Université de Nice

Département de Mathématiques^{1} Maîtrise MASS

Notes de cours 6 : Formule d’Itô et intégrale stochastique

Introduction : La formule étudiée précédemment (proposition 2 du cours 2) traduit l’égalité entre espérance de deux processus. Ces deux processus n’ont pas de raison d’être égaux trajectoire par trajectoire. Nous verrons que le processus différence (qui est d’espérance nulle) peut s’écrire ∫_{0}^{t} \frac{∂f}{∂x}(s, B_{s})dB_{s} et est un exemple d’intégrale stochastique. On peut vérifier que, dans le cas où f(t, x) = h(t)x est linéaire en x, ce processus différence n’est autre que l’intégrale de Wiener ∫_{0}^{t} h(s)dB_{s}.

Formule d’Itô :

Théorème 1 Si f : ℝ^{+} × ℝ → ℝ est une fonction C_{b}^{1} en t et C_{b}^{2} en x, alors pour tout t on a p.s. :

f(t, B_{t}) = f(0, 0) + ∫_{0}^{t} \frac{∂f}{∂t} (s, B_{s})ds + \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} \frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} (s, B_{s})ds + ∫_{0}^{t} \frac{∂f}{∂x} (s, B_{s})dB_{s}.

Le terme ∫_{0}^{t} \frac{∂f}{∂x}(s, B_{s})dB_{s} est l’intégrale stochastique (ou l’intégrale d’Itô) du processus \frac{∂f}{∂x}(t, B_{s}) par rapport au mouvement brownien.Quelques définitions vont être nécessaires avant d’établir son existence.

Filtration et adaptation :

Définition : Une filtration est une famille croissante (F_{t}, t ∈ ℝ^{+}) de sous tribus, continue à droite au sens où F_{t} = ⋂_{ε>0} F_{t+ε}. On peut associer à tout processus X_{t} une filtration dite filtration naturelle de ce processus, définie par F_{t}^{X} = ⋂_{ε>0} σ(X_{s}, s ≤ t + ε), où σ(X) désigne la tribu engendrée par la variable aléatoire X. En particulier on désignera par F_{t}^{B} la filtration naturelle du mouvement brownien (B_{t}).

Définition : Soit (F_{t}) une filtration et X_{t} un processus. On dit que X_{t} est adapté à la filtration (F_{t}) si, pour tout t ∈ ℝ^{+}, X_{t} est F_{t}−mesurable.

Définition : On appelle ℍ^{2}(Ω × ℝ^{+}) l’ensemble des processus X_{t} adaptés à F_{t} et de carré intégrable (i.e. 𝔼 ∫ X^{2}(t, .)dt < ∞). Cet ensemble est un espace de Hilbert pour le produit scalaire < X_{t}, Y_{t} >= 𝔼 ∫ X_{t}Y_{t}dt.

Exemple de processus adaptés à F_{t}: les processus de la forme f(t, B_{t}) ; les intégrales de la forme ∫ f(t, B_{t})dt; les processus φ(t, ω) = ∑_{0}^{n−1} X_{i}(ω)𝕀_{]t_{i},t_{i+1}]}(t), appelés processus en escalier, où t_{0} < t_{1} < … < t_{n} est une subdivision et (X_{i})_{i=0..n} une famille de v.a F_{t_{i}}^{B}-mesurables et de carré intégrable.

Proposition 2 Tout processus X_{t} ∈ ℍ^{2}(Ω × ℝ^{+}) est limite d’une suite de processus stochastiques en escalier (i.e. l’ensemble des processus en escalier est dense dans ℍ^{2}(Ω × ℝ^{+})).

Théorème 3 Soit B_{t} un mouvement brownien et (F_{t}^{B}) sa filtration naturelle. A tout processus X_{t} ∈ ℍ^{2}(Ω×ℝ^{+}), on associe une v.a. de carré intégrable I(X_{t}), notée I(X_{t}) = ∫ X_{t}dB_{t}, telle que 𝔼(I(X_{t})) = 0 et 𝔼(I(X_{t}))^{2} = 𝔼(∫ X_{t}^{2}dt).

Le processus I(X_{t}) est appelé l’intégrale stochastique ou intégrale d’Itô. Comme d’habitude on peut définir également cette intégrale comme fonction de sa borne supérieure par ∫_{0}^{t} X_{t}dB_{t} := ∫ X_{t}𝕀_{]0,t]}dB_{t}.

Propriétés de l’intégrale d’Itô :

1. ∫_{t}^{t′} X_{t}dB_{t} =^{ps} ∫_{t}^{s} X_{t}dB_{t} + ∫_{s}^{t′} X_{t}dB_{t} (relation de Chasles)

2. ∫_{t}^{t′}(αX_{t} + Y_{t})dB_{t} =^{ps} α ∫_{t}^{t′} X_{t}dB_{t} + ∫_{t}^{t′} Y_{t}dB_{t}.

3. 𝔼 (∫_{t}^{t′} X_{t}dB_{t}) = 0.

4. ∫_{t}^{t′} X_{t}dB_{t} est une v.a. F_{t′}^{B}−mesurable.

5. ∫_{0}^{t} X_{t}dB_{t} est une martingale^{2}.

1\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} 15 août 2001 Francine DIENER, UNSA, CNRS

2voir le cours suivant

Exercices :

1. Résoudre l’équation différentielle stochastique de Langevin (indication : adapter la méthode vue à

la question précédente)

dX_{t} = μX_{t}dt + σdB_{t}  (1)

Comment s’appelle cette solution de l’e.d.s.? Calculer 𝔼 X_{t} et Var X_{t} := 𝔼 (X_{t} − 𝔼 X_{t})^{2} dans le cas où X_{0} =: x_{0} est déterministe. On utilisera les propriétés vues en cours sur l’espérance et la variance de l’intégrale de Wiener. Calculer 𝔼 X_{t} et Var X_{t} dans le cas où X_{0} est une v.a. gaussienne et indépendante des B_{s}. On admettra que dans ce cas X_{0} est également indépendante de ∫_{0}^{t} e^{−s}dB_{s}. En déduire que si X_{0} est normale centrée, de variance Var (X_{0}) = \frac{σ^{2}}{−2μ}, alors X_{t} est un processus stationnaire (vérifier que 𝔼_{t} = Cste et Var X_{t} = Cste, puis expliquer pourquoi ceci implique la stationarité) et, quelque soit X_{0}, quand t → +∞, si μ < 0, le processus X_{t} vérifie 𝔼(X_{t}) → 0 et Var (X_{t}) → \frac{σ^{2}}{−2μ}. Réponses : X_{t} = e^{μt}X_{0} +σe^{μt} ∫_{0}^{t} e^{−μs}dB_{s} ; 𝔼 X_{t} = x_{0}e^{μt} ; Var X_{t} = \frac{σ^{2}}{2μ}(e^{2μt} −1)

; (X_{t}) est un processus d’Ornstein-Uhlenbeck ; 𝔼 X_{t} = e^{μt}𝔼 X_{0} ; Var X_{t} = e^{2μt}Var X_{0}+ \frac{σ^{2}}{2μ}(e^{2μt}−1).

2. On dit qu’un processus (X_{t})_{t∈[0,T]} est continu en moyenne quadratique si et seulement si 𝔼[X_{t}^{2}] < ∞

pour tout t et

pour tout t dans [0, T], lim_{s⟶t} 𝔼(X_{s} − X_{t})^{2} = 0

ce qui équivaut, si (X_{t})_{t∈[0,T]} est standard,

pour tous s et t dans [0, T], si s ≃ t, alors 𝔼(X_{s} − X_{t})^{2} ≃ 0.

Soit n ≥ 1 entier quelconque. On pose δt := δt^{(n)} = \frac{T}{n}, et on considère le découpage [0..T] := [0..T]_{δt^{(n)}} := {0, δt, …, nδt = T } de pas δt de [0, T]. On considère un processus (X_{t})_{t∈[0,T]} ∈ H^{2}(Ω×[0, T]) de manière à ce que l’intégrale d’Itô ∫_{0}^{T} X_{s}dB_{s} soit définie. On considère le processus en escalier φ(= φ^{(n)}) défini, pour tout (ω, s) ∈ Ω × [0, T], par

φ_{s}(ω) := ∑_{t∈[0..T [} X_{t}(ω)𝕀_{[t,t+δt[}(s),

où 𝕀_{[t,t+δt[} désigne la fonction indicatrice, 𝕀_{[t,t+δt[}(s) = 1 si s ∈ [t, t + δt[ et vaut zéro sinon.

(a) En utilisant que φ est en escalier, exprimer ∫_{0}^{T} φ_{s}dB_{s} comme une somme finie faisant intervenir les accroisements δB_{t+δt} := B_{t+δt} − B_{t} du brownien.

(b) Montrer que 𝔼 (∫_{0}^{T} X_{s}dB_{s} − ∫_{0}^{T} φ_{s}dB_{s})^{2} = 𝔼 ∫_{0}^{T} (X_{s} − φ_{s})^{2}ds.

(c) Montrer que 𝔼 ∫_{0}^{T} (X_{s} − φ_{s})^{2}ds = ∑_{t∈[0..T [} ∫_{t}^{t+δt} 𝔼(X_{s} − X_{t})^{2}ds.

(d) On suppose que (X_{t})_{t∈[0,T]} est continu en moyenne quadratique. Montrer que l’intégrale d’Itô ∫_{0}^{T} X_{s}dB_{s} est la limite, dans L^{2}(Ω), des ∑_{t∈[0..T [_{δt^{(n)}}} X_{t}δB_{t+δt^{(n)}}, c’est-à-dire que

lim_{n→∞} 𝔼 (∫_{0}^{T} X_{s}dB_{s} − ∑_{t∈[0..T [_{δt^{(n)}}} X_{t}δB_{t+δt^{(n)}} )^{2} = 0,

ou encore, si on suppose (X_{t})_{t∈[0,T]} standard et n i-grand,

𝔼 (∫_{0}^{T} X_{s}dB_{s} − ∑_{t∈[0..T [_{δt^{(n)}}} X_{t}δB_{t+δt^{(n)}} )^{2} ≃ 0.

3. On considère l’équation différentielle stochastique

dX_{t} = X_{t}(σdB_{t} + μ(t)dt) avec X_{0} = x_{0}  (2)

où σ et x_{0} sont des constantes, et μ est une fonction continue. On suppose μ(t) = sin(t) ; déterminer une fonction g telle que X_{t} := x_{0}e^{σB_{t}+g(t)} soit solution de (2) ; écrire la solution trouvée. Mêmes questions dans le cas où μ est une fonction continue bornée quelconque.

4. Calculer l’intégrale d’Itô ∫_{0}^{t} B_{s}^{2}dB_{s} (Indication : calculer d (\frac{1}{3}B_{t}^{3})).

5. Soient (h_{t})_{t≥0} et (k_{t})_{t≥0} deux processus adaptés au brownien (B_{t})_{t≥0}, de carré intégrable (c’est-à-dire dans H^{2}(Ω, ℝ)). Montrer que

𝔼 [∫_{0}^{+∞} h_{s}dB_{s} ∫_{0}^{+∞} k_{s}dB_{s}] = 𝔼 [∫_{0}^{+∞} h_{s}k_{s}ds] .

(Indication : Considérer les deux formes bilinéaires < h, k >:= 𝔼 [∫_{0}^{+∞} h_{s}dB_{s} ∫_{0}^{+∞} k_{s}dB_{s}] et

(h, k) := 𝔼 [∫_{0}^{+∞} h_{s}k_{s}ds]: montrer que < f, f >= (f, f) en vertu de l’isométrie I d’Itô

𝔼 (∫ f_{t}dB_{t})^{2} =: ∥∫ f_{t}dB_{t}∥_{L^{2}(Ω)} =: ∥I[f]∥_{L^{2}(Ω)} = ∥f∥_{H^{2}(Ω,ℝ)} := 𝔼 [∫ f_{t}^{2}dt] ,

pour tout processus f := (f_{t})_{t≥0} de carré intégrable, et développer l’identité < h + k, h + k >= (h + k, h + k)).

6. On considère un processus stochastique (X_{t})_{t≥0}, nul en t = 0, qui vérifie la formule suivante : pour toute f : ℝ → ℝ de classe C^{1}, et pour tout t > 0, on a presque surement :

f(X_{t}) − f(X_{0}) = ∫_{0}^{t} f′(X_{s})dX_{s}  (3)

où encore en notation différentielle df(X_{t}) = f′(X_{t})dX_{t}. On admettra que de tels processus existent.

(a) Montrer que X_{t} ne peut pas être un mouvement brownien.

(b) On considère un marché financier constitué de deux actifs (S_{t}^{0}, S_{t}) définis par S_{t}^{0} := e^{rt} et S_{t} := e^{rt+X_{t}}, où X_{t} est un processus vérifiant la formule (3). Calculer dS_{t}^{0} et dS_{t}.

(c) Montrer que le portefeuille (h_{t}^{0}, h_{t}) défini par h_{t}^{0} := 1 − e^{2X_{t}} et h_{t} := 2(e^{X_{t}} − 1) fournit une stratégie autofinancée, i.e. dh_{t}^{0}S_{t}^{0} + dh_{t}S_{t} = 0.

(d) On désigne par Π_{t} := h_{t}^{0}S_{t}^{0} + h_{t}S_{t} la valeur à l’instant t de ce portefeuille. Montrer que l’on

a :

Π_{t} = e^{rt}(1 − e^{X_{t}})^{2}.

(e) Déduire de la question précédente que le marché financier considéré ne vérifie pas l’hypothèse d’abscence d’opportunité d’arbitrage.