Université de Nice

Département de Mathématiques^{1} Maîtrise MASS

Notes de cours 9 : Processus d’Itô et équations différentielles stochastiques

Définition : On appelle processus d’Itô un processus stochastique de la forme

X_{t} = X_{0} + ∫_{0}^{t} α_{s}ds + ∫_{0}^{t} φ_{s}dB_{s}  (1)

où (B_{t}) est un mouvement brownien pour (Ω, P, F_{t}), X_{0} une v.a. F_{0}−mesurable et (α_{t}) et (φ_{t}) des processus F_{t}−adaptés vérifiant presque surement 𝔼(X_{0}^{2}) < +∞, 𝔼(∫_{0}^{t} |α_{s}|ds) < +∞ et 𝔼(∫_{0}^{t} φ_{s}^{2}ds) < +∞.

Le terme ∫_{0}^{t} α_{s}ds s’appelle la partie à variation finie et le terme ∫_{0}^{t} φ_{s}dB_{s} est appelé la partie martingale. Il y a unicité de la décomposition.

On écrit souvent pour simplifier l’équation (1) sous la forme différentielle dX_{t} = α_{t}dt + φ_{t}dB_{t}.

Théorème 1 (Formule d’Itô) Soit X_{t} un processus d’Itô défini par (1) et soit f : ℝ^{+} × ℝ → ℝ une fonction C_{b}^{1} en t et C_{b}^{2} en x. Alors le processus Y_{t} défini par Y_{t} := f(t, X_{t}) est encore un processus d’Itô et on a presque surement :

Y_{t} = Y_{0} + ∫_{0}^{t} \frac{∂f}{∂t} (s, X_{s})ds + ∫_{0}^{t} \frac{∂f}{∂x} (s, X_{s})dX_{s} + ∫_{0}^{t} \frac{φ_{t}^{2}}{2} \frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} (s, X_{s})ds.

Dans la formule précédente l’intégrale stochastique ∫_{0}^{t} \frac{∂f}{∂x}(t, X_{t})dX_{t} est à comprendre comme une notation simplifiée de ∫_{0}^{t} \frac{∂f}{∂x}(s, X_{s})α_{s}ds+∫_{0}^{t} \frac{∂f}{∂x}(s, X_{s})φ_{s}dB_{s}. La formule donné par ce théorème généralise la formule d’Itô du cas du mouvement Brownien à celui d’un processus d’Itô en général. On l’écrit aussi pour simplifier sous une forme différentielle :

dY_{t} = \frac{∂f}{∂t} (t, X_{t})dt + \frac{∂f}{∂x} (t, X_{t})dX_{t} + \frac{φ_{t}^{2}}{2} \frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} (t, X_{t})dt.

Définition : Une équation différentielle stochastique est une équation de la forme:

dX_{t} = μ(t, X_{t})dt + σ(t, X_{t})dB_{t}  (2)

où les solutions (X_{t}) sont des processus adaptés à la filtration naturelle du brownien B_{t} vérifiant l’équation pour tout t dans un intervalle [t_{0}, t^{+}[ et pour presque tout ω.

Exemples :

• dX_{t} = X_{t}(μ(t)dt + σ(t)dB_{t}) a pour solutions X_{t} = X_{0} exp(∫_{0}^{t}(μ(s) − \frac{1}{2}σ^{2}(s))ds + ∫_{0}^{t} σ(s)dB_{s}).

• dX_{t} = −aX_{t}dt + σdB_{t} a pour solutions X_{t} = X_{0}e^{−at} + σ ∫_{0}^{t} e^{−a(t−s)}dB_{s}.

Théorème 2 (Existence et unicité) On considère l’équation différentielle stochastique (2) et on suppose que μ et σ sont des fonctions continues et qu’il existe une constante C telle que :

1. |μ(t, x) − μ(t, y)| + |σ(t, x) − σ(t, y)| ≤ C|x − y|

2. |μ(t, x)| + |σ(t, x)| ≤ C(1 + |x|)

Alors, pour tout T > 0, l’équation (2) admet une solution unique F_{t}−adaptée dans l’intervalle [0, T] (unique signifie que si X_{t} et \overline{X}_{t} sont deux solutions, alors ∀t ∈ [0, T], X_{t} =^{ps} \overline{X}_{t}).

Remarque : Les solutions dont ce théorème assure l’existence sont appelées des solutions fortes. En effet, on suppose ici que l’espace probabilisé filtré (Ω, P, F_{t}) est donné ainsi que le mouvement brownien B_{t}. On aurait aussi pu regarder le problème sans supposer B_{t} donné, et rechercher alors un couple (X_{t}, B_{t}) qui satisfasse l’équation : dans ce cas on appelle la solution X_{t} une solution faible.

1\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} 15 août 2001 Francine DIENER, UNSA, CNRS

Exercices :

1. Utiliser la formule d’Itô pour déterminer la forme standard

dX_{t} = u(t, ω)dt + v(t, ω)dB_{t}

de l’EDS satisfaite par les processus suivants :

(a) X_{t} = B_{t}^{2}

(b) X_{t} = B_{t}^{3}

(c) X_{t} = 2 + t + e^{B_{t}}

(d) X_{t} = e^{ct+aB_{t}}

2. (a) Montrer que si X_{t} est solution de l’EDS dX_{t} = a_{t}dt + dB_{t} alors X_{t} est une martingale si et

seulement si a_{t} = 0 p.s.

(b) Montrer que si X_{t} est solution de l’EDS dX_{t} = v(t, “ω”)dB_{t} alors X_{t}^{2} n’est pas toujours une martingale. (X_{t} est une martingale ; pourquoi? )

(c) Montrer que si X_{t} est solution de l’EDS dX_{t} = v(t, .)dB_{t} alors

M_{t} := X_{t}^{2} − ∫_{0}^{t} |v(s, .)|^{2}ds

est une martingale.

n.b. Le processus ∫_{0}^{t} |v_{s}(.)|^{2}ds = :< X, X >_{t} s’appelle le processus variation-quadratique de la martingale X_{t}; en général, pour un processus Y_{t} le processus variation-quadratique de Y_{t} est donné par

< Y, Y >_{t}:= lim_{δt→0^{+}} ∑_{s∈]0..t]_{δt}}(δX_{s})^{2} ,

où δX_{s} := δ_{δt}X_{s} := X_{s} − X_{s−δt}

(d) Soit X_{t} un processus d’Itô

dX_{t} = α_{t}dt + φ_{t}dB_{t}  (3)

On suppose que α_{t} est un processus continu de carré presque sûrement localement intégrable (cpsli), c’est-à-dire que, pour presque-tout ω, ∫_{0}^{t} α_{s}^{2}(ω)ds < ∞ pour tout t ≥ 0. Montrer que si α_{t} = 0 p.s., alors X_{t} est une martingale.

(e) (admis) Montrer, réciproquement, que si X_{t} est une martingale alors α_{t} = 0 pour tout t ≥ 0.

(f) Soit S_{t} une solution de l’e.d.s.

dS_{t} = S_{t}(μdt + σdB_{t}).  (4)

Montrer que S̃_{t} := e^{−rt}S_{t} est un processus d’Itô.

(g) Soit C_{t} le prix d’une option de sous-jacent S_{t}, et C̃_{t} := e^{−rt}C_{t} son prix actualisé. On suppose

que

C̃_{t} = F (t, S̃_{t}),

où F est une fonction de classe C^{2}. Montrer que C̃_{t} est un processus d’Itô.

(h) Montrer que F est solution d’une équation aux dérivées partielles que l’on précisera. (Indication : on sait que C̃_{t} est une martingale).

3. Soit (B_{t}) un mouvement brownien et (F_{t}) sa filtration naturelle. Soit (X_{t}) un processus stochastique

vérifiant l’EDS

dX_{t} = X_{t} (μ(t)dt + σ(t)dB_{t})

et soit (Y_{t}) le processus défini par Y_{t} := X_{t} exp(− ∫_{0}^{t} μ(s)ds).

(a) Trouver une EDS satisfaite par Y_{t}.

(b) Montrer que Y_{t} est une martingale.

(c) En déduire que X_{t} = 𝔼(X_{T} exp(− ∫_{t}^{T} μ(s)ds)/F_{t}).