I will prove that on a general metric measure space the gradient flow of the relative entropy with respect to \(W_2\) coincides with the gradient flow of an appropriately defined Dirichlet energy with respect to \(L^2\). This is a joint work with L.Ambrosio and G.Savaré

Les "méthodes géométriques" ont été développées dans les années 70 afin d'étudier les propriétés spectrales d'opérateurs de Schrödinger, décrivant N particules quantiques évoluant dans tout l'espace. Dans cet exposé je présenterai un nouveau formalisme permettant d'étendre ces méthodes linéaires au cadre non linéaire. En particulier, j'expliquerai comment on peut décrire la perte de compacité des fonctions d'onde à N corps grâce à une topologie faible adaptée. Dans un second temps je présenterai quelques applications. Je montrerai par exemple l'existence du multi-polaron qui est un système de N électrons en interaction avec les phonons d'un cristal.

Il s'agit ici de comprendre comment un bruit aléatoire se propage à travers une chaîne de n oscillateurs successivement couplés les uns aux autres, le premier oscillateur étant soumis à une agitation brownienne. Sur un plan purement descriptif, la chaîne est modélisée par une cascade de n équations différentielles, la première d'entre elles étant stochastique, i.e. forcée par un bruit, les suivantes étant ordinaires. D'un point de vue analytique, la densité de probabilité du système à un instant donné est comprise comme la solution fondamentale d'une équation parabolique à n coordonnées, de type transport diffusion dégénérée, la diffusion n'agissant que sur la première coordonnée modélisant l'oscillateur forcé. Précisément, nous établissons, sous des hypothèses ad hoc, des bornes gaussiennes pour la solution fondamentale. La preuve s'appuie sur des techniques de contrôle stochastique(Travail en commun avec S. Menozzi, Paris 7). Il s'agit ici d'étudier la solution fondamentale d'une EDP parabolique de type Hormander faible.

On considère des opérateurs de Schrödinger dont le potentiel est donné par la restriction d'un potentiel ergodique à un grand domaine. On s'intéresse plus particulièrement au cas des potentiels aléatoires et périodique. Pour ces potentiels à support grand mais compact, on peut prolonger méromorphiquement la résolvante et définir les résonances comme les pôles de ce prolongement. Dans le cadre d'exemples simples uni-dimensionnel, on étudiera la distribution de ces résonances lorsque la taille du domaine tend vers l'infini. On mettra cette distribution en relation avec les caractéristiques spectrales de l'opérateur de Schrödinger obtenu lorsque le potentiel ergodique s'étend à tout l'espace.

Nous discuterons d'une possible démonstration de la conjecture de Mañé en topologie \(\mathscr{C}^2\) qui affirme en gros que l'ensemble d'Aubry d'un Hamiltonien générique est une orbite périodique ou un point d'équilibre. Notre approche consiste à utiliser des techniques de closing lemma classiques alliées à des méthodes de théorie géométrique du contrôle. Ceci est un travail en collaboration avec Alessio Figalli.

In this talk, we will see how the "Wasserstein gradient flow approach" allows to provide a well-posedness theory for weak measure solutions of the Cauchy problem for a family of nonlocal interaction equations. These equations are continuum models for interacting particle systems with attractive/repulsive pairwise interaction potentials. The main phenomenon of interest is that, even with smooth initial data, the solutions can concentrate mass in finite time. Thanks to the Wasserstein approach, one can develop an existence theory that enables to go beyond the blow-up time in classical norms and allows for solutions to form atomic parts of the measure in finite time. The weak measure solutions are shown to be unique and exist globally in time. Moreover, in the case of sufficiently attractive potentials, one can prove the total collapse of the solution onto a single point in finite time, for compactly supported initial data.

Nous verrons comment les outils analytiques du calcul pseudodifférentiel de Boutet de Monvel sur variétés à bord permettent de construire certains triplets spectraux, qui sont les objets de base de la géométrie différentielle noncommutative. Des applications à l'étude de l'action spectrale de Chamseddine-Connes pour des opérateur de Dirac sur variétés à bord avec torsion seront considérées.

Dans cet exposé, je présenterai une généralisation du critère Gamma 2 de Bakry-Emery dans un cadre sous-elliptique et montrerai comment l'obtenir sur des exemples modèles. Je donnerai ensuite deux applications de ce critère dans le cadre où la courbure est positive (estimées de Li-Yau et propriété du doublement de la mesure). Il s'agit d'un travail en commun avec D.Bakry, F.Baudoin, B. Qian d'une part et F.Baudoin, N. Garofalo d'autre part.

Nous chercherons à inverser explicitement la "transformation aux rayons X", qui à une fonction sur la variété associe ses intégrales le long des géodésiques. Pour les espaces hyperboliques on y parvient par un calcul, inspiré du cas euclidien. Le résultat se généralise ensuite dans deux directions, aux espaces riemanniens symétriques non compacts d'une part, aux espaces de Damek-Ricci d'autre part, en utilisant certaines sous-variétés totalement géodésiques. Nous donnerons enfin des théorèmes de support pour cette transformation.

Sur une variété kählérienne compacte connexe de dimension \(2m\), \(\omega\) étant la forme de Kähler, \(\Omega\) une forme volume donnée dans \([\omega]^m\) et \(k\) un entier \(1 < k < m\), on cherche à résoudre de façon unique dans \([\omega]\) l'équation \(\overline{\omega}\wedge\omega^{m-k}=\Omega\) en utilisant une notion de \(k\)-positivité pour \(\overline{\omega}\in[\omega]\) (les cas extrêmes sont résolus: \(k = m\) par Yau, \(k = 1\) trivialement). Nous avions résolu par la méthode de continuité l'équation hessienne d'ordre \(k\) complexe elliptique correspondante sous l'hypothèse que la variété est à courbure bisectionnelle holomorphe non-négative. Dans cet exposé, on expliquera comment Hou-Ma-Wu aboutissent à un pincement uniforme des valeurs propres de ces équations hessiennes, sans hypothèse de courbure mais sous une hypothèse d'estimation uniforme du gradient.

La compréhension de l'espace de module des surfaces à courbure moyenne constante (CMC) dans une variété a été l'objet de nombreuse investigations ces deux dernières décennies. Successivement, Ye, Pacard et Malchiodi, pour ne citer qu'eux, ont construit des exemples de CMC se concentrant dans un voisinage d'une point critique de la courbure scalaire. Nous regarderons la question de l'unicité de telles constructions, en étudiant les suites de solutions de l'équation de courbure moyenne constante dans une variété à l'aide de technique de "blow-up", notamment en tentant d'obtenir des estimées précises sur la décomposition en somme de "bulles" de notre suite de solutions.

On étudie la stabilisation et le contrôle interne de l'équation de Klein-Gordon critique sur des variétés de dimension \(3\). Sous des conditions géométriques légèrement plus fortes que la condition de contrôle géométrique classique, on prouve la décroissance exponentielle de solutions bornées dans l'espace d'énergie mais petites dans des normes plus faibles. La preuve combine la décomposition en profils et des arguments microlocaux. Cette décomposition, analogue à celle de Bahouri-Gérard sur \(\mathbb{R}^3\), nécessite l'analyse de certains effets dus à la géométrie. Elle utilise des résultats de S. Ibrahim sur le comportement d'ondes de concentration sur les variétés.

Nous exposerons un résultat de classification des solutions entières du système de Ginzburg-Landau 3D qui minimisent localement leur énergie. A rotations et translations près, de telles solutions non triviales sont données par la solution équivariante sous l'action du groupe orthogonal. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Adriano Pisante.

Dans un feuilletage algébrique du plan projectif complexe, étant donnés une feuille du feuilletage et deux droites qui l'intersectent transversalement, on peut définir un germe d'application d'holonomie. On montrera que le prolongement analytique de ce germe peut avoir un infinité non-dénombrable de singularités et même avoir une coupure essentielle. Ceci répond à des questions posées par Ilyashenko et Loray.

Je présenterai une méthode à la fois ancienne et nouvelle pour résoudre des équations elliptiques. Anciennes parce que les équations de Cauchy-Riemann de la variable complexe sont un moyen bien connu de résoudre le problème de Dirichlet pour le Laplacien. Calderón-Zygmund puis Stein-Weiss avaient montré comment les généraliser en toutes dimensions. Nouvelles parce qu'il y a pour les opérateurs elliptiques à coefficients mesurables et bornés des équations de Cauchy-Riemann en prenant pour inconnue le gradient conormal et parce que ces équations sont maintenant utilisables comme conséquence des variantes de la solution de la conjecture de Kato. Cela ouvre la porte à la résolution de problèmes aux limites aussi bien pour les équations symétriques réelles pour lesquelles on retrouve simplement des résultats de Dalhberg-Kenig-Pipher, que pour les systèmes elliptiques ce qui est nouveau. C'est un travail en collaboration avec Andreas Axelsson.

Le but de l'exposé est d'expliquer une construction assez élémentaire de nombreuses surfaces kähleriennes non-compactes à courbure de Ricci nulle. La méthode consiste à déformer des quotients singuliers d'exemples explicites. En particulier, elle fournit une description assez simple d'essentiellement tous les instantons gravitationnels à rayon d'injectivité strictement positif connus, à déformation près. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Olivier Biquard.

Dans cet exposé, on présente une preuve d'un résultat de rigidité des variétés compactes de dimension quatre, qui repose entièrement sur l'étude d'un flot géométrique. On étudie pour cela le flot de gradient de certaines fonctionnelles quadratiques en la courbure, et on montre que lorsque la métrique initiale possède une constante de Yamabe positive et que son énergie est inférieure à une borne explicite, alors le flot ne développe pas de singularité. Sous ces hypothèses, la solution existe pour tous les temps positifs, et il existe une suite de temps pour lesquels la métrique converge vers un quotient de la sphère. Cela donne, sous des hypothèses un peu plus fortes, une preuve plus directe d'un théorème de Chang, Gursky et Yang affirmant que les seules variétés compactes de dimension quatre dont la courbure vérifie un pincement intégral et ayant une constante de Yamabe positive sont des quotients de la sphère.

Sur une variété riemannienne, le Laplacien de Witten est une déformation du Laplacien de Hodge via une fonction de Morse f et un paramètre semi-classique h>0. Son étude est en lien étroit avec plusieurs domaines des Mathématiques comme les probabilités (étude de la métastabilité) ou la topologie (inégalités de Morse). Dans la continuité de travaux sur le calcul précis des petites valeurs propres du Laplacien de Witten agissant sur les fonctions à la limite semi-classique h → 0, nous montrons comment obtenir le même type d'asymptotiques dans le cadre général des p-formes. De plus, dans le prolongement de l'étude du Laplacien fonctionnel, nous montrons que chaque valeur propre du Laplacien de Witten p-forme est naturellement associée à un point critique d'indice p de la fonction de Morse f et réciproquement.

Le problème de Schottky consiste à caractériser les jacobiennes des surfaces de Riemann parmi les variétés abéliennes principalement polarisées. Ce problème classique a été abordé sous de nombreux angles. Dans ce travail en collaboration avec F. Balacheff et H. Parlier, nous généralisons l'approche géométrique développée par P. Buser et P. Sarnak en obtenant de nouvelles estimées sur les longueurs des réseaux des périodes des jacobiennes.

Un ensemble minimal est un fermé dont la mesure de Hausdorff ne peut être rendue plus petite par aucune déformation Lipschitzienne locale (e.g. films de savon). Le résultat de régularité donné par Jean Taylor dit que tous les ensemble minimaux de dimension \(2\) dans \(\mathbb{R}^3\) sont localement équivalents à un cône minimal par un homéomorphisme de classe \(\mathscr{C}^1\). Si l'on essaie de généraliser aux dimensions et codimensions supérieures le résultat de Jean Taylor, il est important de connaître la liste des cônes minimaux, par exemple de dimension \(2\) dans \(\mathbb{R}^4\). Nous parlerons de cette question, et en particulier d'un résultat sur la minimalité de l'union presque orthogonale de deux plans.

Une des questions ouvertes en combinatoire est l'existence des matrices d'Hadamard, de taille n=4k quelconque. Je vais discuter une approche analytique à cette question, basée sur des intégrales polynômiales sur le groupe orthogonal O(n), dont le calcul exact est une question clé de physique mathématique, ouverte également. Travail en commun avec Benoit Collins et Jean-Marc Schlenker.

We generalize the relative entropy from the viewpoint of the information geometry. We show that, on a weighted Riemannian manifold, the convexity of the generalized relative entropy is equivalent to the combination of the nonnegativity of the weighted Ricci curvature and the convexity of a certain weight function. This curvature bound implies several functional inequalities and the contraction property for the gradient flow of the generalized relative entropy. This is joint work with Shin-ichi Ohta(Kyoto University).

In this seminar I will present some results obtained in collaboration with Aldo Pratelli (University of Pavia), about stability for some shape optimization problems involving eigenvalues of an elliptic operator (typically, the Laplacian), both with Dirichlet and Neumann boundary conditions. I will mainly focus on two cases: the optimization of the sharp constant in the Poincar\'e-Wirtinger inequality and the minimization of the second eigenvalue of the Laplacian-Dirichlet. After reviewing these classical results, we will show how they can be improved, with the addition of a reminder term measuring the distance of a shape from the space of optimizers. We will also discuss the sharpness of these stability results.

Dans cet exposé, je présenterai des résultats d'existence d'application de transport optimale lorsque la fonction de coût est "relativiste". Un coût relativiste est un coût du type c(x-y) où c est une fonction strictement convexe infinie en dehors d'une boule par exemple. Intuitivement, on contraint la masse à ne pas trop se déplacer ou, de manière équivalente, à se déplacer à une vitesse bornée. Cette notion de coût relativiste a été introduite par Yann Brenier pour l'étude d'une équation de la chaleur relativiste (où la vitesse de propagation de la chaleur est bornée). La présence de ces singularités de la fonction coût ne permet pas d'appliquer les méthodes usuelles. La méthode de preuve repose en partie sur des propriétés du profil isopérimétrique (au moins du point de vue intuitif). Ces résultats ont été obtenus en collaboration avec Marjolaine Puel.

We prove that, for any integer \(d > 0\), every linearly repetitive Delone set in the Euclidean d-space \(\mathbb{R}^d\) is equivalent, up to a bi-Lipschitz homeomorphism, to the integer lattice \(\mathbb{Z}^d\). Linearly repetitive Delone sets include Delone sets derived from primitive substitution tilings with finite local complexity. When the Delone set \(X\) in \(\mathbb{R}^d\) comes from a primitive substitution tiling of \(\mathbb{R}^d\) (not necessarily with finite local complexity), we give a condition on the eigenvalues of the primitive substitution matrix which implies the existence of a homeomorphism with bounded displacement from \(X\) to the lattice lattice \(\lambda\mathbb{Z}^d\) for some positive \(\lambda\). This condition includes primitive Pisot substitution tilings but also concerns a much broader set of substitution tilings.

Dans cet expose, je parlerai des perturbations à oscillation lente d'opérateur de Schrödinger périodique en dimension 1. L'étude spectrale de ces opérateurs perturbés a été faite en majorité par G. Stolz qui a décrit les transitions entre le spectre absolument continu et le spectre singulier. Les résultats sur la densité d'états, l'exposant de Lyapounov (par B. Simon et Y. Zhu) et sur les asymptotiques des solutions (par A. Kiselev et M. Christ) ont été beaucoup plus restreints, ne portant que sur les perturbations du Laplacien, sans pouvoir traiter le potentiel périodique. Je présente les résultats généralisant les précédents sur l'exposant de Lyapounov, la densité d'états intégrée(par les approximations périodiques), ainsi que les asymptotiques des solutions sur des grands intervalles et le descriptif du placement du spectre singulier continu par des approximations "quasi"-périodiques. Ce travail fait partie de ma thèse.

Among all electromagnetic theories which (a) are derivable from a Lagrangian, (b) satisfy the dominant energy condition, and (c) in the weak field limit coincide with classical linear electromagnetics, we identify a certain subclass with the property that the corresponding static, spherically symmetric, asymptotically flat electrovacuum spacetime metric has the mildest possible singularity at its center, namely, a conical singularity on the time axis. The electric field moreover has a point defect on the time axis. The total electrostatic energy is finite, and is equal to the ADM mass of the spacetime. By an appropriate scaling of the Lagrangian, one can arrange the total mass and total charge of these spacetimes to have any chosen values. For small enough mass-to-charge ratio, these spacetimes have no horizons and no trapped null geodesics. We also prove the uniqueness of these solutions in the spherically symmetric class. Finally, a qualitative study of the geodesics and test-charge trajectories shows that (unlike in the case of the Reissner-Weyl-Nordstrom solution) the singularity at the center of these spacetimes is gravitationally attractive.

In this talk we study the \(L^2\)-critical initial value problem \[iu_t+\Delta u = F(u),\quad u(0,x) = u_0\in L^2(\mathbb{R}^d)\quad\quad(1)\] Where \(F(u)=\mu|u|^\frac{4}{d}u,\) \(\mu=\pm 1\). We prove (1) is globally well-posed and scattering for all \(u_0\in L^2(\mathbb{R}^d)\) when \(\mu= +1\) and for mass below the mass of the ground state, \[\|u\|_{L^2(\mathbb{R}^d)}<\|Q\|_{L^2(\mathbb{R}^d)}\] where \(Q\) is the positive solution to the elliptic partial differential equation \[\Delta Q + Q^{1+\frac{4}{d}}= Q\] The principal new ingredient is a frequency localized interaction Morawetz estimate obtained by an induction on frequency argument. We use the induction on frequency argument to estimate the Strichartz norm at high frequencies, which in turn gives additional regularity for certain minimal mass blowup solutions, and also allows us to estimate the error of localized interaction Morawetz estimates. We also discuss the adaptation of these methods to the focusing case.

Je présenterai une série de résultats récents obtenus en collaboration avec Frank Merle (Cergy et IHES), Igor Rodnianski (Princeton) et Rémi Schweyer (Toulouse) sur la formation de singularités pour des modèles géométriques qui apparaissent dans diverses modélisations physiques: le flot harmonique de la chaleur, et les applications de type "wave map" et "Schrodinger map" à valeur sur la sphère \(\mathbb{S}^2\). Ces équations respectivement paraboliques et dispersives sont d'un point vue mathématique des modèles de systèmes d'EDP avec une structure de type énergie critique. Elles admettent des solutions stationnaires minimiseurs de l'énergie (les applications harmoniques), et l'étude qualitative du flot près de ces solutions particulières a attiré une attention considérable ces 20 dernières années. Je discuterai notamment la question de l'instabilité de ces solutions par explosion et concentration de l'énergie, et présenterai une approche robuste et novatrice pour exhiber les régimes explosifs stables.