Université de Nice Année 1999-2000 Département de Mathématiques^{1} Maîtrise MASS

Notes de cours 2 : Equation de la chaleur et mouvement brownien

Soit (B_{t}) un mouvement brownien. Par définition, la loi de B_{t} est N (0, \sqrt{t}). Donc on a, pour tout t > 0,

𝔼(B_{t}) = \frac{1}{\sqrt{2πt}} ∫ℝ ye^{− \frac{y^{2}}{2t}} dy = ∫ℝ yg(t, y)dy

où g(t, x) = \frac{1}{\sqrt{2πt}}e^{− \frac{x^{2}}{2t}} est la densité gaussienne. On notera que cette fonction g(t, x) satisfait l’équation de la chaleur :

\frac{∂u}{∂t} = \frac{1}{2} \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}}  (1)

Proposition 1 Si f : ℝ → ℝ est une fonction continue bornée et si u(t, x) := 𝔼f(x + B_{t}) alors, pour t > 0, u(t, x) est C^{∞}, vérifie l’équation (1) et on a u(0, x) = f(x).

Proposition 2 Si f : ℝ^{+} × ℝ → ℝ est une fonction C_{b}^{1} en t et C_{b}^{2} en x, alors on a :

𝔼f(t, x + B_{t}) = f(0, x) + ∫_{0}^{t} 𝔼 (\frac{∂f}{∂t} (s, x + B_{s}) + \frac{1}{2} \frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} (s, x + B_{s})) ds.

Brownien avec dérive : Soit (B_{t}) un mouvement brownien et μ et σ deux réels. Le processus

X_{t} := μt + σB_{t}

est appelé mouvement brownien avec dérive (de paramètres μ et σ). On vérifie que 𝔼(X_{t}) = μt et V ar(X_{t}) = σ^{2}t. On peut généraliser à X_{t} les deux propositions précédentes, à condition de remplacer l’équation de la chaleur (1) par l’équation

\frac{∂u}{∂t} = \frac{σ^{2}}{2} \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} + μ\frac{∂u}{∂x}  (2)

Cas discret :

Soit t ∈ {0, δt, …, Nδt = T }. La marche de Wiener (W_{t}) est le processus défini par W_{0} = 0 et, pour tout t ≥ δt, W_{t} = W_{t−δt} + ε_{t}\sqrt{δt}, où ε_{t} est une v.a. de Bernouilli telle que P (ε_{t} = 1) = P (ε_{t} = −1) = \frac{1}{2}. On pose δx = 2\sqrt{δt}. On a :

u(t, x) = \frac{1}{4}u(t + 2δt, x + δx) + \frac{1}{2}u(t + 2δt, x) + \frac{1}{4}u(t + 2δt, x − δx)

d’où

\frac{u(t, x) − u(t + 2δt, x)}{2δt} = \frac{1}{2} \frac{u(t + 2δt, x + δx) − 2u(t + 2δt, x) + u(t + 2δt, x − δx)}{(δx)^{2}}.

1\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} 15 août 2001 Francine DIENER, UNSA, CNRS

Exercices : 1. Montrer que si u_{1} et u_{2} sont solutions de

\{ \begin{matrix}\frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} & = & \frac{∂u}{∂s} \\ u(0, x) & = & u_{0}(x) \end{matrix}  (3)

alors v := u_{1} − u_{2} est solution de

\{ \begin{matrix}\frac{∂^{2}v}{∂x^{2}} & = & \frac{∂v}{∂s} \\ v(0, x) & = & 0 \end{matrix}  (4)

. Soit E(t) := ∫_{x=−∞}^{+∞} v^{2}(t, x)dx. Montrer que E(t) ≥ 0, E(0) = 0, et \frac{dE}{dt} (t) ≤ 0 pour tout t (indication : intégrer par parties) En déduire que (3) admet au plus une solution.

2. Soient a et b > 0 deux constantes. On considère l’équation aux dérivées partielles suivantes

\{ \begin{matrix}\frac{∂u}{∂t} & = & a\frac{∂u}{∂x} + b\frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} \\ u(0, x) & = & x \end{matrix}  (5)

Exprimer la solution de l’équation aux dérivées partielles (5) en utilisant le MB B_{t}, puis calculer cette solution explicitement. Mêmes questions pour u(0, x) = e^{x}.