Le noyau de Bergman est le noyau integral de la projection orthogonale sur l'espace des sections holomorphes de carre integrable d'un fibre holomorphe. L'asymptotique du noyau de Bergman pour les grandes puissances du fibre est une asymptotique semi-classique avec des nombreux applications (existence des metriques de Kaehler-Einstein, equidistribution des zeros des sections aleatoires, quantisation geometrique...). Dans cet expose on decrit une approche introduite dans des travaux en commun avec X. Ma et en particulier des applications a la quantisation de Berezin-Toeplitz.

On montre l'existence globale de solutions régulières, avec condition de Dirichlet au bord, dans le cas défocalisant. La preuve repose sur une théorie de Cauchy à une régularité très proche de l'énergie, des arguments de globalisation en temps (produisant ici une croissance temporelle en triple exponentielle) et des estimations bilinéaires sur les domaines à bord qui sont intéressantes par elles-même.

Dans cet exposé, on s'intéressera à un problème de diffusion inverse en relativité générale consistant à retrouver la métrique de l'espace-temps par l'observation d'ondes aux "infinis". Dans un premier temps, on décrira la géométrie d'une classe de solutions exactes des équations d'Einstein, à symétrie cylindrique, électriquement chargées et avec constante cosmologique strictement positive, appelées trous noirs de Kerr-Newmann-De-Sitter. On étudiera ensuite la théorie de la diffusion directe pour des champs de Dirac sans masse se propageant dans ces espaces-temps et on définira en particulier la matrice de diffusion S(k), objet qui encode les propriétés de diffusion des champs de Dirac d'énergie k dans les régions asymptotiques de l'espace-temps. Enfin, on montrera que la connaissance de la matrice de diffusion à énergie fixée détermine "uniquement" la métrique du trou noir. Pour montrer ce résultat, on se sert des symétries du problème pour décomposer la matrice de diffusion S(k) en une infinité de matrices de diffusion partielles S(k,l) ou l représente le moment angulaire. L'idée principale de ce travail est alors de complexifier le moment angulaire l et d'étudier - et utiliser - les bonnes propriétés analytiques de la matrice de diffusion S(k,z) lorsque z appartient à C.

(collaboration avec M.Zworski) On s'intéresse à la diffusion quantique dans la limite semiclassique, pour des situations où l'ensemble capté K est une sous-variété symplectique par rapport à laquelle le flot hamiltonien est normalement hyperbolique. Sous cette hypothèse, mais dans un cadre analytique et sur l'espace euclidien, Gérard-Sjöstrand ont montré (en 1988) l'existence d'une bande sans résonances, de largeur reliée aux exposants de Lyapounov transverses. Nous étendons ce résultat au cadre \(C^\infty\), et pour des géométries plus générales. Ce formalisme semiclassique peut s'appliquer à d'autres cadres que la diffusion quantique. Par exemple, Wunsch-Zworski ont montré que la propagation d'ondes sur l'espace-temps de Kerr-de-Sitter fait aussi intervenir un ensemble capté normalement hyperbolique. Par ailleurs, Faure-Sjöstrand ont montré qu'un flot Anosov de contact peut aussi s'interpréter comme une "diffusion semiclassique" dans l'espace des phases, incluant un ensemble capté normalement hyperbolique. Dans ces deux situations, notre résultat fournit une description précise de la propagation des ondes, respectivement du mélange exponentiel du flot Anosov.

On sait depuis les travaux de Cheng que sur une surface compacte donnée, la multiplicité de la 2e valeur propre d'un opérateur de Schrödinger est majorée indépendamment de la métrique et du potentiel. Dans les années 80, Yves Colin de Verdière à mis en lumière un lien (encore en grande partie conjecturel) entre cette borne sur la multiplicité et le nombre chromatique de la surface.

Récemment, ce problème de multiplicité a été étudié pour l'opérateur Dirichet-to-Neumann sur les surfaces à bord. Dans cet exposé, on présentera ces différents résultats et on introduira un nouvel invariant chromatique des surfaces à bord qui permet d'étendre la conjecture de Colin de Verdière à l'opérateur Dirichlet-to-Neumann.

L'opérateur de Dirichlet-Neumann est un opérateur pseudo-différentiel agissant sur les fonctions du bord d'une variété. Son spectre, connu sous le nom de spectre de Steklov du domaine, est lié à la géométrie du domaine. Dans cet exposé, je survolerai les problèmes liés aux problèmes isopérimétriques et à l'optimisation de ses valeurs propres. Les résultats que je présenterai ont été obtenus en collaboration avec Iosif Polterovich, ainsi qu'avec Bruno Colbois et Ahmad El Soufi.

In recent years, following results on dispersive estimates for low regularity metrics, substantial progress has been made on dispersive estimates for the wave and Schrodinger equations on domains. Here we report on recent work to obtain a sharp dispersion estimate. For this, we rely on a precise description of the wave front (or the pseudo-spheres, e.g. surfaces reached by light emanating from a point after a fixed amount of time) and on a suitable microlocal parametrix construction near the boundary, for the wave equation inside strictly convex domains, subject to Dirichlet boundary condition. Such a parametrix allows to follow wave packets propagating along the boundary with a large number of reflections. In the process, we encounter Fourier Integral Operators whose canonical forms correspond to cusp and swallowtail singularities, and which account for the loss (compared to the boundary less case) in dispersive estimates. This is joint work with Gilles Lebeau and Fabrice Planchon.

On exposera certains des ingrédients techniques permettant l'obtention des estimations de dispersion pour l'équation des ondes dans un domaine convexe.

L'analyse pseudo-différentielle est avant tout, voire exclusivement, l'outil privilégié des équations aux dérivées partielles. Il est cependant intéressant d'appliquer cette analyse aux questions d'arithmétique susceptibles d'être posées en termes de théorie spectrale. On parvient ainsi à des aperçus nouveaux sur les formes modulaires, de type holomorphe ou non-holomorphe, ou sur les fonctions \(L\), à commencer par la fonction zéta.

Nous présenterons le groupe de Heisenberg sous-riemannien \(H\) ainsi que sa diffusion hypoelliptique, diffusion de la chaleur usuelle dans ce cadre. Suivant Jordan, Kinderlehrer et Otto nous établirons une équivalence entre cette diffusion et les courbes dans l'espace des mesures de probabilité sur \(H\), dont le vecteur vitesse vaut formellement le gradient de la fonctionnelle entropie.

Je considèrerai des modèles dispersifs nonlinéaires canoniques, typiquement une équation de Schrodinger nonlinéaire. Un problème particulièrement mal compris est la question de la croissance des normes Sobolev. Un sous problème est de considérer des dynamiques explosives et de poser la question du controle a priori de la vitesse d'explosion. Je présenterai deux résultats récents basés sur des travaux en collaboration avec Y. Martel (Polytechique), F. Merle (Cergy et IHES) et J. Szeftel (ENS Paris), l'un montrant qu'on peut exhiber dans certains régimes dits surcritiques une borne optimale sur la vitesse d'explosion qui est saturée par des solutions explosant sur un ensemble à la géometrie très particulière, un second montrant a contrario que dans certains régimes dits critiques, on peut construire des solutions explosant arbitrairement lentement.

Given a Borel A is \(\mathbb{R}^n\), one can consider his semisum \(S=(A+A)/2\). It is clear that \(S\) contains \(A\), and it is not difficult to prove that they have the same measure if and only if \(A\) is equal to his convex hull minus a set of measure zero. We now wonder whether this statement is stable: if the measure of the semisum is close to the one of \(A\), is \(A\) close to his convex hull? When \(n=1\), one can approximate \(A\) with finite unions of intervals to translate the problem to \(Z\), and in the discrete setting this question becomes a well studied problem in additive combinatorics, usually known as Freiman's Theorem. In this talk I'll review some results in the one-dimensional discrete setting, and show how to answer to this problem in arbitrary dimension. Also, if time permits, I'll discuss some extensions where one considers the semisum of two different sets.

Bien que les ensembles rectifiables dans les groupes de Carnot aient été intensivement étudiés depuis un certain nombre d'années, les ensembles uniformément rectifiables n'ont connu que peu de développements dans ce contexte. Nous nous intéresserons à de telles notions dans le groupe de Heisenberg. Nous aborderons en particulier le problème géométrique du voyageur de commerce qui forme une première étape naturelle dans le développement d'une théorie de la rectifiabilité uniforme pour les ensembles de dimension 1.

We will discuss recent fundamental uniqueness and oscillation results for radial solutions to nonlinear and linear equations with the fractional Laplacian. In particular, we show uniqueness and non-degeneracy of ground state solutions for the generalized Benjamin-Ono equation, which settles a conjecture posed by Kenig-Martel-Robbiano and Weinstein in any space dimension. The proof blends three strategies:
1.) dimensional extension,
2.) monotonicity formulas for the fractional Laplacian,
3.) a nonlinear flow argument. Time permitting, generalizations to other pseudo-differential operators and applications will be discussed as well.

We treat different types of elliptic problems involving nonstandard operators which can be viewed as generalizations of the Laplace operator and of the mean curvature operator. We search for weak solutions in the isotropic Sobolev space with variable exponent, or in the anisotropic Sobolev space with variable exponent.

L'équation de Keller-Segel possède un comportement particulier: il existe une masse critique pour la condition initiale en dessous de laquelle les solutions sont régulières et existent pour tout temps positif, et au dessus de laquelle on observe la formation d'une ou plusieurs masses de Dirac, on parle alors d'explosion. Numériquement on observe que l'intensité de ces masses de Dirac, au temps d'explosion, est exactement la masse critique. Montrer que cette propriété est vrai est parfois appelé problème de quantification de la masse. Dans l'exposé nous définirons un modèle particulaire unidimensionnel possédant le même comportement que l'équation de Keller-Segel. Pour ce modèle nous exhiberons une grande classe de condition initiales pour lesquelles la propriété de quantification de la masse est vrai.

Dans cet exposé, je présenterai une définition de la courbure des variétés sous-Riemanniennes générales qui est naturellement liée au développement asymptotique de la distance le long des géodésiques. Elle apparaît comme une généralisation de la courbure sectionnelle en géométrie Riemannienne.
Enfin, j'en présenterai quelques applications: propriété de contraction de la mesure, sous-laplacien de la distance en géométrie SR.

Il est bien connu qu'à toute fonction sur \(\mathbb{R}^{2n}\) bornée ainsi que toutes ses dérivées, on peut associer un opérateur pseudo-différentiel borné dans \(L^2(\mathbb{R}^n)\). Si la dimension \(n\) est assimilée à un paramètre pouvant tendre vers l'infini, nous précisons, par une modification de la preuve classique, la norme de cet opérateur, avec une majoration où les constantes sont indépendantes de la dimension. On peut aussi définir des opérateurs en dimension infinie, par une méthode différente de celle de Bernard Lascar.
Travail en collaboration avec Laurent Amour et Lisette Jager.

Dans cet exposé on etudiera un flot geometrique qui est le flot de gradient d'une fonctionnelle quadratique. Cette fonctionnelle, qui possede des propriétés géometriques remarquables, peut être vue, en dimension 3, comme un analogue quadratique de la fonctionnelle de Einstein-Hilbert. Comme nous le verrons, le flot de gradient qui lui est associé a un comportement plus compliqué que celui du flot de Ricci pour ce qui concerne l'existence de solutions en temps petit.

Quelles sont les conditions minimales portant sur le tenseur de courbure qui permettent de construire localement des solutions aux équations d'Einstein? D'après la conjecture de courbure \(L^2\), il suffit d'avoir une borne \(L^2\) sur le tenseur de courbure à l'instant initial. Je présenterai la preuve de cette conjecture qui donne un éclairage nouveau sur la structure non linéaire dite « nulle » des équations d'Einstein. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Sergiu Klainerman et Igor Rodnianski.

Les champs à divergence nulle ne peuvent conserver leur topologie de lignes de champs, lorsqu'ils sont diffusés par l'équation de la chaleur linéaire. Des équations de diffusion conservant la topologie, très non-linéaires, ont été proposées, notamment par H.K. Moffatt sous le nom de "relaxation magnétique".Elles ont pour solutions d'équilibre une classe très riche: à savoir toutes les solutions stationnaires des équations d'Euler des fluides incompressibles. En mélangeant des idées d'Ambrosio-Gigli-Savaré pour l'équation de la chaleur scalaire et la notion de solution dissipative des équations d'Euler proposée par P.-L. Lions, on parvient à définir un concept de "solution dissipative" pour la relaxation magnétique vers Euler, avec un théorème d'unicité "fort-faible." à la clef et d'existence globale de solutions.

Les applications conforme-harmoniques sont définies sur une variété conforme de dimension paire et elles satisfont une équation d'ordre quatre qui est invariante conformément. Elles peuvent être vues comme une extension conforme des applications harmoniques définies sur une surface. Dans cet exposé, nous introduirons les applications conforme-harmoniques et leurs propriétés. Ensuite, on démontre un résultat d'existence, analogue à celui d'Eells et Sampson. Ce travail est réalisé en collaboration avec O. Biquard.

Dans cet exposé, on commencera par présenter les espaces de Hardy classiques de fonctions analytiques définies sur des domaines tels que le disque et l'anneau en décrivant les principales propriétés de ces fonctions. On introduira alors la classe des opérateurs de composition sur ces espaces tout en motivant leur étude. On s'attardera notamment sur le caractère isométrique d'un tel opérateur qui amène à des considérations plus géométriques dans le cadre de l'anneau. On se placera ensuite sur les espaces de Hardy généralisés (de fonctions solutions d'une équation aux dérivées partielles elliptiques) en précisant en quoi ces espaces réels généralisent les espaces de Hardy classiques. On terminera en présentant quelques généralisations sur ces espaces, des propriétés des opérateurs de composition.

Je présenterai quelques techniques utilisées pour étudier les automorphismes des groupes hyperboliques (décompositions JSJ, outre espace).

We consider the exact controllability problem on a compact manifold \(\Omega\) for two coupled wave equations, with a control function acting on one of them only. Action on the second wave equation is obtained through a coupling term. First, when the two waves propagate with the same speed, we introduce the time \(T\) for which all geodesics traveling in \(\Omega\) go through the control region \(\omega\), then through the coupling region \(O\), and finally come back in \(\omega\). We prove that the system is controllable if and only if both \(\omega\) and \(O\) satisfy the Geometric Control Condition and the control time is larger than \(T\).

Second, we prove that the associated HUM control operator is an elliptic pseudo differential operator and we exhibit its principal symbol. Finally, if the two waves propagate with different speeds, we give sharp sufficient controllability conditions on the functional spaces, the geometry of the sets \(\omega\) and \(O\), and the minimal time.

L'exposé porte sur la structure des champs de vecteurs 2D à divergence nulle et de module un. Tout d'abord, on traite des résultats de régularité et densité pour ces champs de vecteurs. En particulier, on montre que s'ils sont dans l'espace de Sobolev H^{1/2}, alors ils sont en fait lipschitziens en dehors des singularités de type point-vortex. Ensuite, on traite le cas des champs de vecteurs à variation bornée. Plus précisément, on étudie les énergies concentrées sur les singularités de type lignes de saut. Cette analyse repose sur la notion d'entropie : en effet, les contraintes de divergence nulle et de module un sur le champ engendrent une loi de conservation scalaire.

Sur une variété Riemannienne, un domaine est dit extrémal s'il est critique pour la première valeur propre du laplacien de Dirichlet, ceci parmi les domaines voisins de même volume. Avec Pieralberto Sicbalbi, nous montrons que toute variété Riemannienne compacte admet des domaines extrémaux de petits volumes. Cela généralise un résultat de Frank Pacard et Pieralberto qui demandait que la courbure scalaire possède un point critique non dégénéré.

(Résultats obtenus en collaboration avec Claire Debord et Frédéric Rochon)

Une façon d'étudier les problèmes d'indices sur un espace stratifié est de le désingulariser en une variété à coins dont les hypersurfaces de bord héritent de fibrations. Pour un tel espace, j'expliquerai comment, à la suite des travaux de Melrose et Mazzeo-Melrose, développer un calcul pseudo-différentiel basé sur des techniques d'éclatements successifs. Les premières propriétés de ce calcul seront décrites (applications symboles, continuité entre espaces de Sobolev, compacité, critère pour être de Fredholm). Une alternative utilisant des groupoïdes différentiables pour définir ce même calcul sera également abordée, afin de traduire en termes de K-théorie et de théorie de l'indice les constructions précédentes.

Je vais présenter un travail en cours avec Laurent Stolovitch, visant à généraliser la théorie de la réductibilité pour les cocycles quasi-périodiques de dimension quelconque, au cas où la dynamique sur la base n'est pas forcément minimale, c'est-à-dire que le vecteur fréquence peut comporter une ou plusieurs résonances. L'enjeu est de définir une forme normale, qui ne sera pas une constante comme dans le cas non résonant, mais une fonction sur un tore, dont les modes de Fourier sont liés aux résonances. Nous verrons certains cas où le système est analytiquement conjugué à sa forme normale.

The relative entropy method is a powerful tool for the study of conservation laws. It provides, for example, the weak/strong uniqueness principle, and has been used in different context for the study of asymptotic limits. Up to now, the method was restricted to the comparison to Lipschitz solutions. This is because the method is based on the strong stability in \(L^2\) of such solutions. Shocks are known to not be strongly \(L^2\) stable. We show, however that their profiles are strongly \(L^2\) stable up to a drift. We provide a first application of this stability result to the study of asymptotic limits.