Université de Nice

Département de Mathématiques^{1} Maîtrise MASS

Notes de cours 11 : Changement de probabilité et théorème de Girsanov

Définition : Une probabilité Q sur un espace d’états (Ω, A, P) définit un changement de probabilité s’il existe une v.a. Y telle que, pour tout évènement A ∈ A,

Q(A) = 𝔼(Y 𝕀_{A}).

La v.a. Y, notée \frac{dQ}{dP}, s’appelle la dérivée de Radon-Nikodym de Q par rapport à P. On se convaint

facilement de l’existence d’une telle v.a. lorsque P et Q sont deux probabilités équivalentes sur un ensemble Ω fini (on dit que deux probabilités P et Q sont équivalentes ssi P (A) > 0 ⇔ Q(A) > 0).

Notons que la v.a. \frac{dP}{dQ} a nécessairement une espérance égale à 1 et, si X est une v.a. sur Ω, et P et Q deux probabilités équivalentes, on a :

𝔼^{Q}(X) = 𝔼^{P} (\frac{dQ}{dP}X) .

Deux exemples :

1. Si S_{n} est une v.a. binomiale B(n, p) et si l’on pose Y_{n} = (\frac{q}{p})^{S_{n}}(\frac{1−q}{1−p})^{n−S_{n}}, alors Y_{n} définit un changement de probabilité tel que, sous la nouvelle probabilité, S_{n} suit une loi binomiale B(n, q).

2. Soit U une v.a. normale d’espérance m et de variance σ^{2}. La v.a. Y := exp(λ(U − m) − \frac{λ^{2}}{2} σ^{2}) définit un changement de probabilité tel que, sous la nouvelle probabilité, U est une v.a. normale d’espérance m + λσ^{2} et de variance inchangée.

Théorème 1 Soit (B_{t})_{t≥0} un P −mouvement brownien et h une fonction de L^{2}([0, T]). La v.a. Y_{T} définie par

Y_{T} := exp (− ∫_{0}^{T} h(s)dB_{s} − \frac{1}{2} ∫_{0}^{T} h(s)^{2}ds)

est un changement de probabilité \frac{dQ}{dP} tel que le processus

(B̃_{t})_{t≥0} := (B_{t} + ∫_{0}^{t∧T} h(s)ds)_{t≥0}

soit un Q−mouvement brownien.

Exemples :

1. On peut transformer un mouvement brownien avec dérive X_{t} = μt + σB_{t} en le produit par σ d’un mouvement brownien sans dérive B̃_{t} en changeant de probabilité (appliquer le théorème précédent à la fonction h(t) = \frac{−μ}{σ}).

2. On peut transformer un mouvement brownien géométrique donné par dX_{t} = X_{t}(μdt + σdB_{t}) en n’importe quel MB géométrique donné par dX_{t} = X_{t}(νdt + σdB̃_{t}) en changeant de probabilité (appliquer le théorème précédent à la fonction h(t) = \frac{−(μ−ν)}{σ}).

1\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} 15 août 2001 Francine DIENER, UNSA, CNRS

Exercices :

1. Soit (Ω, P(Ω), ℙ) un espace probabilisé fini. Soient X_{1} une v.a. de Bernouilli B(1, p), q ∈]0, 1[, et

Y_{1} := (\frac{q}{p})^{X_{1}} (\frac{1 − q}{1 − p})^{1−X_{1}} .

(a) Verifier que Y_{1} > 0 et que 𝔼Y_{1} = 1

(b) Changement de probabilité : pour tout événement A ⊆ Ω, on pose

ℚA := 𝔼(Y_{1}𝕀_{A})

Montrer que ℚ est une probabilité

(c) On note Xℚ_{1} la v.a. X_{1} sous la probabilité ℚ, c’est-à-dire la v.a. sur (Ω, P(Ω), ℚ) prenant les

mêmes valeurs que X_{1}. Montrer que Xℚ_{1} suit une loi de Bernouilli B(1, q).

(d) Soit n ≥ 1 entier, et X_{n} une v.a. binômiale B(n, p). Soit Y_{n} > 0 une v.a. telle que 𝔼Y_{n} = 1, et

ℚ^{n} la probabilité définie par

ℚ^{n}A := 𝔼(Y_{n}𝕀_{A}).

Comment choisir Y_{n} pour que, sous ℚ^{n}, la v.a. X_{n} suive un loi binômiale B(n, q)? (Indication : rechercher Y_{n} de la forme Y_{n} = f(X_{n}), c’est-à-dire X_{n}-mesurable, puis calculer ℚ^{n}{X_{n} = k}.)

(e) On suppose que X_{n} = X_{n−1} +δX_{n}, avec X_{0} = 0 et (δX_{n})_{n≥1} suite de v.a. de Bernouilli B(1, p) indépendantes. Montrer que (Y_{n})_{n≥1} est une martingale.(Indication : utiliser que X_{n+1} = X_{n} + δX_{n+1}, et que δX_{n+1} est indépendant de la tribu F_{n} engendrée par les X_{1},…,X_{n}.)

2. Soit dX_{t} = u(t)dt + dB_{t} un processus d’Itô et supposons, pour simplifier, que u soit bornée.

(a) Vérifier que X_{t} n’est pas une martingale sauf si u ≡ 0.

(b) On pose Y_{t} := exp(− ∫_{0}^{t} u(s)dB_{s} − \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} u^{2}(s)ds) et M_{t} := X_{t}Y_{t} (le processus Y_{t} est un changement de probabilité et s’appelle la martingale exponentielle). En utilisant la formule de Cameron-Martin montrer que le processus M_{t} est (cette fois) une martingale.