z) = (f^{(n−1)})′(z). Ici se produit un miracle (dont la preuve naturelle est très détournée) : si f est holomorphe sur U, alors elle admet des dérivées de tous les ordres ! En d’autres termes, pour la dérivation complexe, C^{1} implique C^{∞}, et il y a mieux : on montre (bien-entendu) une formule de Taylor

f(z) = f(z_{0}) + (z − z_{0})f′(z_{0}) + … + \frac{(z − z_{0})^{n}}{n!} f^{(n)}(z_{0}) + \frac{(z − z_{0})^{n+1}}{(n + 1) !} ϕ_{n+1}(z),

où ϕ_{n+1}(z) est une quantité qui reste bornée lorsque z − z_{0} devient petit. Ceci conduit à des séries de la forme ∑_{n≥0} a_{n}(z − z_{0})^{n} et nous verons que ces séries convergent vers f(z).

Rappelons que ceci n’est pas toujours vrai pour les fonctions C^{∞} réelles : il suffit de considérer la fonction, nulle en 0, et définie par f(x) = e^{− \frac{1}{x^{2}}} pour x ≠ 0 dans ℝ; on montre que pour tout n on a f^{(n)}(0) = 0, et la série ci-dessus, pour z_{0} = x_{0} = 0, est donc nulle, et ne converge donc pas vers f(x), qui elle, ne s’annule pas en dehors de x_{0} = 0. Une telle pathologie n’est, de fait, pas possible pour une fonction holomorphe.

10.3 Séries entières

Nous avons étudié la convergence de séries de fonctions telles que ∑_{n≥0} u_{n}(x) ; nous considèrerons ici le cas où u_{n}(x) = a_{n}x^{n}, faisant intervenir des puissances entières de la variable x, d’où le nom de ces séries. Nous étendons notre étude au cas où la variable est complexe : ce cas n’est pas plus difficile, et donne des résultats souvent plus naturels.

Définition : On appelle série entière toute série de la forme ∑_{n≥0} a_{n}z^{n}, a_{n} ∈ ℂ et z ∈ ℂ

10.3.1 Disque et rayon de convergence

La question naturelle est, bien-entendu, de savoir quand une telle série converge. Nous savons que pour qu’une telle série converge, il faut que |a_{n}z^{n}| tende vers 0. Cette condition est, en fait, “presque” suffisante.

Théorème 10.2 Il existe un réel R, avec 0 ≤ R ≤ +∞, tel que

1. Si r ∈ [0, R[, ∑_{n≥0} a_{n}z^{n} converge normalement sur {|z| ≤ r}.

2. Si r > R, la suite (a_{n}z^{n}) est non bornée et ∑_{n≥0} a_{n}z^{n} diverge.

1du grec holos, “entier”, et morphê, “forme”, c’est-à-dire admettant une représentation sous forme de série entière.

Ce nombre R s’appelle le rayon de convergence de la série entière ∑_{n≥0} a_{n}z^{n} et vérifie

R = Sup {r ≥ 0 | la suite (a_{n}r^{n})_{n≥0} est bornée} = Sup {r ≥ 0 | la suite (a_{n}r^{n})_{n≥0} tend vers 0.}

La preuve tient, outre les théorèmes généraux de convergence, au résultat suivant.

Proposition 10.3 Soit α = (α_{n})_{n≥0} une suite de réels positifs. Soit R = Sup B_{α}, où

B_{α} = {r_{0} ≥ 0 | la suite (α_{n}r_{0}^{n})_{n≥0} est bornée}.

Si 0 ≤ r < R, ∑_{n≥0} α_{n}r^{n} converge ; si r > R, la suite (α_{n}r^{n}) est non bornée et ∑_{n≥0} α_{n}r^{n} diverge.

Preuve : On remarque que si r_{0} ∈ B_{α}, alors [0, r_{0}] ⊆ B_{α}; en effet, si 0 ≤ r < r_{0}, on a α_{n}r^{n} = α_{n}r_{0}^{n} (\frac{r}{r_{0}} )^{n}, qui tend vers 0 car 0 ≤ q := \frac{r}{r_{0}} < 1, et est donc bornée. Donc

B_{α} = ⋃_{r_{0}∈B_{α}}[0, r_{0}].

En d’autres termes B_{α} est une réunion d’intervalles ayant un point (0) en commun. Donc B_{α} est une intervalle, ici B_{α} = [0, b] ou B_{α} = [0, b[, et par définition R = Sup B_{α} = b.

A présent, si 0 ≤ r < R, choisissont un r_{0} ∈]r, R[. Donc 0 < q := \frac{r}{r_{0}} < 1, et 0 ≤ α_{n}r^{n} = α_{n}r_{0}^{n} (\frac{r}{r_{0}} )^{n} = α_{n}r_{0}^{n}q^{n} ≤ βq^{n}, où β est un majorant de la suite (α_{n}r_{0}^{n}) qui est bornée puisque r_{0} ∈ B_{α}. Donc, comme ∑_{n≥0} βq^{n} converge, il en est de même de ∑_{n≥0} α_{n}r^{n}.

Par ailleurs, si R < r, la suite (α_{n}r^{n})_{n≥0} est non-bornée par définition de R = Sup B_{α}, et donc ∑_{n≥0} α_{n}r^{n} diverge. □

Preuve : (du théorème 10.2) Posons α_{n} := |a_{n}| et choisissons R = Sup B_{α} comme dans la proposition 10.3.

Si |z| =: r > R, nous voyons que la suite |a_{n}z^{n}| = α_{n}r^{n} n’est pas pas bornée, donc la suite des a_{n}z^{n} n’est pas bornée, et ne tends à forciori pas vers 0. Donc la série ∑_{n≥0} a_{n}z^{n} diverge.

Si z=: r¿R, pour montrer que la série ∑_{n≥0} a_{n}z^{n} converge, il faut et il suffit que la série Re (∑_{n≥0} a_{n}z^{n}) = ∑_{n≥0} Re (a_{n}z^{n}) converge et que la série Im (∑_{n≥0} a_{n}z^{n}) = ∑_{n≥0} Im (a_{n}z^{n}) converge. Choisissons r_{0} tel que r < r_{0} < R et posons q = \frac{r}{r_{0}} < 1. Comme r_{0} ∈ B_{α}, il existe M tel que α_{n}r_{0}^{n} ≤ M pour tout n. Nous avons

|Re (a_{n}z^{n}| ≤ |a_{n}z^{n}| = |a_{n}|z|^{n} = α_{n}r^{n} = α_{n}r_{0}^{n} (\frac{r}{r_{0}} )^{n} = α_{n}r_{0}^{n}q^{n} ≤ Mq^{n},

et ce dernier nombre est le terme général d’une série convergente. Donc ∑_{n≥0} Re (a_{n}z^{n}) est absolument convergente. On raisonnerait de manière analogue pour montrer que Im (∑_{n≥0} a_{n}z^{n}) est convergente. □

Proposition 10.4 Soit ∑_{n≥0} a_{n}r^{n} une série entière, et R son rayon de convergence.

1. Si lim_{n→∞} ^{n}\sqrt{|a_{n}|} = l existe, alors R = 1/l.

2. Si lim_{n→∞} \frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} = l existe, alors R = 1/l.

Preuve : Par définition de R, et en choisissant z = r = |z|, nous savons que ∑_{n≥0} |a_{n}|r^{n} converge si r < R et diverge si r > R. Soit L := lim_{n} ^{n}\sqrt{|a_{n}|r^{n}} = lim_{n} r^{n}\sqrt{|a_{n}|} = r lim_{n} ^{n}\sqrt{|a_{n}|} = rl. Par le critère de la racine, nous savons aussi que ∑_{n≥0} |a_{n}|r^{n} converge si (rl =)L < 1, c’est-à-dire r < \frac{1}{l}, et diverge si (rl =)L > 1, c’est-à-dire r > \frac{1}{l}. Ceci montre que R = \frac{1}{l}. □

Exemples :

• Pour la série ∑_{n≥0} z^{n} on a a_{n} = 1, et donc lim^{n}\sqrt{a_{n}} = 1 = lim \frac{a_{n+1}}{a_{n}}, d’où R = 1/l = 1.

• Pour la série ∑_{m≥0} z^{2m} on a a_{n} = 1 si n = 2m et a_{n} = 0 si n est impair. La suite \frac{a_{n+1}}{a_{n}} n’est donc pas définie pour les n impairs ; par ailleurs ^{n}\sqrt{a_{n}} est égal à 1 ou 0 selon que n est pair ou impair ; la suite (^{n}\sqrt{a_{n}})_{n≥0} n’a donc pas de limite. L’issue, ici, est de poser u = z^{2} et d’étudier la série ∑_{m≥0} u^{m} = ∑_{m≥0} b_{m}u^{m}, avec b_{m} = 1 ; comme nous venons de le voir, R_{u} = 1, et donc ∑_{m≥0} z^{2m} converge pour |z|^{2} = |z^{2}| = |u| < 1 et diverge si |z|^{2} = |z^{2}| = |u| > 1, d’où R_{z} = \sqrt{1} = 1.

• Pour la série ∑_{n≥0} \frac{z^{n}}{n} on a a_{n} = \frac{1}{n}, et donc lim \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = lim \frac{n}{n+1} = 1, d’où R = 1/l = 1.

• Pour la série ∑_{n≥0} \frac{z^{n}}{n !} on a a_{n} = \frac{1}{n !}, et donc lim \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = lim \frac{n !}{(n+1) !} = \frac{1}{n+1} = 0, d’où R = 1/0 = ∞.

10.3.2 Intégration et dérivation des séries entières

Considérons une série entière ∑_{n≥0} a_{n}z^{n}; posons f_{N}(z) = ∑_{n=0}^{N} a_{n}z^{n}. On a

f′_{N}(z) = ∑_{n=1}^{N} na_{n}z^{n−1} = ∑_{n=0}^{N−1} d_{n}z^{n}, pour d_{n} := (n + 1)a_{n+1}, et

F_{N}(z) := A_{0} + ∫_{0}^{z} f_{N}(ζ)dζ = A_{0} + ∑_{n=0}^{N} \frac{a_{n}}{n + 1}z^{n+1} = ∑_{n=0}^{N+1} A_{n}z^{n}, avec A_{n} = \frac{a_{n−1}}{n} pour n ≥ 1.

Proposition 10.5 Les séries entières ∑_{n≥0} a_{n}z^{n}, ∑_{n≥0} d_{n}z^{n}, et ∑_{n≥0} A_{n}z^{n} ainsi définies ont même rayon de convergence.

Preuve : Soit R le rayon de convergence de ∑_{n≥0} a_{n}z^{n}. Donc la suite (a_{n}r^{n})_{n≥0} tend vers 0 si r < R et est non bornée si r > R. Pour r ≠ R choisissons r_{0} strictement compris entre r et R et posons q = \frac{r}{r_{0}} . Considérons le cas de la série-dérivée ∑_{n≥0} d_{n}z^{n} = ∑_{n≥0}(n + 1)a_{n+1}z^{n}. Notons R_{d} son rayon de convergence. Si r < R (et donc r < r_{0} < R et q < 1), on a d_{n}r^{n} = (n + 1)a_{n+1}r_{0}^{n}q^{n} = a_{n+1}r_{0}^{n+1} \frac{n+1}{r_{0}}q^{n}. Or la suite (a_{n+1}r_{0}^{n+1})_{n≥1} tend vers 0 puisque r_{0} < R, et la suite (\frac{n+1}{r_{0}}q^{n})_{n≥1} tend vers 0 car q < 1. Donc r ≤ R_{d} et cela pour tout r < R, donc R ≤ R_{d}.

Si r > R (et donc r > r_{0} > R et q > 1), on a d_{n}r^{n} = (n + 1)a_{n+1}r_{0}^{n}q^{n} = a_{n+1}r_{0}^{n+1} \frac{n+1}{r_{0}}q^{n}. Or la suite (a_{n+1}r_{0}^{n+1})_{n≥1} est non bornée puisque r_{0} > R, et la suite (\frac{n+1}{r_{0}}q^{n})_{n≥1} tend vers +∞ car q > 1. Donc r ≥ R_{d} et cela pour tout r > R, donc R ≥ R_{d}, d’où finalement R = R_{d}.

On procèderait de manière similaire pour la série-primitive ∑_{n≥0} A_{n}z^{n} = ∑_{n≥0} \frac{a_{n−1}}{n} z^{n}. □

Pour |z| < R, soient f(z) = lim_{n→∞} f_{N}(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n}, F (z) = lim_{n→∞} F_{N}(z) = ∑_{n=0}^{∞} A_{n}z^{n}, et g(z) = lim_{n→∞} f′_{N}(z) = ∑_{n=0}^{∞} d_{n}z^{n}

Théorème 10.6 Les fonction f, F, et g ainsi définies sont holomorphes sur le disque ouvert U = {z ∈ ℂ | |z| < R\}; on a F’(z)=f(z) et f′(z) = g(z). Enfin a_{n} = \frac{f^{(n)}(0)}{n !}.

Preuve : Pour z = x ∈ ℝ et ′ = \frac{d}{dx} (dérivation au sens réel, c’est-à-dire pour des accroissements h réels) ceci est un simple corollaire du théorème 9.4, puisque la proposition 10.3 assure la convergence uniforme sur tout intervalle [−r, r] pour 0 ≤ r < R. Le résultat est toutefois vrai dans la généralité énoncée ici mais sa preuve déborde des ambitions raisonables pour un cours de Deug. □

10.3.3 Séries entières fondamentales

• ∑_{n=0}^{∞} z^{n} = \frac{1}{1−z} avec R = 1.

• ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n}z^{2n} = \frac{1}{1+z^{2}} avec R = 1 ; (voir ci-dessus, pour u = −z^{2}.)

• ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}}{n} z^{n} =: ln(1 + z) avec R = 1 ; (intégrer \frac{1}{1+z} = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n}z^{n}.)

• ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n !}z^{n} =: exp(z) = e^{z}; (définition de l’exponentielle complexe.)

• ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{(2n+1) !}z^{2n+1} =: sin(z) ; (définition du sinus complexe.)

• ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{(2n) !} z^{2n} =: cos(z) ; (définition du cosinus complexe.)

Exercice : Vérifier que cos(z) = \frac{e^{iz}+e^{−iz}}{2} , sin(z) = \frac{e^{iz}−e^{−iz}}{2i}, et donc e^{iϑ} = cos(ϑ) + i sin(ϑ).

Fonctions génératrices

11.1 Fonction génératrice des probabilité d’une v.a. entière

Soit X ⇝ B(n, p) une v.a. binômiale ; on a p_{X}(k) := ℙ\{X = k\} = ( \begin{matrix}n \\ p \end{matrix} ) p^{k}(1 − p)^{n−k}. On observe que

les nombres p_{X}(k) sont précisément les coefficients du polynôme

G_{X}(s) := ((1 − p) + ps)^{n} = ∑_{k=0}^{n} ( \begin{matrix}n \\ p \end{matrix} ) p^{k}(1 − p)^{n−k}s^{k} = ∑_{k=0}^{n} p_{X}(k)s^{k} = 𝔼(s^{X}).

Cette dernière expression, 𝔼(s^{X}), se prète à la généralisation :

Définition : Soit X une v.a. entière. On appelle fonction génératrice des probabilités (fgp) de X, et on note G_{X}, la fonction

G_{X}(s) := 𝔼(s^{X}) = ∑_{k=0}^{∞} p_{X}(k)s^{k}.

Remarques :

• Comme ∑_{k=0}^{∞} p_{X}(k) = 1, le rayon de convergence R_{G} de la série entière ∑_{k=0}^{∞} p_{X}(k)s^{k} est au moins égal à 1.

• Si X et Y ont même fgp, elles ont même loi, puisque

ℙ\{X = k\} = p_{X}(k) = \frac{G_{X}^{(k)}(0)}{k !} = \frac{G_{Y}^{(k)}(0)}{k !} = p_{Y} (k) = ℙ\{y = k\}.

Théorème 11.1 Si 𝔼X^{r}, le moment d’ordre r de la v.a. X existe, et la dérivé G_{X}^{(r)} de la fgp de X vérifie

G_{X}^{(r)}(1) = 𝔼[X(X − 1) … (X − r + 1)],  (11.1)

où, lorsque R = 1, G^{(r)}(1) désigne lim_{s→1^{−}} G^{(r)}(s) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{d^{r}}{ds^{s}} (p(k)s^{k}).

Comme on sait seulement que R_{G} ≥ 1, on est assuré de la dérivabilité de G_{X} que pour |s| < 1. Comme G_{X}(1) est toutefois bien défini, le résultat suivant s’applique ; il servira dans la preuve du théorème 11.1.

Lemme 11.2 (Abel) Si la série entière de f(x) := ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} converge pour tout |x| < 1, et si ∑_{n=0}^{∞} a_{n} converge, alors lim_{x→1^{−}} f(x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n} = f(1)

Preuve : Comme les dérivées terme à terme d’une série entière ont le même rayon de convergence que cette série entière, le rayon de convergence de la série de G^{(r)}(s) pour |s| < R est lui aussi, au moins égal à 1. Comme 𝔼X^{r} existe, il en est de même de 𝔼X^{s} pour 0 ≤ s ≤ r, et donc 𝔼[X(X − 1) … (X − r + 1)] existe bien. Montrons le théorème pour r = 1 ; le cas général se montrerait de même par récurrence. Pour |s| < 1, on a, en dérivant terme à terme,

G′_{X}(s) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{d}{ds}(p(k)s^{k}) = ∑_{k=0}^{∞} kp(k)s^{k−1},

d’où, par le lemme d’Abel 11.2, lim_{s→1^{−}} G′_{X}(s) = ∑_{k=0}^{∞} kp(k) = 𝔼X. □

Exemples :

• Fonction génératrice des probablités d’une v.a. de Poisson X ⇝ P(λ) :

On a ℙ\{X = k\} = e^{−λ} \frac{λ^{k}}{k !} , donc

G_{X}(s) = 𝔼s^{X} = ∑_{k=0}^{∞} e^{−λ} \frac{λ^{k}}{k!} s^{k} = e^{−λ} ∑_{k=0}^{∞} \frac{(λs)^{k}}{k!} = e^{−λ}e^{λs} = e^{λ(s−1)}.

D’où G′_{X}(s) = λe^{−λ(s−1)}, et donc 𝔼X = G′_{X}(1) = λ. Plus généralement, G_{X}^{(r)}(s) = λ^{r}e^{−λ(s−1)}, et donc 𝔼[X(X − 1) … (X − r + 1)] = G_{X}^{(r)}(1) = λ^{r}. En particulier λ^{2} = 𝔼[X(X − 1)] = 𝔼X^{2} − 𝔼X, donc 𝔼X^{2} = λ^{2} + λ, d’où Var X = 𝔼X^{2} − (𝔼X)^{2} = λ^{2} + λ − λ^{2} = λ.

• Fonction génératrice des probablités d’une v.a. géométrique X ⇝ G(α) :

On a ℙ{X = k} = (1 − α)α^{k−1}, k = 1, 2, …, donc

G_{X}(s) = 𝔼s^{X} = ∑_{k=1}^{∞}(1 − α)α^{k−1}s^{k} = \frac{1 − α}{α} = ∑_{k=1}^{∞}(αs)^{k} = (1 − α)\frac{s}{1 − αs},

donc G′_{X}(s) = \frac{1−α}{(1−αs)^{2}} , et 𝔼X = G′_{X}(1) = \frac{1−α}{(1−α)^{2}} = \frac{1}{1−α} ; par ailleurs

𝔼X^{2} − 𝔼X = G′′_{X}(s) = (1 − α)\frac{+2α}{(1 − α)^{3}} = \frac{2α}{(1 − α)^{2}} ,

d’où 𝔼X^{2} = \frac{2α}{(1−α)^{2}} + \frac{1}{1−α} = \frac{1+α}{(1−α)^{2}} , et

Var X = 𝔼X^{2} − (𝔼X)^{2} = \frac{1 + α}{(1 − α)^{2}} − \frac{1}{(1 − α)^{2}} = \frac{α}{(1 − α)^{2}} .

Proposition 11.3 Si X et Y sont deux v.a. indépendantes, G_{X+Y} (s) = G_{X}(s)G_{Y} (s).

Preuve : Comme X et Y sont indépendantes, il en est de même pour les v.a. s^{X} et s^{Y}, d’où

G_{X+Y} (s) = 𝔼[s^{X+Y}] = 𝔼[s^{X}s^{Y}] = 𝔼[s^{X}]𝔼[s^{Y}] = G_{X}(s)G_{Y} (s).
□

Exemples :

• V.a. de Bernoulli : on sait que la loi binômiale est la loi de la somme de n v.a de Bernoulli indépendantes : ceci explique que la fgp d’une v.a. de Bernouli, G(s) = ((1 − p) + ps)^{n} est la puissance n-ième de la fgp (1 − p) + ps d’une v.a. de Bernoulli.

• Somme aléatoire de v.a. i.i.d. : Soit N, X_{1}, …, X_{k}, … des v.a. entières indépendantes, les X_{k} étant identiquement distribuées. Notons respectivement G_{N} et G_{X} les fgp de N et des X_{k}. Soit T := ∑_{k=1}^{N} X_{k} la somme aléatoire des X_{k} (un modèle possible pour le coût annuel des sinistres pour une compagnie d’assurance : N désigne le nombre de sinistres par an, et X_{k} représente le coût du k-ième). Alors G_{T} = G_{N} ∘ G_{X}. En effet, G_{T} (s) = 𝔼(𝔼(s^{T} |N)) = 𝔼g(N), avec

g(n) := 𝔼(s^{T} |N = n) = 𝔼 (s^{∑_{k=1}^{n} X_{k}}|N = n) =^{♯} 𝔼 (s^{∑_{k=1}^{n} X_{k}}) =^{♮} ∏_{k=1}^{n} 𝔼(s^{X_{k}}) = (G_{X}(s))^{n},

où l’égalité ♯ résulte de l’indépendance de X_{1}, …, X_{n} de N, et l’égalité ♮ résulte de l’indépendance mutuelle des X_{1}, …, X_{n}. En posant y := G_{X}(s), on a donc G_{T} (s) = 𝔼y^{N} = G_{N}(y) = G_{N} ∘ G_{X}(s).

Théorème 11.4 (admis) Soient X, X_{1}, X_{2}, … une suite de v.a.. Si, pour tout |s| ≤ 1, lim_{n→∞} G_{X_{n}}(s) = G_{X}(s), alors la suite des X_{n} tend en loi vers X, c’est-à-dire que

lim_{n→∞} ℙ{X_{n} = k} = ℙ{X_{n} = k} pour tout k.

Dans l’exemple Y_{n} ⇝ U(1..n) (loi discrète uniforme sur 1..n) on devine que si X est la limite des X_{n} = \frac{1}{n}Y_{n}, X suivra une loi continue uniforme U[0, 1]. Nous souhaitons donc une notion de fonction génératrice qui s’applique aussi au cas de v.a. absolument continues.

11.2 Fonction génératrice des moments (v.a. continue ou discrète)

Soit X ⇝ E(λ) une v.a. suivant une loi exponentielle. Son k-ième moment μ_{X}(k) = 𝔼X^{k}, se calcule facilement au moyen de k intégrations par parties et est donc égal à

μ_{X}(k) = 𝔼X^{k} = ∫_{0}^{∞} x^{k}λe^{−λx}dx = \frac{k!}{λ^{k}} .

On observe que les nombres \frac{1}{k !}μ_{X}(k) sont précisément les coefficients du développement en série entière de la fonction

M_{X}(t) = \frac{λ}{λ − t} = \frac{1}{1 − (\frac{t}{λ})} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{t^{k}}{λ^{k}} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{μ_{X}(k)}{k!}t^{k}

= ∑_{k=0}^{∞} \frac{𝔼X^{r}}{k!} t^{k} = ∑_{k=0}^{∞} 𝔼 [\frac{X^{r}}{k!} t^{k}] =^{♭} 𝔼 [∑_{k=0}^{∞} \frac{X^{r}}{k!} t^{k}] = 𝔼e^{tX},

où l’égalité surmontée d’un bémol ♭ impose la circonspection usuelle vis-à-vis du caractère infini de la somme considérée. La dernière expression, 𝔼e^{tX}, se prète à la généralisation :

Définition : On appelle fonction génératrice des moments de X la fonction M_{X} définie par

M_{X}(t) := 𝔼e^{tX}

Théorème 11.5 Supposons que tous les moments μ_{X}(k) := 𝔼X^{k} d’une v.a. X soient définis, et que la série ∑_{k=0}^{∞} \frac{μ_{X}(k)}{k !}t^{k} converge, avec un rayon de convergence R non nul. Alors, pour |t| < R, 𝔼e^{tX} existe et est égal à ∑_{k=0}^{∞} \frac{𝔼X^{r}}{k !} t^{k}, et

M_{X}(t) = 𝔼e^{tX} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{μ_{X}(k)}{k!}t^{k} , (|t| < R).

Remarques :

• Nous admettons ce théorème et retenons sa conclusion sous la forme que 𝔼e^{tX} =: M_{X}(t) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{𝔼X^{r}}{k !} t^{k} pour |t| < R. Sa preuve est simple dès lors qu’on dispose de la théorie de Lebesgue de l’intégrale.

• Si X est à valeurs entières positives, en posant s = e^{t}, nous voyons que

M_{X}(t) = 𝔼e^{tX} = 𝔼(e^{t})^{X} = 𝔼s^{X} = G_{X}(s) = G_{X}(e^{t}).

Cette dernière expression est définie pour |s| ≤ 1, donc M_{X}(t) est définie pour t ≤ 0 (au moins) ; les hypothèses sur la convergence de la série formée à partir des moments n’est utile que pour assurer une représentation de M_{X} par une série en puissances entières de t.

• Si X est absolument continue, de fonction de densité de probabilité (fdp) f_{X}, nous avons

M_{X}(t) = 𝔼e^{tX} = ∫_{−∞}^{+∞} e^{tx}f_{X}(x)dx.

L’opération fonctionnelle f_{X} ↦ M_{X} associant à une fonction (x ↦ f(x)) la fonction (t ↦ M(t) = ∫_{−∞}^{+∞} f(t)e^{tx}dx) s’appelle la transformation de Laplace (bilatère) et est utilisée dans biens des branches des Mathématiques, allant de méthodes pour l’ingénieur aux théories les plus récentes de sommation des séries divergentes qui apparaissent notamment en physique théorique. Nous l’étudierons plus en détails plus loin.

• Par la formule de Taylor nous savons que le coefficient de t^{k} dans la série entière de M_{X} n’est autre

que la valeur de \frac{M_{X}^{(k)}(0)}{k !}, donc μ_{X}(k) = M^{(k)}(0), d’où

𝔼X^{k} = M_{X}^{(k)}(0).  (11.2)

Exemples :

• Fonction génératrice des moments d’une v.a. uniforme continue X ⇝ U[a, b] :

On a f_{X}(x) = \frac{1}{b−a}𝕀_{[a,b]}, d’où μ_{X}(k) = ∫_{a}^{b} \frac{x^{k}}{b−a}dx = \frac{b^{k+1}−a^{k+1}}{b−a}, une expression guère commode. De fait

M_{X}(t) = 𝔼e^{tX} = ∫ e^{tx} \frac{1}{b − a}𝕀_{[a,b]}(x)dx = \frac{1}{b − a} ∫_{a}^{b} e^{tx}dx = \frac{1}{b − a} [\frac{1}{t}e^{tx}]_{x=a}^{b} = \frac{e^{bt} − e^{at}}{(b − a)t} .

• Fonction génératrice des moments d’une v.a. uniforme discrete X_{n} ⇝ U]0..1]_{\frac{1}{n}} = \frac{1}{n}Y_{n} avec Y_{n} ⇝ U]1..n] : On a p_{X_{n}}(\frac{i}{n}) = \frac{1}{n}, pour i = 1..n, d’où

M_{X_{n}}(t) = 𝔼e^{tX} = ∑_{i=1}^{n} \frac{1}{n}e^{t \frac{i}{n}} = \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} (e^{\frac{t}{n}} )^{i} = \frac{1}{n}e^{\frac{t}{n}} \frac{(e^{\frac{t}{n}} )^{n} − 1}{e^{\frac{t}{n}} − 1} = \frac{e^{t} − 1}{n(1 − e^{− \frac{t}{n}})}.

• Fonction génératrice des moments d’une v.a. exponentielle X ⇝ E(λ) :

On a f_{X}(x) = λe^{−λx}𝕀_{[0,+∞[}(x). Là encore, inutile de calculer les moments. Pour t < λ on a

M_{X}(t) = 𝔼e^{tX} = ∫ e^{tx}λe^{−λx}𝕀_{[0,+∞[}(x) = ∫_{0}^{+∞} λe^{(t−λ)x}dx = \frac{λ}{t − λ} [e^{(t−λ)x}]_{x=0}^{+∞} = \frac{λ}{λ − t}.

• Fonction génératrice des moments d’une v.a. normale X ⇝ N (0, 1) :

On a f_{X}(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{− \frac{x^{2}}{2}} , d’où

M_{X}(t) = 𝔼e^{tX} = ∫_{−∞}^{+∞} e^{tx} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{− \frac{x^{2}}{2}} dx = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−∞}^{+∞} e^{− \frac{x^{2}}{2} +tx}dx.

C’est une intégrale gaussienne ; il convient de mettre l’exposant de l’intégrand sous la forme −\frac{v^{2}}{2} +c. On a

−\frac{x^{2}}{2} + tx = −\frac{1}{2}(x^{2} − 2tx) = −\frac{1}{2}[(x − t)^{2} − t^{2}] = −\frac{1}{2}(x − t)^{2} + \frac{t^{2}}{2} = −\frac{v^{2}}{2} + \frac{t^{2}}{2}

pour v = x − t, et finalement

M_{X}(t) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−∞}^{+∞} e^{− \frac{x^{2}}{2} +tx}dx = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−∞}^{+∞} e^{− \frac{v^{2}}{2} + \frac{t^{2}}{2}} dv = e^{+ \frac{t^{2}}{2}} \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−∞}^{+∞} e^{− \frac{v^{2}}{2}} dv = e^{+ \frac{t^{2}}{2}} .

On pourrait procéder de manière similaire pour X ⇝ N (μ, σ) et obtenir

M_{X}(t) = e^{μt}e^{\frac{1}{2} σ^{2}t^{2}}.

Les calculs sont toutefois plus laborieux, et seront bien plus aisés avec le recul des propriétés de la transformation de Laplace. Notons qu’on trouve M′_{X}(t) = (μ + σ^{2}t)M_{X}(t) et M′′_{X}(t) = (σ^{2} + (μ + σ^{2}t)^{2})M_{X}(t), d’où M′_{X}(0) = μ et M′′_{X}(0) = σ^{2} + μ^{2}, d’où 𝔼X = M′_{X}(0) = μ, 𝔼X^{2} = M′′_{X}(0) = σ^{2} + μ^{2}, et Var X = σ^{2} + μ^{2} − μ^{2} = σ^{2}. On retrouve bien l’espérance et la variance d’une v.a. suivant une loi N (μ, σ).

En raisonnant comme dans le cas de la fonction génératrice des probabilités on voit qu’on a

Proposition 11.6 Si X et Y sont deux v.a. indépendantes, M_{X+Y} (t) = M_{X}(t)M_{Y} (t).

Théorème 11.7 (admis) Soient X, X_{1}, X_{2}, … une suite de v.a.. Si, pour tout |t| ≤ R, lim_{n→∞} M_{X_{n}}(t) = M_{X}(t), alors la suite des X_{n} tend en loi vers X, c’est-à-dire que

lim_{n→∞} M_{X_{n}}(t) = M_{X}(t)pour tout t implique que lim_{n→∞} F_{X_{n}}(x) = F_{X}(x) pour tout x,

où F_{X}(x) := ℙ{X ≤ x} et F_{X_{n}}(x) := ℙ{X_{n} ≤ x} désignent les fonctions caractérisques des v.a. considérées. En particulier, si pour deux v.a. X et Y on a M_{X} = M_{Y}, alors X et Y ont même loi.

Reprenons l’exemple Y_{n} ⇝ U[1..n] (loi discrète uniforme sur 1..n) et supposons que X est la limite des X_{n} = \frac{1}{n}Y_{n}. Nous avons vu que M_{X_{n}}(t) = \frac{e^{t}−1}{n(1−e^{− \frac{t}{n}})}. Un développement limité à l’ordre 1 du dénominateur

n(1 − e^{− \frac{t}{n}}) = n(1 − (1 − \frac{t}{n} + …)) montre que lim_{n} M_{X_{n}}(t) = \frac{e^{t}−1}{t}, la fonction génératrice des moments d’une v.a. continue uniforme sur [0, 1], ce qui montre que X ⇝ U[0, 1].

Transformation de Laplace

12.1 Transformation de Laplace bilataire

Pour p = α + iω ∈ ℂ, x ∈ ℝ, et f(x) ∈ ℝ, f continue par morceaux, on a

g(p ; x) := e^{−px}f(x) = e^{−αx}e^{−iωx}f(x) = e^{−αx}f(x)(cos x − i sin x) =: g_{1}(p ; x) + ig_{2}(p ; x),

où les g_{k}(p ; x), k = 1, 2, sont des fonctions réelles. On peut donc définir

∫_{−∞}^{+∞} g(p ; x)dx := ∫_{−∞}^{+∞} g_{1}(p ; x)dx + i ∫_{−∞}^{+∞} g_{2}(p ; x)dx.

Bien entendu, une question d’intégrabilité des fonctions g_{k} se pose ; pour cela, observons que pour k = 1, 2, on a

|g_{k}(p ; x)| ≤ |g(p ; x)| = |e^{−px}f(x)| = e^{−αx}|f(x)| , puisque |e^{−iωx}| = | cos(ωx) − i sin(ωx)| = 1.

Supposons que f soit de type exponentiel tant en x = +∞ que x = −∞, c’est-à-dire qu’il existe C ≥ 1 et α_{−} < α_{+} tels que

|f(x)| ≤ Ce^{α_{−}x} pour x > 0 (type exponentiel en x = +∞),
|f(x)| ≤ Ce^{α_{+}x} pour x < 0 (type exponentiel en x = −∞) ;

observez que α_{−} va avec x > 0, et α_{+} va avec x < 0. On a donc |g_{k}(p ; x)| ≤ Ce^{(α_{−}−α)x} pour x > 0, et |g_{k}(p ; x) ≤ Ce^{(α_{+}−α)x} pour x < 0 ; pour assurer l’intégrabilité des g_{k} en x = +∞ il suffit donc d’avoir α_{−} − α > 0, et pour l’intégrabilité des g_{k} en x = −∞ il suffit d’avoir α_{+} − α > 0. Les deux intégrales sont donc bien définies pourvu que

α_{−} < α := Re (p) < α_{+}.

Définition : Pour f continue par morceaux et de type exponentiel, on appelle transformée de Laplace bilataire de f et on note F := L[f] la fonction

p ↦ F (p) = L[f](p) := ∫_{−∞}^{+∞} e^{−px}f(x)dx

définie pour α_{−} < Re (p) < α_{+}. Pour exprimer que F est la transformée de Laplace bilataire de f nous écrirons

f(x) ⊐ F (p).

Exemple : Si f_{X} est la fonction de densité d’un v.a. X, et M_{X} sa fgm, on a

M_{X}(t) = L[f](−t).

12.1.1 Quelques propriétés de la transformation de Laplace bilataire

On notera systématiquement F = L[f].

• linéarité : comme ∫_{−∞}^{+∞} e^{−px}(λf(x) + μg(x))dx = λ ∫_{−∞}^{+∞} e^{−px}f(x)dx + μ ∫_{−∞}^{+∞} g(x))dx, on a

L[λf + μg] = λL[f] + μL[g].

• f(ax) ⊐ \frac{1}{|a|}F (\frac{p}{a}), pour a ≠ 0 réel.

En effet, en posant y = ax dans l’intégrale ci-dessous, on a, si a > 0,

∫_{−∞}^{+∞} e^{−px}f(ax)dx = ∫_{−∞}^{+∞} e^{− \frac{py}{a}} \frac{1}{a}dy = \frac{1}{a} ∫_{−∞}^{+∞} e^{−(\frac{p}{a})y}dy = \frac{1}{|a|}F (\frac{p}{a}) .

Si a < 0, le même changement de variable x = ay interverti les bornes d’intégration, et en observant que −a = |a|, on a ici

∫_{−∞}^{+∞} e^{−px}f(ax)dx = ∫_{+∞}^{−∞} e^{− \frac{py}{a}} \frac{1}{a}dy = \frac{1}{−a} ∫_{−∞}^{+∞} e^{−(\frac{p}{a})y}dy = \frac{1}{|a|}F (\frac{p}{a}) .

• f(x − a) ⊐ e^{−ap}F (p).

En effet, il suffit cette fois d’effectuer le changement de variable y = x − a:

∫_{−∞}^{+∞} e^{−px}f(x−a)dx = ∫_{−∞}^{+∞} e^{−p(y+a)}f(y)dy = ∫_{−∞}^{+∞} e^{−py−pa}f(y)dy = e^{−pa} ∫_{−∞}^{+∞} e^{−py}f(y)dy = e^{−pa}F (p)

• e^{−ax}f(x) ⊐ F (p + a).

En effet,

∫_{−∞}^{+∞} e^{−px}e^{−ax}f(x)dx = ∫_{−∞}^{+∞} e^{−(p+a)x}f(x)dx = F (p + a).

• H(x) ⊐ \frac{1}{p}, pour Re (p) > 0, où x ↦ H(x) est la fonction de Heaviside, définie par H(x) = 1 si

x > 0 et H(x) = 0 si x < 0. En effet

∫_{−∞}^{+∞} e^{−px}H(x)dx = ∫_{0}^{+∞} e^{−px}dx = [\frac{−1}{p}e^{−px}]_{x=0}^{x=+∞} = −\frac{−1}{p} = \frac{1}{p},

puisque lim_{x→+∞} |e^{−px}| = lim_{x→+∞} |e^{−αx}||e^{−iωx}| = lim_{x→+∞} e^{−αx} = 0, si α := Re (p) > 0, puisque |e^{−iωx}| = 1.

12.1.2 Application : calcul de la fgm d’une v.a. X normale, X ⇝ N (μ, σ).

Soit f(x) := f_{X}(x). On a f(x) = \frac{1}{σ\sqrt{2π}} e^{− \frac{(x−μ)^{2}}{2σ^{2}}} = \frac{1}{σ} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{− \frac{1}{2}(\frac{x}{σ} − \frac{μ}{σ})^{2}} = \frac{1}{σ} g_{\frac{μ}{σ}} (\frac{x}{σ} ) , où

g_{λ}(y) = \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{− \frac{(y−λ)^{2}}{2}} = h(y − λ) , avec h(x) := \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{− \frac{x^{2}}{2}} .

Nous avons calculé au chapitre 11 la fgm d’une v.a. normale, centrée, et réduite, et donc

h(x) ⊐ H(p) = e^{+ \frac{(−p)^{2}}{2}} = e^{+ \frac{p^{2}}{2}} , d’où
g_{λ}(y) = h(y − λ) ⊐ G_{λ}(p) = e^{−λp}H(p) = e^{−λp}e^{+ \frac{p^{2}}{2}} .

Posons λ := \frac{μ}{σ}, et a = \frac{1}{σ} > 0 ; on a

f(x) = \frac{1}{σ} g_{λ} (\frac{x}{σ} ) ⊐ F (p) = \frac{1}{σ} \frac{1}{a}G_{λ} (\frac{p}{a}) = e^{−λ \frac{p}{a}} e^{\frac{1}{2} ( \frac{p}{a})^{2}} = e^{−μp}e^{\frac{σ^{2}p^{2}}{2}} .

Finalement, M_{X}(t) = L[f](−t) = e^{μt}e^{\frac{σ^{2}t^{2}}{2}} , comme annoncé au chapitre 11.

12.2 Transformation de Laplace (unilataire)

Le fait d’avoir à demander que f soit de type exponentiel aussi bien en x = +∞ qu’en x = −∞ est très contraignant. Ainsi, si l’on considère f(x) = x, il est nécessaire, pour x = +∞, de choisir α_{−} > 0, et pour x = −∞ il faut choisir α_{+} < 0, et la condition α_{−} < α_{+} ne peut donc plus être satisfaite. Si on peut ne s’intéresser à f(x) que pour x ≥ 0, on a le recours suivant : considérer la fonction f_{+}(x) := H(x)f(x), qui coïncide avec f pour x ≥ 0, et est nulle pour x < 0, ce qui permet de choisir α_{+} = +∞ (ce qui signifie une valeur de α_{+} aussi grande que souhaitée), puisque 0 ≤ e^{α_{+}x}, pour n’importe quel α_{+}.

Définition : Pour toute fonction f continue par morceaux, de type exponentiel en x = +∞, on appelle transformée de Laplace (unilataire) de f et on note L[f] la transformée de Laplace bilataire de H(x)f(x), c’est-à-dire la fonction

p ↦ L[f](p) = ∫_{0}^{+∞} e^{−px}f(x)dx.

Exemple : Si f_{X} est la fonction de densité de probabilité d’une v.a. positive X, on a L[f] = L[f], et

M_{X}(t) = L[f](−t).

La transformation de Laplace unilataire est définie pour la plupart des fonctions usuelles ; c’est également pour cette version de la transformation de Laplace que nous verrons l’un de ses domaines d’application : remplacer les opérations de dérivation et intégration par des opérations algébriques.

12.2.1 Quelques relations relatives de la transformation de Laplace

La plupart des résultats suivants s’obtiennent par une intégration par parties d’expressions du type ∫ u′v avec e^{−px} tantôt égal à u′ tantôt à v.

• L(x ↦ x)(p) = \frac{1}{p^{2}} , pour Re (p) > 0.

En effet, en pratiquant une intégration par parties, en posant u′ = e^{−px}, on a

∫_{0}^{+∞} e^{−px}xdx = [\frac{−1}{p}e^{−px}x]_{x=0}^{+∞} − ∫_{0}^{+∞} \frac{−1}{p}e^{−px}xdx = 0 − 0 + \frac{1}{p} [\frac{−1}{p}e^{−px}x]_{x=0}^{+∞} = \frac{1}{p^{2}} .

• L(x ↦ x^{n})(p) = \frac{n !}{p^{n+1}} , pour Re (p) > 0.

En effet, en pratiquant une intégration par parties, en posant une nouvelle fois u′ = e^{−px}, on a

L(x ↦ x^{n})(p) = ∫_{0}^{+∞} e^{−px}x^{n}dx = [\frac{−1}{p}e^{−px}x^{n}]_{x=0}^{+∞}−∫_{0}^{+∞} \frac{−n}{p}e^{−px}x^{n−1}dx = 0−0+\frac{n}{p}L(x ↦ x^{n−1})(p) ;

le résultat annoncé s’en déduit immédiatement par récurrence.

• L(x ↦ e^{−ax})(p) = \frac{1}{p+a}, pour Re (p) > −a.

En effet, on a

∫_{0}^{+∞} e^{−px}e^{−ax}dx = ∫_{0}^{+∞} e^{−(p+a)x}dx = [\frac{−1}{p + a}e^{−(p+a)x}]_{x=0}^{+∞} = 0 − \frac{−1}{p + a} = \frac{1}{p + a}.

•

L(x ↦ cos(ωx))(p) = \frac{p}{p^{2}+ω^{2}} , pour Re (p) > 0.

• L(x ↦ sin(ωx))(p) = \frac{ω}{p^{2}+ω^{2}} , pour Re (p) > 0.

Ces deux résultats se démontrent de pair, par une intégrations par partie, en posant v = e^{−px}. Nous utiliserons les notations C(p) := L(x ↦ cos(ωx))(p) et S(p) := L(x ↦ sin(ωx))(p). On a

C(p) = ∫_{0}^{+∞} e^{−px} cos(ωx)dx = [e^{−px} \frac{1}{ω} sin(ωx)]_{x=0}^{+∞} − ∫_{0}^{+∞} −pe^{−px} \frac{1}{ω} sin(ωx)dx = +\frac{p}{ω} S(p) , et

S(p) = ∫_{0}^{+∞} e^{−px} sin(ωx)dx = [e^{−px} \frac{−1}{ω} cos(ωx)]_{x=0}^{+∞}−∫_{0}^{+∞} −pe^{−px} \frac{−1}{ω} cos(ωx)dx = \frac{+1}{ω}−\frac{p}{ω} C(p).

En d’autres termes, C(p) et S(p) forment la solution du système linéaire

\{ \begin{matrix}C(p) − \frac{p}{ω} S(p) & = & 0 \\ \frac{p}{ω} C(p) + S(p) & = & \frac{1}{ω} , \end{matrix}  (12.1)

qui se résoud facilement par combinaison, et on obtient le résultat annoncé.

• L[f′](p) = pL[f] − f(0^{+}).

En effet, en posant v = e^{−px}, on a

∫_{0}^{+∞} e^{−px}f′(x)dx = [e^{−px}f(x)]_{x=0}^{+∞} − ∫_{0}^{+∞} −pe^{−px}f′(x)dx = f(0) + pL[f](p).

• L[∫_{0}^{x} f(ξ)dξ](p) = \frac{1}{p}L[f](p), pourvu que lim_{x→+∞} e^{−αx} ∫_{0}^{x} f(ξ)dξ = 0, avec α = Re (p).

En effet, en posant cette fois u′ = e^{−px}, on a

∫_{0}^{+∞} e^{−px} ∫_{0}^{x} f′(ξ)dξ = [\frac{−1}{p}e^{−px} ∫_{0}^{x} f′(ξ)dξ]_{x=0}^{+∞} − ∫_{0}^{+∞} \frac{−1}{p}e^{−px}f(x)dx = +\frac{1}{p}L[f](p).

• L[f ∗ g] = L[f]L[g], où f ∗ g(x) := ∫_{0}^{+∞} f(t)g(x − t)dt; nous reviendrons plus tard sur le produit de convolution f ∗ g, et prouverons alors cette identité.

Le résultat suivant est à la base de la résolution de problèmes par transformation de Laplace ; il permet la démarche générale suivante :

1. chercher la relation satisfaite par la transformée de Laplace F de la solution f du problème posé,

2. déterminer la solution F du problème posé par cette nouvelle relation,

3. trouver la fonction f ayant pour transformée de Laplace la fonction F.

Dans les cas élémentaires, ces trois étapes se réduisent à de simples calculs algébriques.

Théorème 12.1 (admis) Soient f_{1} et f_{2} continues par morceaux, de type exponentiel en +∞, et si L[f_{1}] = L[f_{2}], alors f_{1}(x) = f_{2}(x) en tout point x ≥ 0 où f_{1} et f_{2} sont continues.

Exemple : Soit à trouver la solution de y′(x) = ay(x), une équation différentielle ordinaire que vous connaissez bien. Posons y(x) ⊐ Y (p). On a donc

pY (p) − y(0) = L[y′](p) = L[ay(x)](p) = aY (p),

d’où Y (p) = \frac{y(0)}{p−a}. Or y(0)e^{ax} ⊐ \frac{y(0)}{p−a} ; donc y(x) = y(0)e^{ax} pour x ≥ 0, puisque le théorème nous assure que ces deux fonctions continues, qui ont même transformées de Laplace, sont nécessairement égales. Vous savez que la restriction à x ≥ 0 est inutile ; elle résulte ici de l’usage de la transformée de Laplace unilataire qui, en “écrasant” les valeurs de y pour x < 0 empèche un théorème dont la conclusion s’applique aussi pour x < 0.

Chapitre 13

Le théorème central-limit

13.1 Une motivation issue de la finance

72 CHAPITRE 13. LE THÉORÈME CENTRAL-LIMIT

Séries de Fourier

Ce cours est consacré à une représentation particulièrment commode des fonctions définies sur ℝ à valeurs réelles ou complexes, et 2π-périodiques. Elle permet de coder ou résumer une telle fonction par deux suites de nombres (a_{n})_{n≥0} et (b_{n})_{n≥1}, voire en une seule suite (c_{n})_{n∈ℤ}. Le calcul avec ces codes est simple et la connaissance des premiers termes des suites permet une bonne approximation des fonctions qu’ils résument. Ces représentations ont été introduites par Joseph Fourier, notamment pour la résolution de problèmes de Physique (l’équation de la chaleur), et il n’est guère aujourd’hui de théorie physique qui n’y fasse appel. Elles ont une nouvelle fois été popularisées au mileu du XXème siècle par Norbert Wiener pour la théorie du signal où elles se sont mèlées au calcul de probabilités ; c’est par ce canal qu’elles sont devenues un outil précieux pour l’économètre, avec les travaux de Box et Jenkins, dans les années 70, sur les séries temporelles. C’est à l’initiation aux méthodes issues du mariage du calcul de Fourier et du calcul des probabilités que sera consacré la fin du cours d’Analyse et Probablités du Deug Mass.^{1}

Nous commençons par la notion de séries trigonométriques, puis nous découvrirons progressivement pourquoi ces séries particulières sont en fait toutes les fonctions 2π-périodiques quelque peu régulières. Nous terminons par la version complexe de la théorie, qui est la plus commode à manipuler.

14.1 Séries trigonométriques

Définition : Soient (a_{n})_{n≥0} et (b_{n})_{n≥1} deux suites numériques. On appelle série trigonométrique toute expression de la forme ∑_{n≥0} u_{n}(x), où u_{n}(x) = a_{n} cos(nx) + b_{n} sin(nx), et (a_{n})_{n≥0} et (b_{n})_{n≥1} sont deux suites numériques.

Proposition 14.1 Si les séries numériques ∑_{n≥0} |a_{n}| et ∑_{n≥1} |b_{n}| convergent, alors la série de fonctions ∑_{n≥0} u_{n} converge normalement et uniformément vers sa limite qui est continue. Si g est une fonction continue sur [0, 2π], on a

∫_{0}^{2π} ∑_{n=0}^{∞} u_{n}g = ∑_{n=0}^{∞} ∫_{0}^{2π} u_{n}g.

Preuve : Pour tout x on a

|u_{n}(x)| = |a_{n} cos(nx) + b_{n} sin(nx)| ≤ |a_{n}|| cos(nx)| + |b_{n}| sin(nx)| ≤ |a_{n}| + |b_{n}|.

Donc ∥u_{n}∥_{∞} = Sup_{x∈[0,2π]}|u_{n}(x)|, qui est le plus petit majorant des |u_{n}(x)|, vérifie ∥u_{n}∥_{∞} ≤ |a_{n}| + |b_{n}|, qui est le terme général d’une série convergente, ce qui montre que ∑_{n≥0} |u_{n}| converge normalement.

Soit M un majorant des |g(x)| sur le compact [0, 2π]. On a donc ∥u_{n}g∥_{∞} ≤ (|a_{n}| + |b_{n}|)M, donc ∑_{n≥0} u_{n}g converge, elle aussi, normalement et uniformément vers sa limite qui est continue. On a donc

∫_{0}^{2π} ∑_{n=0}^{∞} u_{n}g = ∫_{0}^{2π} lim_{N→∞} ∑_{n=0}^{N} u_{n}g = lim_{N→∞} ∫_{0}^{2π} ∑_{n=0}^{N} u_{n}g = lim_{N→∞} ∑_{n=0}^{N} ∫_{0}^{2π} u_{n}g = ∑_{n=0}^{∞} ∫_{0}^{2π} u_{n}g.

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1Pour la préparation de ce cours nous nous sommes aidés des livres suivants, dans lesquels le lecteur trouvera bien des développements intéressants auquels nous avons du renoncer : W. Rudin, Principes d’analyse mathématique ; P. Thuillier et J.-C. Belloc, Mathématiques, tome 3 : analyse, Masson (1975).

14.2 Série de Fourier d’une fonction

Soit f une fonction 2π-périodique. Nous étudions ici comment écrire f sous forme d’une série trigonométrique, appelée série de Fourier de la fonction f. Le calcul peut paraître un peu magique au premier abord. Nous verrons, à la section suivante, que cette magie a une interprétation géométrique très naturelle. Rappelons tout d’abord trois formules de trigonométrie qu’il est maintenant indispensable d’apprendre par coeur.

cos(a) cos(b) = \frac{1}{2}(cos(a − b) + cos(a + b))
sin(a) sin(b) = \frac{1}{2}(cos(a − b) − cos(a + b))
cos(a) sin(b) = \frac{1}{2}(sin(a − b) + sin(a + b))

On appelle coefficient de Fourier de f les nombres

a_{0} = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f(x)dx
a_{n} = \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} f(x) cos(nx)dx (n ≥ 1)
b_{n} = \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} f(x) sin(nx)dx (n ≥ 1).

On appelle série de Fourier de f la série trigonométrique ∑_{n≥0} u_{n}, avec u_{n}(x) = a_{n} cos(nx) + b_{n} sin(nx).

Pour r = 0, 1, … nous dirons que f est C^{r} par morceaux sur [0, 2π] et écrirons f ∈ C_{mcx}^{r}[0, 2π] s’il existe un ensemble fini de points 0 ≤ x_{1} ≤ … ≤ x_{m} ≤ 2π tels que sur [x_{i}, x_{i+1}[ la fonction f est la restriction d’une fonction définie et C^{r} sur [x_{i}, x_{i+1}]. Nous posons f(x_{i}^{−}) = f_{i−1}(x_{i}) et f(x_{i}^{+}) = f_{i}(x_{i})(= f(x_{i})). Nous admettrons le théorème capital suivant et donnerons une preuve d’un résultat analogue sur les séries de Fourier complexes, sous des hypothèses un peu plus restrictives.

Théorème 14.2 (Dirichlet) Soit f ∈ C_{mcx}^{1}[0, 2π].

• Si f est continue au point x, alors ∑_{n=0}^{∞} u_{n}(x) = f(x).

• Si x_{i} est un point de discontinuité de f, alors ∑_{n=0}^{∞} u_{n}(x) = \frac{1}{2}(f(x_{i}^{+}) + f(x_{i}^{−})).

Exemple : Soit f la fonction 2π-périodique telle que f(x) = x pour x ∈ [−π, +π[. Observons que pour toute fonction x ↦ g(x) 2π-périodique, on a

∫_{0}^{2π} fg = ∫_{0}^{π} fg + ∫_{π}^{2π} f(x)g(x)dx = ∫_{0}^{π} fg + ∫_{−π}^{0} f(y + 2π)g(y + 2π)dy (poser x = y + 2π)
= ∫_{0}^{π} fg + ∫_{−π}^{0} f(y)g(y)dy (périodicité)
= ∫_{0}^{π} fg + ∫_{−π}^{0} fg = ∫_{−π}^{π} fg.

A présent, comme x ↦ f(x) cos(nx) est impaire sur ] − π, +π[, on voit que a_{0} = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f(x)dx = 0 et a_{n} = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} f(x) cos(nx)dx = 0. Par ailleurs,

b_{n} = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} x sin(nx)dx = \frac{1}{π} [\frac{−1}{n}x cos(nx)]_{−π}^{+π} − \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} \frac{−1}{n} cos(nx)dx = \frac{2π}{πn} − 0 = \frac{2}{n}.

Donc ∑_{n=0}^{∞} \frac{2}{n} sin(nx)(= f(x)) = x pour x ∈] − π, +π[ puisque f y est continue. Enfin, pour les points de discontinuité x = π + kπ, on a bien

sin(nx) = sin(nπ + 2nkπ) = sin(n(1 + 2k)π) = 0 = \frac{1}{2}(−π + π) = \frac{1}{2}(f(π^{+}) + f(π^{−})).

Remarques : Cet exemple suggère les remarques générales suivantes :

• Si f est une fonction impaire, alors a_{n} = 0 pour tout n ≥ 0, et si f est une fonction paire, alors b_{n} = 0 pour tout n ≥ 1.

• Si f est une fonction T -périodique, la théorie de Fourier s’adapte immédiatement : il suffit de poser ω := \frac{2π}{T} et u_{n}(x) := a_{n} cos(nx)+b_{n} sin(nx), avec a_{0} := \frac{1}{2T} ∫_{T} f(x)dx, a_{n} := \frac{1}{T} ∫_{T} f(x) cos(nx)dx (n ≥ 1), et b_{n} := \frac{1}{T} ∫_{T} f(x) sin(nx)dx (n ≥ 1), où T := [t_{0}, t_{0} + T], avec t_{0} arbitraire.

• Si f n’est pas continue la convergence de ∑ u_{n} ne saurait être uniforme, puisque la limite uniforme de fonctions continues (ici f_{N} = ∑_{n=0}^{N} u_{n}) est continue. En particulier ∑_{n≥0} |a_{n}| ou ∑_{n≥0} |b_{n}| est divergente : c’est bien ce qui arrive dans le cas de l’exemple, qui fait apparaître une série harmonique.

14.3 Interprétation géométrique

Rappelons que si (E, < , >) est un espace euclidien et E = {e_{1}, e_{2}, …} est une base orthonormée de E, alors tout vecteur f ∈ E se décompose sur la base B en f = ∑_{n} λ_{n}e_{n}, la valeur de la composante λ_{n} de f dans la direction e_{n} s’obtenant par projection orthogonale sur e_{n}:

λ_{n} =< f, e_{n} > .

Orthogonalité et orthonormalité : Soulignons ce petit miracle : λ_{n} ne dépends que de e_{n} et pas du choix des autres vecteurs e_{m} m ≠ n choisis pour complèter la base orthonormée. En fait, il suffit que la base soit orthogonale, moyennant une légère adaptation : soit F = {f_{1}, f_{2}, …} une base orthogonale ; pour obtenir une base orthonormée, il suffit de poser e_{n} = \frac{f_{n}}{∥f_{n}∥} pour former une base orthonormée. Posons μ_{n} :=< f, f_{n} >. On a donc μ_{n} =< f, ∥f_{n}∥e_{n} >= ∥f_{n}∥ < f, e_{n} >= ∥f_{n}∥λ_{n}, d’où

f = ∑_{n} λ_{n}e_{n} = ∑_{n} \frac{μ_{n}}{∥f_{n}∥} \frac{f_{n}}{∥f_{n}∥} = ∑_{n} \frac{μ_{n}}{∥f_{n}∥^{2}} f_{n} =: ∑_{n} c_{n}f_{n} , avec c_{n} := \frac{< f, f_{n} >}{< f_{n}, f_{n} >}.

La présence du dénominateur < f_{n}, f_{n} > explique, dans les coeficients de Fourier, la présence du facteur \frac{1}{2π} dans a_{0} et la présence du facteur \frac{1}{π} dans a_{n} et b_{n}, n ≥ 1. En effet, la base en cause ici est constituée des fonction x ↦ cos(nx), n ≥ 0, et x ↦ sin(nx), n ≥ 1 ; le produit scalaire est < f, g >:= ∫_{0}^{2π} f(x)g(x)dx.

Exercice : Monter que les x ↦ cos(nx), n ≥ 0, et x ↦ sin(nx), n ≥ 1 sont tous orthogonaux deux à deux, et que

< cos(nx), cos(nx) >= π =< sin(nx), sin(nx) > et < 1, 1 >= 2π.

14.4 Série de Fourier complexe

Lors du cours sur les fonctions analytiques nous avons vu que la fonction exponentielle se définit, par sa séries entière, non seulement pour des valeurs réelles de la variable, mais aussi pour tout z ∈ ℂ. De ce fait, elle concerve d’ailleurs ses propriétés formelles telles que e^{z_{1}+z_{2}} = e^{z_{1}}e^{z_{2}} et \frac{d}{dz} e^{z} = e^{z}. Elle n’est plus toujours positive ; en revanche elle est 2iπ-périodique, comme il ressort de la formule d’Euler

cos x = \frac{1}{2}(e^{ix} + e^{−ix}) et sin x = \frac{1}{2i}(e^{ix} − e^{−ix}) (avez-vous notez de ”i” au dénominateur?

Ainsi sommes-nous naturellement ammenés à étendre à la théorie de Fourier au cas de fonctions à valeurs complexes, telle que e^{ix} = cos x + i sin x, qui, pour x ∈ ℝ comme nous le supposerons dans tout ce chapitre, a pour conjugué

\overline{e^{ix}} = cos x − i sin x = cos(−x) + i sin(−x) = e^{−ix}.

On sait que, dans le cas d’un espace vectoriel complexe, pour assurer que < f, f > reste réel positif, il convient de définir < f, g > comme produit hermitien^{2}

< f, g >= ∫_{0}^{2π} f(x)\overline{g(x)}dx.

2Mêmes propriété qu’en produit scalaire, mais défini sur un espace vectoriel complexe et à valeurs complexes ; de plus, pour λ et μ complexes, < λf, μg >= λ\overline{μ} < f, g >.

Exemple : Soient m ∈ ℤ et n ∈ ℤ, c’est-à-dire des entiers relatifs. On a

< e^{imx}, e^{inx} >= ∫_{0}^{2π} e^{imx}e^{−inx}dx = ∫_{0}^{2π} e^{i(m−n)x}dx.

Nous voyons que, si m ≠ n, e^{i(m−n)z} a pour primitive \frac{1}{i(m−n)}e^{i(m−n)z} = \frac{1}{i(m−n)}(cos(m−n)z+i sin(m−n)z qui est 2π-périodique. Si m = n, e^{i(m−n)z} = e^{0} = 1 ; donc

si m ≠ n, < e^{imx}, e^{inx} > = \frac{1}{i(m − n)} [e^{i(m−n)x}]_{0}^{2π} = 0 par 2π-périodicité, et
si m = n, < e^{imx}, e^{inx} > = [ 1 ]_{0}^{2π} = 2π.

Nous venons donc de voir que les fonctions e^{inx} forment une famille de vecteurs orthogonaux, tous de même norme ∥e^{inx}∥ = \sqrt{e^{inx}, e^{inx}} = \sqrt{2π}.

Expression de ∑ u_{n} au moyen des fonctions e^{inx}: par le formule d’Euler on a, si n > 0,

u_{n}(x) = a_{n} cos(nx) + b_{n} sin(nx) = a_{n} \frac{1}{2}(e^{inx} + e^{−inx}) + b_{n} \frac{1}{2}(e^{inx} − e^{−inx})
= \frac{1}{2}(a_{n} − ib_{n})e^{inx} + \frac{1}{2}(a_{n} + ib_{n})e^{−inx} , puisque \frac{1}{i} = \frac{−i^{2}}{i} = −i
= c_{n}e^{inx} + c_{−n}e^{−inx} en posant

c_{n} = \frac{1}{2}(a_{n} − ib_{n}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} f(x) cos(nx)dx − \frac{i}{π} ∫_{0}^{2π} f(x) sin(nx)dx)
= \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f(x)(cos(nx) − i sin(nx))dx = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f(x)e^{−inx}dx
= \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f(x)\overline{e^{+inx}}dx = \frac{1}{2π} < f, e^{+inx} > et
c_{−n} = \frac{1}{2}(a_{n} + ib_{n}) = \overline{c_{n}} = \frac{1}{2π} \overline{< f, e^{+inx} >} = \frac{1}{2π} < \overline{f}, \overline{e^{+inx}} >= \frac{1}{2π} < f, e^{−inx} > .

Par ailleurs, pour n = 0, on a

u_{0}(x) = a_{0} = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f(x)dx = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f(x)e\overline{i0x}dx = \frac{1}{2π} < f, e^{i0x} >=: c_{0} = c_{0}e^{i0x}.

En d’autres termes, ∑_{n=0}^{N} u_{n} = ∑_{n=−N}^{N} c_{n}e^{inx}, avec la définition (unifiée ! ) des coefficients c_{n}, dit coefficients de Fourier complexes de f :

c_{n} = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f(x)e^{−inx}dx = \frac{< f, e^{inx} >}{< e^{inx}, e^{inx} >},  (14.1)

et, en passant à la limite sur N,

∑_{n=0}^{∞} u_{n} = lim_{N→∞} ∑_{n=0}^{N} u_{n} = lim_{N→∞} ∑_{n=−N}^{N} c_{n}e^{inx} = ∑_{n=−∞}^{∞} c_{n}e^{inx}.  (14.2)

Bien entendu, le théorème de Dirichlet 14.2 reste vrai ; la relation (14.2) donne simplement une nouvelle expression de ∑_{n=0}^{N} u_{n}(x).

Exercice : Montrer directement que c_{−n} = \overline{c_{n}}.

Nous admettons le théorème suivant qui montre que les coefficients de Fourier d’une fonction continue constituent un bon codage :

Théorème 14.3 Soient f et g deux fonctions 2π-périodique continues. Si les coeficients de Fourier réels ou complexes de f et g sont égaux, alors f = g.

14.5 Inégalité de Bessel et égalité de Parseval

En reprenant la preuve de la proposition 14.1 on voit que si ∑_{k=−∞}^{k=+∞} c_{k}e^{ikx} converge uniformément et si g est continue, on a

< ∑_{k=−∞}^{k=+∞} c_{k}e^{ikx}, g >= ∑_{k=−∞}^{k=+∞} < c_{k}e^{ikx}, g > .  (14.3)

Si f est continue nous pouvons donc calculer la norme de la projection orthogonale de f sur le sous-espace engendré par les x ↦ e^{inx}, n=-N..N :

< f, ∑_{n=−N}^{+N} c_{n}e^{inx} > = < ∑_{k=−∞}^{k=+∞} c_{k}e^{ikx}, ∑_{n=−N}^{n=+N} c_{n}e^{inx} > (par le théorème de Dirichlet 14.2)

= ∑_{k=−∞}^{k=+∞} < c_{k}e^{ikx}, ∑_{n=−N}^{n=+N} c_{n}e^{inx} > par (14.3)

= ∑_{k=−∞}^{k=+∞} ∑_{n=−N}^{n=+N} c_{n}\overline{c_{k}} < e^{ikx}, e^{inx} > où seul k = n a un apport non nul, d’où

= ∑_{n=−N}^{n=+N} |c_{n}|^{2} < e^{inx}, e^{inx} >= 2π ∑_{n=−N}^{n=+N} |c_{n}|^{2}.

En passant à la limite sur N → ∞, on en déduit

Théorème 14.4 (identité de Bessel-Parseval) Si f est continue, on a

∫_{0}^{2π} f^{2}(x)dx = 2π ∑_{n=−∞}^{n=+∞} |c_{n}|^{2}.  (14.4)

Comme (∑_{n=−N}^{n=+N} |c_{n}|^{2})_{N} est une suite croissante, on a ∑_{n=−N}^{n=+N} |c_{n}|^{2} ≤ ∑_{n=−∞}^{n=+∞} |c_{n}|^{2}, et nous avons donc montré ainsi l’inégalité de Bessel

\frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f^{2}(x)dx ≥ ∑_{n=−N}^{n=+N} |c_{n}|^{2}

sous l’hypothèse que f est continue. A noter que cette inéalité est vraie sous la seule hypothèse, bien plus générale, que f^{2} est intégrable.

78 CHAPITRE 14. SÉRIES DE FOURIER

Fonctions caractéristiques

15.1 Espérance d’une variable aléatoire complexe

Si V et W sont deux v.a. réelles, il est commode de noter U := V + iW le vecteur aléatoire (V, W), tout comme on peut noter u = w + iw un point (v, w) du plan, conformément à l’interprétation géométrique des nombres complexes. On pose

𝔼(V + iW) := 𝔼V + i𝔼W.

Exercice : Montrer que la fonction U ↦ 𝔼U ainsi définie est linéaire (à valeurs complexes) et, en particulier, si λ = α + iω et U = V + iW, on a bien 𝔼(λU) = λ𝔼U.

Soit t ∈ ℝ et X est une v.a. réelle, alors e^{itX} = cos(tX) + i sin(tX) est une v.a. complexe et, avec la définition ci-dessus

𝔼e^{itX} = 𝔼 cos(tX) + i𝔼 sin(tX).  (15.1)

Notons que les v.a. cos(tX) et sin(tX) étant bornées, elles ont bien un moment d’ordre un et donc (15.1) est bien défini, ce qui permet de poser la définition suivante :

Définition : On appelle fonction caractéristique de la v.a. réelle X la fonction φ_{X} : ℝ ⟶ ℂ définie par

φ_{X}(t) = 𝔼e^{itX}.

Les fonctions caractéristiques sont des outils précieux dans l’étude des lois limites du fait du théorème suivant dû à Paul Lévy, que nous admettrons :

Théorème 15.1 (P. Lévy) Soit (X_{n}) une suite de v.a., de fonctions caractéristiques φ_{X_{n}}. S’il existe une fonction φ, continue en 0, telle que lim_{n→∞} φ_{X_{n}}(t) = φ(t) pout tout t ∈ ℝ, alors il existe une loi, de fonction de répartition F_{X}, tel que la suite (X_{n}) tend en loi vers X, c’est-à-dire que pour tout x où F_{X} est continue, on a lim_{n→∞} F_{X_{n}}(x) = F_{X}(t).

En particulier, si φ_{X} et φ_{Y} désignent les fonctions caractéristique des v.a. réelles X et Y, si φ_{X} = φ_{Y}, alors X et Y ont même loi : ceci légitime la terminologie “caractéristique” adoptée, un résultat qui d’ailleurs admet un preuve plus directe que le passage par ce théorème sur les limites de suites de variables aléatoires.

Nous voyons que la fonction caractéristique d’une v.a. joue un rôle analogue à la fonctions génératrice des moments M_{X} que nous avons déja étudiée ; un avantage de la fonction caractéristique est qu’elle est définie pout tout t réel. Remarquons que

φ_{X}(t) = 𝔼e^{itX} = 𝔼e^{uX} = M_{X}(u) , pour u = it.

La fonction génératrice M_{X}(u) est donc bien définie pour tout u imaginaire pur : c’est son prolongement (analytique) à u réel qui peut faire défaut pour certaines lois telles que la loi de Cauchy.

Exemple : Soit X ⇝ U[0, 1] une v.a. uniforme sur [0, 1]. On a

φ_{X}(t) = ∫_{0}^{1} e^{itx}dx = ∫_{0}^{1} cos(tx)dx + i ∫_{0}^{1} sin(tx)dx = [\frac{1}{t} sin(tx)]_{x=0}^{x=1} + i [\frac{−1}{t} sin(tx)]_{x=0}^{x=1}
= \frac{1}{t} sin t + \frac{i}{i^{2}t}(cos t − 1) = \frac{1}{it}(i sin t + cos t − 1) = \frac{1}{it}(e^{it} − 1).

A noter que nous aurions pu effectuer ce calcul plus rapidement en remarquant que la dérivée réelle \frac{d}{dx} est un cas particulier de la dérivée au sens complexe \frac{d}{dz} lorsqu’elle existe, que \frac{d}{dx}(Re F (x)) = Re (\frac{d}{dx}F (x)), et que \frac{d}{dx}(Im F (x)) = Im (\frac{d}{dx}F (x)) ; on a donc directement

φ_{X}(t) = ∫_{0}^{1} e^{itx}dx = ∫_{0}^{1} \frac{d}{dx} (\frac{1}{it}e^{itx}) dx = [\frac{1}{it}e^{itx}]_{x=0}^{x=1} = \frac{1}{it}(e^{it} − 1).

Proposition 15.2 Pour toute v.a. réelle X la fonction caractéristique φ_{X} : ℝ ⟶ ℂ est définie, continue, bornée ; pour tous t, a, et b réels on a

1. |φ_{X}(t)| ≤ φ_{X}(0) = 1,

2. φ_{X}(−t) = \overline{φ_{X}(t)},

3. φ_{aX+b}(t) = e^{ibt}φ_{X}(at).

Exercice : Montrer que si X est symétrique, c’est-à-dire que −X a même loi que X, alors φ(t) est réel, et que φ_{X} est pair ; (indication : montrer que \overline{φ_{X}(t)} = φ_{X}(t).)

Proposition 15.3 Si X et Y sont des v.a. indépendantes, on a

φ_{X+Y} = φ_{X}φ_{Y} .

Preuve : Comme X et Y sont indépendantes, il en est de même de e^{itX} et e^{itY} ; on en déduit que pour tout t ∈ ℝ

φ_{X+Y} (t) = 𝔼e^{it(X+Y)} = 𝔼(e^{itX}e^{itY}) = 𝔼e^{itX}𝔼e^{itY} = φ_{X}(t)φ_{Y} (t).
□

15.2 Fonctions caractéristiques des principales lois.

Loi binomiale : Supposons que X ⇝ B(n, p) ; donc, pour k = 0..n, ℙ\{X = k\} = ( \begin{matrix}n \\ k \end{matrix} ) p^{k}(1 − p)^{n−k};

et

φ_{X}(t) = (1 − p + pe^{it})^{n}.

Loi de Poisson : Supposons que X ⇝ P(λ) ; donc pour k = 0, … on a ℙ\{X = k\} = e^{−λ} \frac{λ^{k}}{k !} ; et

φ_{X}(t) = e^{λ(e^{it}−1)}.

Loi géométrique : Supposons que X ⇝ G(p) ; donc, pour k = 1, …, ℙ{X = k} = (1 − p)^{k−1}p; et

φ_{X}(t) = \frac{pe^{it}}{1 − (1 − p)e^{it}} .

Loi uniforme : Supposons que X ⇝ U[a, b] ; donc f_{X}(x) = \frac{1}{b−a}𝕀_{[a,b]}(x) ; et

φ_{X}(t) = \frac{1}{i(b − a)t}(e^{ibt} − e^{iat}).

Loi exponentielle : Supposons que X ⇝ E(λ) ; donc f_{X}(x) = λe^{−λx}𝕀_{[0,∞[}(x) ; et

φ_{X}(t) = \frac{λ}{λ − it}.

Première loi de Laplace : Supposons que X suive la première loi de Laplace, donc f_{X}(x) = \frac{1}{2}e^{−|x|}; alors

φ_{X}(t) = \frac{1}{1 + t^{2}} .

Loi normale : Supposons que X ⇝ N (μ, σ) ; donc f_{X}(x) = \frac{1}{σ\sqrt{2π}} e^{− \frac{1}{2} ( \frac{(x−μ)}{σ})^{2}} ; et

φ_{X}(t) = e^{itμ}e^{− \frac{t^{2}σ^{2}}{2}} .

Loi de Cauchy : Supposons que X ⇝ C(0) ; donc f_{X}(x) = \frac{1}{π} \frac{1}{1+x^{2}} ; et

φ_{X}(t) = e^{−|t|}.

Transformation de Fourier

Dans le cours de probabilités sur la fonction caractéristique φ_{X} de la loi d’une v.a. X, dans le cas où X est absolument continue de densité f_{X}, nous avions

φ_{X}(t) = ∫_{x=−∞}^{x=+∞} e^{+itx}f_{X}(x)dx,

définissant ainsi une application linéaire f_{X} ↦ φ_{X} (on dit aussi “transformation” ou “opérateur”, pour souligner que les vecteurs considérés ici sont des fonctions). Cette application, appelée transformation de Fourier, est définie et a des propriétés remarquables au delà du cas particulier d’une densité (pour laquelle on a toujours f_{X}(x) ≥ 0 et ∫ f_{X} = 1) et demande seulement que f soit “intégrable” sur ℝ (ce qu’on note par f ∈ L^{1}(ℝ) ou simplement f ∈ L^{1}), c’est-à-dire, essentiellement, que ∫_{−∞}^{+∞} |f(x)|dx soit fini. Notons qu’il y a de petites différences d’un auteur à l’autre dans la définition de la transformation de Fourier. Nous avons adopté ici la définition choisie par J. Jacod et Ph. Protter ; d’autres auteurs considèrent ∫_{x=−∞}^{x=+∞} e^{−itx}f_{X}(x)dx (A. Kolmogorov et S. Fomine), ∫_{x=−∞}^{x=+∞} e^{−2iπtx}f_{X}(x)dx (F. Rodier), ou \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{x=−∞}^{x=+∞} e^{−itx}f_{X}(x)dx (W. Rudin). Elles débouchent évidement sur des théories similaires mais comportent des différences dans les formules, ce qui impose au lecteur une certaine vigilance.

Définition : Soit f ∈ L^{1}. On appelle transformée de Fourier de f et on note F(f) := f̂ la fonction

t ↦ f̂(t) := ∫_{x=−∞}^{x=+∞} e^{+itx}f(x)dx.

Remarquons que, comme |e^{+itx}f(x)| = |f(x)| et f ∈ L^{1}, f̂(t) est bien défini pour tout t ∈ ℝ.

Proposition 16.1 Soient f ∈ L^{1}, α ∈ ℝ, et λ ∈ ℝ; alors f ↦ f̂ est linéaire et

1. Si g(x) := f(x)e^{iαx}, alors ĝ(t) = f̂(t + α).

2. Si g(x) := f(x − α), alors ĝ(t) = e^{itα}f̂(t).

3. Si g(x) := \overline{f(−x)}, alors ĝ(t) = \overline{f̂(x)}.

4. Si g(x) := f(x/λ) et si λ > 0, alors ĝ(t) = λf̂(λt).

La preuve de cette proposition ne présente aucune difficulté et est laissée en exercice. La situtation est un peu différente pour les résultats suivants : leur preuve comporte à un moment un problème de justification d’interversion d’ordre dans un passage à la limite. Ce passage est marqué d’une étoile ∗. Dans ce cours de Deug il vous a été donné des théorèmes fournissant certaines hypothèses sous lesquelles cette interversion donne bien des résultats égaux. On attend donc de vous que vous soyez sensibles au fait qu’une justification est nécessaire. Toutefois ces théorèmes élémentaires ne s’appliquent pas ici, essentiellement du fait que le domaine d’intégration, ℝ, n’est pas compact. Les théorème convenant à la justification du cas considéré ici vous seront donnés dans le cours d’intégration de licence.

Proposition 16.2 (produit de convolution) Soient f ∈ L^{1} et g ∈ L^{1} ; la fonction x ↦ (f ∗ g)(x) définie par

(f ∗ g)(x) = ∫_{y=−∞}^{y=+∞} f(x − y)g(y)dy

est définie pour presque-tout x ∈ ℝ; si h := f ∗ g, alors ĥ = f̂ĝ.

Preuve : La clé de ce résultat est la formule de Fubini ; pour assurer qu’elle s’applique bien, il conviendrait de vérifier que la fonction F (x, y) := f(x − y)g(y) est bien intégrable sur ℝ^{2} ; au delà, la preuve est élémentaire :

ĥ(t) = ∫_{x=−∞}^{x=+∞} e^{itx} (∫_{y=−∞}^{y=+∞} f(x − y)g(y)dy) dx
= ∫_{x=−∞}^{x=+∞} (∫_{y=−∞}^{y=+∞} e^{itx}f(x − y)g(y)dy) dx =^{∗} ∫_{y=−∞}^{y=+∞} (∫_{x=−∞}^{x=+∞} e^{itx}f(x − y)g(y)dx) dy (Fubini)
= ∫_{y=−∞}^{y=+∞} g(y) (∫_{u=−∞}^{u=+∞} e^{ity}e^{itu}f(u)du) dy (changement de variable x ↦ u = x − y)
= ∫_{y=−∞}^{y=+∞} g(y)e^{ity}f̂(t)dy = f̂(t) ∫_{y=−∞}^{y=+∞} g(y)e^{ity}dy = f̂(t)ĝ(t).
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Proposition 16.3 Soit g(x) = ixf(x). Si g ∈ L^{1} alors f̂ est dérivable et

(f̂)′ = ĝ.

Preuve : Soit h ≠ 0 ; un développement de e^{ihx} à l’ordre 1 montre que lim_{h→0} \frac{e^{ihx}−1}{h} = ix, et donc

f̂′(t) = lim_{h→0} \frac{1}{h}(f̂(t + h) − f̂(t)) = lim_{h→0} ∫_{x=−∞}^{x=+∞} \frac{e^{ihx} − 1}{h}e^{itx}f(x)dx
=^{∗} ∫_{x=−∞}^{x=+∞} lim_{h→0} \frac{e^{ihx} − 1}{h}e^{itx}f(x)dx = ∫_{x=−∞}^{x=+∞} ixe^{itx}f(x)dx = ĝ(t).

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Proposition 16.4 Soit f ∈ L^{1} dérivable ; supposons que f′ ∈ L^{1} et que f(x) = ∫_{−∞}^{x} f′(ξ)dξ. Soit g = f′; alors

ĝ(t) = −itf̂(t).

Preuve : Posons γ_{n}(t) = ∫_{x=−n}^{x=+n} e^{itx}f′(x)dx; par intégration par parties on a

γ_{n}(t) = ∫_{x=−n}^{x=+n} e^{itx}f′(x)dx = [e^{itx}f(x)]_{x=−n}^{x=+n} − ∫_{x=−n}^{x=+n} ite^{itx}f(x)dx.

Par définition ĝ(t) = lim_{n→∞} γ_{n}(t), et lim_{n→∞} ∫_{x=−n}^{x=+n} e^{itx}f(x)dx = f̂(t). Il reste à s’assurer que le crochet est nul. Par hypothèse lim_{x→−∞} f(x) = 0 et, comme f′ ∈ L^{1}, lim_{x→+∞} f(x) = lim_{x→+∞} ∫_{−∞}^{x} f′(ξ)dξ = f_{+} existe. Comme f ∈ L^{1}, nécessairement f_{+} = 0. On en déduit que lim_{n→∞}[e^{itx}f(x)]_{x=−n}^{x=+n} = 0, d’où le résultat annoncé. □

Le théorème fondamental suivant (que nous admettons) montre que la transformation de Fourier f ↦ f̂ admet une transformation “inverse” f̂ ↦ f̃, avec f̃(x) = f(x) pour presque-tout x. La définition de “presque-tout” relève du cours de mesure et intégration ; cela signifie que l’ensemble des x pour lesquels la relation est fausse est de mesure nulle.

Théorème 16.5 Si f ∈ L^{1}, alors f̂ est continue et lim_{x→±∞} f̂(x) = 0. De plus ∥f̂∥_{∞} ≤ ∥f∥_{1}. Si f ∈ L^{1} et si f̂ ∈ L^{1}, alors pour presque-tout x ∈ ℝ on a f(x) = f̃(x), où

f̃(x) := \frac{1}{2π} ∫_{t=−∞}^{t=+∞} e^{−ixt}f̂(t)dt (= \overline{F}(f̂)(x), voir ci-dessous).

On est donc amené à poser la définition suivante :

Définition : On appelle transformation de Fourier inverse l’opérateur φ ↦ \overline{F}(φ) défini pour tout φ ∈ L^{1} par

\overline{F}(φ)(x) = \frac{1}{2π} ∫_{t=−∞}^{t=+∞} e^{−ixt}φ(t)dt.