Université de Nice Département de Mathématiques^{1} Maîtrise MASS

Notes de cours 1 : Le mouvement brownien

• Historique : R. Brown (botaniste anglais, 1827), L. Bachelier (mathématicien français, 1900), A. Einstein (physicien allemand, 1905), N. Wiener (mathématicien américain, 1923), A. Kolmogorov (mathématicien russe, 1933), P. Levy (mathématicien français, 1939), K. Ito (mathématicien japonais, 1948).

• Processus stochastiques (ou fonctions aléatoires) :

𝕋 epace des temps : généralement ℝ^{+}, ou ℕ ou {0, δt, 2δt, …, Nδt = T }. Ω espace des épreuves ou des “états du monde” : un espace probabilisé (Ω, T , P) quelconque. X_{t} : 𝕋 × Ω → ℝ, (t, ω) ↦ X_{t}(ω). A t fixé, ω ↦ X_{t}(ω) est une variable aléatoire sur Ω. A ω fixé, t ↦ X_{t}(ω) est une trajectoire du processus.

• Mouvement brownien : Un mouvement brownien (standard réel) est un processus stochastique B_{t} : ℝ^{+} × Ω → ℝ à trajectoires continues tel que

1. B_{0} = 0

2. Pour tout 0 ≤ s < t, on a B_{t} − B_{s} ∼ N (0, \sqrt{t − s})

3. Pour tout 0 < t_{1} < t_{2} < … < t_{n}, les v.a. {B_{t_{i+1}} − B_{t_{i}}, i = 0, …, n − 1} sont indépendantes.

• Propriétés :

1. Propriétés de symétrie : si (B_{t}) est un brownien alors (−B_{t}) est un brownien.

2. Propriétés d’échelle : si (B_{t}) est un brownien alors pour tout c > 0, \frac{1}{c}(B_{c^{2}t}) est un brownien.

3. Propriétés de translation : si (B_{t}) est un brownien alors pour tout h, (B_{t+h}) − (B_{h}) est un brownien.

4. Propriétés de retournement : si (B_{t}) est un brownien sur [0, T] alors, (B_{T}) − (B_{T −t}) est un brownien sur [0, T].

5. Comportement à l’infini : si (B_{t}) est un brownien alors (tB_{1/t}) est un brownien et on a p.s. : \frac{B_{t}}{t} → 0.

• Variation totale et variation quadratique : les trajectoires du mouvement brownien sont des fonctions continues (par définition) mais elles sont p.s. “nulle part différentiables”. On a notamment les deux propriétés suivantes : si 0 ≤ t_{1} ≤ t_{2} ≤ … ≤ t_{n} = t est une subdivision σ de l’intervalle [0, t], alors la variation totale, définie par

V_{t}(ω) := sup_{σ} ∑_{i} |B_{t_{i+1}}(ω) − B_{t_{i}}(ω)|

vérifie V_{t}(ω) = +∞ p.s. Et, si σ_{n} est une suite de partitions de [0, t] telle que lim_{n→∞} ∥σ_{n}∥ := sup_{i} |t_{i+1} − t_{i}| = 0, alors

lim_{n→∞} ∑_{i} |B_{t_{i+1}}(ω) − B_{t_{i}}(ω)|^{2} = t.

1\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} 15 août 2001 Francine DIENER, UNSA, CNRS

• Exercices :

1. Rappeler les propriétés caractéristiques d’un mouvement brownien (en abrégé : MB) (B_{t})_{t≥0}. Montrer que si (B_{t})_{t≥0} est un MB, alors (B_{T} − B_{T −t})_{t≥0} est un MB. En déduire que si f : ℝ → ℝ est continue et bornée, alors

𝔼f(B_{t}) = 𝔼f(B_{T} − B_{T −t}).

Montrer qu’on a de même que

𝔼f(B_{T −t}) = 𝔼f(B_{T} − B_{t}).

Soit S_{t} := e^{ρt+σB_{t}}. Montrer que

𝔼(S_{T} | S_{t} = y) = y𝔼(S_{T −t}).

2. Soit Z un v.a. suivant une loi normale N (μ, σ) = N (0, 1). On pose X_{t} := \sqrt{t}Z. Alors le processus (X_{t})_{t≥0} est à trajectoires continues et X_{t} suit une loi normale N (0, \sqrt{t}) ; le processus (X_{t})_{t≥0} est-il un mouvement brownien (MB)?

3. Soient (B_{t})_{t≥0} et (B̃_{t})_{t≥0} deux MB indépendants, et soit ρ ∈ [−1, +1] un nombre. On pose

Y_{t} := ρB_{t} + \sqrt{1 − ρ^{2}}B̃_{t}.

Le processus (Y_{t})_{t≥0} est-il un MB?

4. On rappelle que si les X_{j}, j = 1, 2, ... sont des v.a. iid d’espérance finie, la loi des grands nombres assure que

lim \frac{1}{n} ∑_{j=1}^{n} X_{j} = 𝔼X_{1} p.s. ;

calculer la limite presque-sûre de \frac{1}{n}B_{n}.

5. Marche de Wiener et Mouvement brownien. Soit δt > 0 i-petit, 𝕋_{∞} :=]0..∞[_{δt}= {δt, 2δt, 3δt, ...}. 𝕋_{N} :=]0..Nδt[_{δt}= {δt, 2δt, 3δt, ..., Nδt}. On choisit une fois pour toute un N i-grand tel que Nδt soit i-grand, et on pose 𝕋 = 𝕋_{N}. Soit (δW_{t})_{t∈𝕋} une suite de v.a. i.i.d., avec

δW_{t} = ±\sqrt{δt} et Pr \{δW_{t} = +\sqrt{δt}\} = \frac{1}{2} = Pr \{δW_{t} = −\sqrt{δt}\}.

La marche (W_{t})_{t∈𝕋} est défnie par récurrence par W_{0} = 0 et W_{t} = W_{t−δt} + δW_{t}.

(a) Soit t = nδt ∈ 𝕋 appréciable ; montrer que n est i-grand.

(b) Montrer, par récurrence sur n, que W_{t} ∈ [−n\sqrt{δt}..n\sqrt{δt}]_{δx} := \{−n\sqrt{δt} + jδx | j = 0..n\}, où δx := 2\sqrt{δt}. Faire un dessin pour n = 0..3.

(c) Montrer, par récurrence sur n, que

p_{nj} := Pr \{W_{t} = −n\sqrt{δt} + jδx\} = \frac{1}{2^{n}} ( \begin{matrix}n \\ j \end{matrix} ) .

(d) On rappelle que, pour n i-grand, on a la formule de Stirling,

n ! = n^{n}e^{−n}\sqrt{2π}\sqrt{n}(1 + o /).

Montrer que si n, j, n − j sont i-grand, on a

p_{nj} = \frac{1}{\sqrt{2πt}}e^{− \frac{x^{2}}{2t}} (1 + o /) , où x = x_{nj} = −n\sqrt{δt} + jδx.

(e) On pose toujours x = −n\sqrt{δt} + jδx; on suppose x appréciable. Montrer que

Pr \{W_{t} ≤ x\} = (1 + o /) ∫_{−∞}^{x} e^{− \frac{ξ^{2}}{2t}} dξ.

(f) Montrer que pour s < t dans 𝕋 appréciables, W_{t} − W_{s} a même loi que W_{t−s}.

6. Soit (B_{t}) un mouvement brownien. On rappelle que la loi de B_{t} est définie par la densité

g(x) = \frac{1}{\sqrt{2πt}}e^{− \frac{x^{2}}{2t}}, i.e. Pr \{B_{t} ≤ x\} = \frac{1}{\sqrt{2πt}} ∫_{−∞}^{x} e^{− \frac{y^{2}}{2t}} dy. Trouver la densité de B_{t}^{2}.

7. On dit qu’un processus stochastique (X_{t})_{t≥0} est un processus gaussien si toute combinaison linéaire finie de ces variables aléatoires X_{t} est encore une v.a. gaussienne c’est-à-dire si

∀n, ∀t_{1} < … < t_{n}, ∀(a_{i})_{i=1,...,n}, ∑_{i=1}^{n} a_{i}X_{t_{i}} ∼ N (m, σ).

(a) Montrer que le mouvement brownien (B_{t})_{t≥0} est un processus gaussien.

(b) Montrer que pour tout 0 ≤ s ≤ t, on a : 𝔼(B_{s}B_{t}) = 𝔼(B_{s}^{2}) = s.

(c) A tout processus gaussien (X_{t})_{t≥0} on peut associer sa fonction de covariance notée F (s, t)

F (s, t) := 𝔼((X_{s} − 𝔼X_{s})(X_{t} − 𝔼X_{t})).

Calculer la fonction de covariance du mouvement brownien. Rep : F (s, t) = s si 0 ≤ s ≤ t.

(d) On dit qu’un processus possède la propriété d’autosimilarité si pour tout a > 0, il existe b > 0 tel que X_{at} et bX_{t} aient même loi. Montrer que le mouvement brownien possède la propriété d’autosimilarité (c’est-à-dire calculer b en fonction de a si X_{t} = B_{t}). Rep : b = \sqrt{a}

8. Rappelons que si X est une v.a. absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue, on note f_{X} sa densité. Ainsi, par définition de la fonction de répartition F_{X} de X,

F_{X}(x_{0}) := ℙ{X ≤ x_{0}} = ∫_{−∞}^{x_{0}} f_{X}(x)dx = ∫ℝ 𝕀_{]−∞,x_{0}]}(x)f_{X}(x)dx,

et, plus généralement, pour toute partie A ∈ B,

ℙ{X ∈ A} = ∫_{A} f_{X}(x)dx = ∫ℝ 𝕀_{A}(x)f_{X}(x)dx.

Soit (B_{t})_{t≥0} un processus brownien. On pose pour 0 ≤ s ≤ t, X := B_{s}, et Y := B_{t}. Determiner f_{X,Y} (x, y). Les v.a. X et Y sont-elles indépendantes? (Indication : considérer la v.a. U := B_{t}−B_{s} et V := B_{s}−B_{0}). Déterminer la densité f_{Y |X}(y|x) de la variable aléatoire Z := 𝔼(Y |X). Même question dans le cas où X := e^{B_{s}} et Y := e^{B_{t}}.

9. Soit (B_{t}) un mouvement brownien et soit f(x) une fonction de classe C_{b}^{1}. Trouver une fonction

h(t, x) telle que

𝔼[f′(B_{t})] = 𝔼[f(B_{t})h(B_{t}, t)].

10. Non-dérivabilité presque-sûre des trajectoires du processus brownien^{2}. Soit B := (B_{t})_{t∈[0,T]} un mouvement (processus) brownien. Rappelons qu’une trajectoire de B est une fonction x : [0, T] ⟶ ℝ définie de la manière suivante : soit ω ∈ Ω un élément de l’espace probabilisé sous-jacent au processus B. La trajectoire x associée à ω est définie par x_{ω}(t) := B_{t}(ω). On note B l’ensemble des trajectoires de B que l’on munit de la probabilité image de celle de Ω. Comme les v.a. B_{t} sont mesurables sur Ω, les v.a. x ↦ x(t) sont mesurables sur B, pour tout t ∈ [0, T]. Nous nous proposons de montrer que l’ensemble D (⊂ B) des tractoires de B qui ont une dérivée en un point s ∈ [0, T] au moins est un ensemble négligeable, c’est-à-dire que Pr (D) = 0. Pour démontrer ce théorème, standard, nous pouvons, par transfert, supposer que B (et donc T, B, D, Pr ) sont standard. Nous disposons des résultats suivants de la théorie de la mesure :

(a) Si N = ⋃_{β} N_{β} est une réunion dénombrable d’ensembles négligeables, alors N est négligeable.

(b) Si S est un ensemble standard, et s’il existe M mesurable, S ⊆ M, tel que Pr (M) ≃ 0, alors S est négligeable.

(c) Si E est un ensemble, et s’il existe des ensembles mesurables M_{−} ⊆ M_{+} tels que M_{−} ⊆ E ⊆ M_{+} et Pr (M_{−}) ≃ Pr (M_{+}), alors E est mesurable, et bien-entendu Pr (E) ≃ Pr (M_{±}).

2D’après Dvoretski, A., Erdös, P., et Kakutani, S. “Nonincrease everywhere of the Brownian motion process”, Proc. 4th Berkeley Symp. on Math. Stat. and Prob. Vol. II, 103-116 (1961), et Breiman, L. “Probability”, SIAM classics in Applied Mathematics, Robert O’Malley ed., 261-262 (1992).

Calculs :

(a) Pour tout β ≥ 0 et tout n > 0, on pose

A_{β,n} = \{x ∈ B | ∃s ∈ [0, T] ∀t ∈ [0, T] |t − s| ≤ \frac{2}{n} ⇒ |x(t) − x(s)| ≤ 2β|t − s|\} .

Montrer que, pour chaque β ≥ 0, les A_{β,n} forment, pour n = 1, 2, .. une suite croissante de sous-ensembles de B, et que A_{β} := ⋃_{n=1,2,..} A_{β,n} contient toutes les trajectoires admettant en un s ∈ [0, T] au moins une dérivée x′(s) telle que |x′(s)| < β, et donc que D ⊆ A := ⋃_{β=1,2,..} A_{β}.

(b) Pour n > 0 et 0 ≤ k ≤ n entiers, posons t_{n,k} := k \frac{T}{n}. Pour toute trajectoire x ∈ B et tout 0 ≤ k ≤ n − 3 entiers, on pose

y_{n,k}(x) := Max {|x(t_{n,k}) − x(t_{n,k+1})|, |x(t_{n,k+1}) − x(t_{n,k+2})|, |x(t_{n,k+2}) − x(t_{n,k+3})|} , et

B_{β,n} = \{x ∈ B | ∃k , y_{n,k}(x) ≤ \frac{10β}{n} \} .

Montrer que pour tout n ≥ 1, B_{β,n} = ⋃_{k=0}^{n−3} \{x ∈ B | y_{n,k}(x) ≤ \frac{10β}{n} \}, et que A_{β,n} ⊆ B_{β,n}. (Indication : choisir k tel que 0 ≤ k ≤ n − 3 et s ∈ [t_{k}, t_{k+3}]).

(c) Montrer que

Pr_{B}(B_{β,n}) ≤ (n − 2) (Pr_{Ω} \{|B_{t_{n,1}}| ≤ \frac{10β}{n} \})^{3} = (n − 2) (\sqrt{\frac{n}{2π}} ∫_{−10β/n}^{+10β/n} e^{−nx^{2}/2})^{3} .

(Indication : Pr_{B} \{x ∈ B | |x(t_{n,j}) − x(t_{n,j+1})| ≤ \frac{10β}{n} \} = Pr_{Ω} \{ω ∈ Ω | |B_{t_{n,j}}(ω) − B_{t_{n,j+1}}(ω)| ≤ \frac{10β}{n} \} puisque B a été muni de la probabilité image de celle de Ω.)

(d) En effectuant le changement de variable y = nx, en déduire que lim_{n} Pr_{B}(B_{β,n}) = 0. Déductions : Soit β standard.

(a) La suite (B_{β,n})_{n≥1} est-elle standard? Soit N i-grand ; montrer que Pr_{B}(B_{β,N} ≃ 0).

(b) Soit n standard et toujours N i-grand ; montrer que A_{β,n} ⊆ B_{β,N} et en déduire que A_{β,n} est négligeable.

(c) La suite (A_{β,n})_{n≥1} est-elle standard? En déduire que tous ses termes, d’indice standard ou non, sont négligeables.

(d) Montrer que A_{β} := ⋃_{n=1,2,..} A_{β,n} est négligeable.

(e) Dorénavant β est une variable entière quelconque. La suite (A_{β})_{β≥0} est-elle standard? En déduire que tous ses termes, d’indice standard ou non, sont négligeables.

(f) Montrer que A := ⋃_{β=0,1,..} A_{β} est négligeable.

(g) En déduire que D est négligeable (cqfd).