Université de Nice

Département de Mathématiques^{1} Maîtrise MASS

Notes de cours 10 : Options barrières

Définition : Une option barrière est un produit dérivé sur un actif sous-jacent (S_{t}) pour lequel le versement à l’échéance T de la fonction de paiment φ(S_{T}) dépend du fait que le sous-jacent a franchi ou non, vers le haut ou vers le bas, durant la durée de vie du contrat [0, T], une barrière H donnée. Les options barrières les plus courantes sont les knock-out, options qui expirent automatiquement lorsque le sous-jacent franchit la barrière et les knock-in, options qui au contraire ne sont activées que si le sousjacent franchit au moins une fois la barrière avant l’échéance. Par ailleurs ces options s’appellent des call, des put, des options binaires, ... selon le choix de la fonction φ. Ainsi, par exemple,

• Une option DIC (Down and In Call) de prix d’exercice K, d’échéance T et de barrière H est le droit d’acheter le sous-jacent au prix K à la date T si celui-ci passe au moins une fois en dessous de la valeur H avant expiration du contrat.

• Une option U0P (Up and Out Put) de prix d’exercice K, d’échéance T et de barrière H est le droit de vendre le sous-jacent au prix K à la date T si celui-ci ne dépasse jamais la valeur H avant expiration du contrat.

Souvent le contrat consent un rebate, payé en cash, lorsque l’option est out. Les options barrières sont seulement négociées de gré à gré (OTC) ; elles sont appréciées car elles sont bien moins chères que les options vanille (de l’ordre de quatre fois moins), mais les deux parties prennent des risques plus importants.

Calcul du prix : l’exemple d’une DIC dans un marché sans taux d’intérêt.

Théorème 1 On suppose H < K. Dans un marché sans taux d’intérêt, le prix, noté DIC(t, x ; T, K, H), d’une option Down and In Call de prix d’exercice K, d’échéance T et de barrière H, calculé à l’instant t lorsque l’actif sous-jacent vaut x à cet instant, est donné par :

DIC(t, x ; T, K, H) = \{ \begin{matrix}Call(t, x ; T, K) & si x ≤ H \\ \frac{K}{H} P ut(t, x ; T, \frac{H^{2}}{K}) & si x > H \end{matrix}

où Call(t, x ; T, K) désigne le prix d’une option Call vanille de prix d’exercice K, d’échéance T, calculé à l’instant t lorsque l’actif sous-jacent vaut x à cet instant, et de manière analogue pour P ut(t, x ; T, \frac{H^{2}}{K}).

Preuve : Le cas où x ≤ H est trivial. Pour calculer le prix dans le cas où x > H, on introduit le temps d’arrêt, noté τ_{H} :

τ_{H} = \{ \begin{matrix}inf\{t ∈ [0, T], S_{t} ≤ H\} & si \{t ∈ [0, T], S_{t} ≤ H\} ≠ ∅ \\ T & sinon \end{matrix}

Ceci permet d’écrire DIC(T, S_{T} ; T, K, H) = (S_{T} −K)^{+}𝕀_{τ_{H}≤T}. Lorsque τ_{H} ≤ H, on a DIC(τ_{H}, H ; T, K, H) = Call(τ_{H}, H ; T, K). Or Call(τ_{H}, H ; T, K) = \frac{K}{H} P ut(t, x ; T, \frac{H^{2}}{K}) en vertu des deux lemmes suivants :

Lemme 2 (Symétrie de Carr) Dans un marché sans taux d’intérêt, Call(t, x ; T, K) = P ut(t, K ; T, x).

Lemme 3 (Invariance par changement de numéraire) Pour tout λ, P ut(t, λx ; T, λy) = λP ut(t, x ; T, y).

Mais, en raison de l’hypothèse d’abscence d’oportunité d’arbitrage, deux portefeuilles qui ont le même flux à un instant futur ont la même valeur à toutes dates intermédiaires. Donc, pour tout (t, x), l’option DIC(t, x ; T, K, H) a exactement le même flux futur que \frac{K}{H} options DIP (t, x ; T, \frac{H^{2}}{K} , H). Mais comme on a supposé que H < K, on a aussi \frac{H^{2}}{K} < H, donc, puisque x > H, DIP (t, x ; T, \frac{H^{2}}{K} , H) = P ut(t, x ; T, \frac{H^{2}}{K}). □ Exercices :

1\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} 15 août 2001 Francine DIENER, UNSA, CNRS

1. Soit (B_{t})_{t≥0} un mouvement brownien sur (Ω, P), soit H < 0 et soit τ_{H} la v.a. sur Ω définie par τ_{H} := Min {t ≥ 0, B_{t} ≤ H} si {t ≥ 0, B_{t} ≤ H} est non vide, et τ_{H} = +∞ sinon. On pose

B_{t}^{H} = \{ \begin{matrix}B_{t} & si t ≤ τ_{H} \\ 2H − B_{t} & si t > τ_{H} \end{matrix}

(a) Montrer que, si τ_{H} < +∞, B_{τ_{H}} = H.

(b) Tracer schématiquement sur le même dessin une trajectoire de B_{t} pour laquelle τ_{H} < +∞ et la trajectoire correspondante de B_{t}^{H}.

(c) Montrer que l’on a B_{t}^{H} = B_{t∧τ_{H}} − 𝕀_{{t>τ_{H}}}(B_{t} − B_{τ_{H}}), où t ∧ τ_{H} désigne le plus petit des deux instants t et τ_{H}.

(d) En déduire que

B_{t}^{H} = ∫_{0}^{t} (𝕀_{[0,τ_{H}]}(s) − 𝕀_{]τ_{H},+∞]}(s)) dB_{s}.

(e) Calculer les deux premiers moments de B_{t}^{H}. En déduire que B_{t}^{H} est un mouvement brownien.

2. On appelle volatilité d’un actif X_{t} dont la dynamique est donnée par une équation d’Itô dX_{t} = μ(t, X_{t})dt + σ(t, X_{t})dB_{t} la quantité v_{X} := \frac{σ(t,X_{t})}{X_{t}}.

(a) Quelle est la volatilité v_{S} d’un actif S_{t} qui suit un modèle de Black-Scholes? Que représentet-elle?

(b) Montrer que la volatilité d’une option call européenne de sous-jacent S_{t} qui s’écrit C_{t} = C(t, S_{t}) vérifie \frac{v_{C}}{v_{S}} = \frac{1}{C_{t}} \frac{∂C_{t}}{∂x} S_{t}.

(c) En utilisant la formule de Black-Scholes pour C_{t} et l’expression du delta \frac{∂C_{t}}{∂x}, montrer que la volatilité du call est supérieure à celle du sous-jacent.