Séminaire Géométrie et Analyse

Séminaire Géométrie et Analyse

(2014-2015)

Laboratoire Dieudonné-CNRS-UNS UMR 7351

Le Séminaire a lieu le Jeudi à 15h30 en salle de conférences du LJAD

Accès au laboratoire J.A. Dieudonné




VACANCES


Exposés passés


Septembre

Jeudi 11 Septembre      Bruno Premoselli (Cergy)
Equations de contrainte en relativité générale
Résumé

Les équations de contraintes apparaissent en relativité générale, dans l'analyse des équations d'Einstein comme un problème d'évolution. Leur résolution permet de déterminer les données initiales produisant des espaces-temps solutions de l'équation d'Einstein. La méthode conforme - initiée par Choquet-Bruhat, Lichnerowicz et York - rend ces équations déterminées en les posant sous la forme d'un système d'équations elliptiques non-linéaires (sur)-critiques fortement couplé.

Nous étudierons dans cet exposé des propriétés de stabilité de ce système elliptique. La notion de stabilité étudiée ici, définie comme une propriété de dépendance continue de l'ensemble des solutions du système en ses coefficients, se traduit en termes de pertinence physique de la méthode conforme dans la construction d'espace-temps solutions des équations d'Einstein. L'analyse de la stabilité du système des contraintes fait intervenir des techniques fines de blow-up et d'étude des défauts de compacité d'équations elliptiques critiques





Jeudi 25 Septembre      Friedrich Haslinger (Vienne)
Spectral properties of the \(\bar\partial\)-Neumann operator


Octobre

Jeudi 9 Octobre      (relache)
(GdT sur le spectre des surfaces hyperboliques)


Jeudi 16 Octobre      Jiqiang Zheng (LJAD)
The defocusing energy-supercritical NLS in four space dimensions
Résumé

We consider a class of defocusing energy-supercritical nonlinear Schrödinger equations in four space dimensions. Following a concentration-compactness approach, we show that for \(1< s_c<3/2\), any solution that remains bounded in the critical Sobolev space \(\dot H^{s_c}_x(R^4)\) must be global and scatter. Key ingredients in the proof include a long-time Strichartz estimate and a frequency-localized interaction Morawetz inequality.

This work is jointed with Changxing Miao and Jason Murphy.



Jeudi 30 Octobre      (relache)
(pause pédagogique)


Novembre

Jeudi 6 Novembre      Charles Collot (LJAD)
Explosions de type II pour l'équation des ondes semilinéaire surcritique
Résumé

Cette présentation portera sur l'équation des ondes semilinéaire focalisante \[\partial_{tt}u=\Delta u +|u|^{p-1}u\] sur \(\mathbb{R}^d\). Variante « simple » de l'équation classique des ondes, elle fait partie des équations fortement étudiées en analyse non linéaire pour mettre au jour les phénomènes nouveaux par rapport au cas linéaire. Notamment, les solutions ne sont plus nécessairement globales: pour certaines données initiales la solution maximale peut être définie sur un intervalle de temps \(]T_-,T_+[\), avec \(T_+<+\infty\) et on dit alors que celle-ci explose au temps \(T_+\). Que se passe-t-il lors d'une explosion?

Le travail que je présenterai portera sur les solutions explosives dites de « type II », pour des nonlinéarités surcritiques pour l'énergie \(p>p(d)>1+\frac{4}{d-2}\). Ce sont des explosions spéciales qui diffèrent de l'explosion « générique » reliée à l'ÉDO \(\partial_{tt}u=u^p\) (dont la solution est sous la forme \(\frac{C}{(T_+-t)^{\frac{2}{p-1}}}\)). En particulier les normes sous-critiques restent bornées.

J'expliquerai comment montrer l'existence de telles solutions qui explosent en concentrant le soliton (état stationnaire) de l'équation. La construction explicite de ces solutions permet l'obtention de plus amples informations: il existe au moins un ensemble dénombrable de vitesses de concentration, pour lesquelles on peut construire une variété localement Lipschitz de codimension explicite de telles données initiales.



Jeudi 13 Novembre      Brendan Owens (Glasgow)
Immersed surfaces in four dimensions and classical knots
Résumé

I will discuss several problems in knot theory related to embedded and immersed surfaces, and indicate how gauge theory and Floer homology can be applied in some examples.



Jeudi 20 Novembre      rencontre ANR Geometrya
Geometric measure theory and its applications
Résumé

Programme de la rencontre.



Jeudi 27 Novembre      Phuc Cong Nguyen (Louisiana State University)
The Navier-Stokes equations in nonendpoint borderline Lorentz spaces
Résumé

It is shown both locally and globally that \(L_t^{\infty}(L_x^{3,q})\) solutions to the three-dimensional Navier-Stokes equations are regular provided \(q\not=\infty\). Here \(L_x^{3,q}\), \( 0\lt q\leq\infty\), is an increasing scale of Lorentz spaces containing \(L^3_x\). Thus the result provides an improvement of a result by Escauriaza, Seregin and Sverák, which treated the case \(q=3\). A new local energy bound and a new \(\epsilon\)-regularity criterion are combined with the backward uniqueness theory for parabolic equations to obtain the result.



Décembre

Jeudi 4 Décembre      Nabile Boussaid (Besançon)
Stabilité spectrale et linéaire de problèmes de Dirac non linéaires
Résumé

Le but de mon exposé est de présenter des résultats récents obtenus avec Andrew Comech dans l'analyse de la stabilité asymptotique des états stationnaires de modèles de Dirac non linéaires.

Nous analysons par des méthodes de continuation unique et de bifurcation l'apparition d'instabilités linéaires depuis la limite non relativiste.



Jeudi 11 Décembre      Frédéric Rousset (Orsay)
Limites ondes longues pour des Schrodinger maps
Résumé

On étudie l'obtention de systèmes d'équations de KdV dans une limite ondes longues à partir d'équations de Schrodinger non linéaires géométriques (les Schrodinger maps à valeurs dans des variétés Kahleriennes).



Jeudi 18 Décembre      Jean-Francois Nourrigat
Caractérisation à la Beals des OPD sur un espace de Wiener ; application.


Jeudi 25 Décembre      (relache)
(férié)


Janvier

Jeudi 1 Janvier      (relache)
(férié)


Jeudi 8 Janvier      Thomas Alazard (ENS Paris)
Contrôle de l'équation d'Euler à surface libre
Résumé

La question que nous nous proposons d’étudier est celle-ci : quelles ondes peuvent être générées en soufflant sur une partie localisée de la surface libre d’un liquide. Notre résultat principal affirme que l’on peut générer, en temps arbitrairement court, toute onde de gravité-capillarité 2D, de petite amplitude et périodique en x. Précisément, nous montrons que l’équation d’Euler à surface libre avec tension de surface est localement exactement contrôlable. Travail en collaboration avec Pietro Baldi et Daniel Han-Kwan.



Jeudi 15 Janvier      Marc-Antoine Coppo (LJAD)
Fonctions zêta d'Arakawa-Kaneko et séries binomiales inverses
Résumé

Je présenterai un certain nombre d'évaluations de séries de type polylogarithmiques qui ont une interprétation intéressante en physique en relation avec les diagrammes de Feynman (travaux de Kalmykov et Davydychev). Dans certains cas, je montrerai comment ces séries peuvent être explicitement évaluées en terme de valeurs sur les entiers de la fonction zêta de Riemann et de constantes qui leur sont reliées.

Il s'agit d'un travail en collaboration avec B. Candelpergher.



Jeudi 22 Janvier      Florica Cirstea (Sidney)
Existence and classification of singular solutions to nonlinear elliptic equations with a gradient term
Résumé

Let \(\Omega\) be a domain in \(R^N\) with \(N\geq2\) and \(0\in\Omega\). For \(0\lt m \lt 2\), \(q\gt0\) and \(m+q\gt 1\), we obtain a complete classification of the behaviour near 0 (as well at \(\infty\) if \(\Omega=R^N\)) for all positive \(C^1(\Omega\setminus\{0\})\) solutions of the elliptic equation \(\Delta u=u^q|\nabla u|^m\) in \(\Omega\setminus\{0\}\), together with corresponding existence results. We prove that (a) when \(\Omega=R^N\), any positive solution with a removable singularity at 0 must be constant. (b) If \(q_*:=\frac{N-m(N-1)}{N-2}\) for \(N\geq2\) and \(E\) dénotes the fundamental solution of the Laplacian, then for \(0\leq q\lt q_*\), any positive solution has either a removable singularity at 0, or \(\lim_{|x|\to0}u(x)/E(x)\in(0,\infty)\) or \(\lim_{|x|\to0}|x|^\vartheta u(x)=\lambda\) with \(\vartheta\) and \(\lambda\) uniquely determined positive constants. When \(\Omega=R^N\), we establish that any positive solution is radially symmetric and non-increasing with (possibly any) non-negative limit at \(\infty\). (c) If, in turn, \(q\geq q_*\) for \(N\geq3\), then 0 is a removable singularity for all positive solutions.

This is joint work with Joshua Ching (univ. Sydney).



Jeudi 29 Janvier      Mircea Petrache (Jussieu)
Looking for global duality in geometric mass-minimization problems
Résumé

The classical Plateau problem consists in minimizing the area of a 2D surface in R³ under the constraint of fixed boundary. This question can be interpreted in several ways, whose rigorous formulations led to the introduction of integral currents and flat chains with coefficients in a normed group G, starting from the 60's. General tools for the global control of minimizers are mostly limited to the case of rectifiable currents with G = Z, where a duality structure is present and we have the notion of a calibration. In 1D we can interpret this as a Kantorovich duality.

For the 1D case I will describe a recent result obtained in collaboration with Roger Züst where a duality structure appears for chains with coefficients in G=Z/2Z. It can be interpreted as an unoriented analogue of Kantorovich duality or as a maxflow-mincut duality with coefficients taken modulo 2. I will describe the first possible applications.

Regarding for future work I will point out three 1D-problems with three other choices of G which give applications to the theory of branched transport, to the study of dislocations in crystals and to a (new) subject which could be called "optimal data transport". In all these cases finding a (global or local) duality would be desirable.





Février

Jeudi 12 Février      Jean-Marc Delort (Paris 13)
Formes normales semi-classiques et solutions globales pour des équations de Klein-Gordon modifiées en dimension un
Résumé

La méthode des champs de Klainerman joue un rôle essentiel dans l'étude de l'existence de solutions globales pour les équations hyperboliques non-linéaires à données petites, régulières, décroissantes à l'infini. Toutefois, certaines équations de la physique, comme l'équation des water waves en profondeur finie, ne possèdent pas de champ de Klainerman. On montrera dans l'exposé, pour un problème modèle, comment il est possible d'obtenir néanmoins des résultats d'existence globale, en utilisant des opérateurs pseudo-différentiels semi-classiques et des méthodes de formes normales.



Jeudi 19 Février      Jonathan Bennet (University of Birmingham)
Generating monotone quantities for the heat equation.
Résumé

The identification of functionals which vary monotonically as their inputs flow according to a given evolution equation is generally considered to be more of an art than a science. Such monotonicity results have many consequences and, in particular, allow for a deeper understanding of a variety of important inequalities in analysis (via the so-called “semigroup method” or “semigroup interpolation”). The purpose of this talk is to describe a simple framework within which a rich variety of monotone quantities for the heat equation on \(\mathbb{R}^n\) may be “generated”.



Jeudi 26 Février      (relache)
(pause pédagogique)


Mars

Jeudi 5 Mars      Hassan Jaber (Toulon)
Équations de Hardy-Sobolev sur les variétés riemanniennes compactes
Résumé

Let \((M,g)\) be a compact Riemannian Manifold without boundry of dimension \(n \gt 0\), \(x_0\in M\), and \(s\in(0,2)\). We let \(2^*(s) : = 2(n-s)/(n-2)\) be the critical Hardy-Sobolev exponent. I investigate the influence of geometry on the existence of positive distributional solutions \(u\) in \(C^0(M)\) for the critical equation \[\Delta_g u + a(x) u = \frac{u^{2*(s)-1}}{d_g(x,x_0)^s} \textrm{ in } M.\] Via a minimization method, I prove existence in dimension \(n \gt 3\) when the potential a is sufficiently below the scalar curvature at \(x_0\). In dimension \(n=3\), using a global argument, I prove existence when the mass of the linear operator \(\Delta_g + a\) is positive at \(x_0\).



Jeudi 12 Mars      Olivier Lafitte (Paris 13)
coefficient de transmission engendré par un réflecteur fractionnaire


Jeudi 26 Mars      Mehdi Benabdallah (UST Oran)
Control of some first order degenerate systems in Hilbert spaces
Résumé

The aim of this research is to generalize the famous General Theorem of Lyapounov of the stability to the first order degenerate systems in the form:

\[Ax'(t)=Bx(t),\ t\geq0,\]

where \(A\) and \(B\) are bounded operators in Hilbert spaces, using the spectral theory of the corresponding pencil of operators \(\lambda A-B\).

The achieved results can be applied to the stability and stabilization for certain degenerate controlled systems.



Avril

Jeudi 2 Avril      Felipe Chavez (LJAD)
A uniform controllability result for the Keller-Segel system
Résumé

We analyze the uniform controllability of the parabolic-parabolic Keller-Segel system of chemotaxis approximating its parabolic-elliptic version. Using sharp Carleman inequalities and and precise estimates on the Liusternik-Graves inverse mapping theorem, we show that this parabolic system is locally uniform controllable around a constant solution of the parabolic-elliptic system when the control is acting on the component of the chemical.



Jeudi 9 Avril      Yves Colin de Verdière (Institut Fourier, Grenoble)
Ergodicité quantique pour des Laplaciens sous-Riemannien
Résumé

il s'agit d'un travail en collaboration avec Luc Hillairet (Orléans) et Emmanuel Trélat (Paris 6). Dans le cas où où la distribution horizontale de la structure sous-Riemannienne est de contact en dimension 3, nous montrons un théorème du type Schnirelman lorsque le flot de Reeb associé à la métrique est ergodique. Je discuterai aussi des extensions possibles de ce résultat.



Jeudi 23 Avril      Séverine Rigot (LJAD)
Propriété de recouvrement de Besicovitch dans les groupes de Carnot
Résumé

La propriété de recouvrement de Besicovitch (BCP) est un outil central en théorie de la mesure. Elle est notamment équivalente à la validité du théorème de différentiation de mesures pour toute mesure de Radon. En lien avec des développements récents de théorie géométrique de la mesure dans les espaces métriques, on s'intéressera dans cet exposé au cas des groupes de Carnot munis de distances homogènes (travail en collaboration avec E. Le Donne (Univ. Jyväskylä)). Il était jusqu'à présent connu que les distances homogènes usuelles sur les groupes de Heisenberg (distance de Koranyi et distance sous-riemanienne) ne satisfont pas BCP. On montrera dans cet exposé que les distances homogènes dont la boule unité coïncide avec une boule euclidienne satisfont BCP dans les groupes de Heisenberg, et plus générallement dans les groupes de Carnot de pas 2. On montrera qu'en revanche aucune distance homogène ne satisfait BCP dès que le pas du groupe est supérieur ou égal à 3. On donnera également quelques conséquences de ces deux résultats.



Jeudi 30 Avril      Israel Michael Sigal (Toronto)
Magnetic Vortices, Nielsen-Olesen - Nambu strings and automorphic functions
Résumé

The Ginzburg - Landau theory was first developed to describe behaviour of superconductors, but had a profound influence on physics well beyond its original area. It had the first demonstration of the Higgs mechanism and it became a fundamental part of the standard model in the elementary particle physics.

The theory is based on a pair of coupled nonlinear equations for a complex function (called order parameter or Higgs field) and a vector field (magnetic potential or gauge field). They are the simplest representatives of a large family of equations appearing in physics and mathematics. Besides of importance in physics, the equations contain beautiful mathematics (some of the mathematics was discovered independently by A. Turing in his explanation of patterns of animal coats).

In this talk I will review recent results involving key solutions of these equations - the magnetic vortices (called Nielsen-Olesen or Nambu strings in the particle physics) and vortex lattices, their existence, stability and dynamics, and how they relate to the modified theta functions appearing in number theory and algebraic geometry. Certain automorphic functions play key role in the theory described.



Jeudi 30 Avril      Laurent Moonens (Orsay)
Singularités des solutions de l'équation \(\mathrm{div}~v=0\) dans des espaces \(L^p\) à poids
Résumé

À la suite des travaux de R. Duran, M.-A. Muschietti, E. Russ et P. Tchamitchian, on sait qu'il est en général impossible, étant donné \(f\in L^\infty(\Omega)\) définie sur un domaine \(\Omega\), de trouver une solution \(v\in L^\infty(\Omega)\) à l'équation \(\mathrm{div}\, v=f\), qui vérifie \(\|v\|_\infty\leq C\|f\|_\infty\) avec \(C\) une constante indépendante de \(f\), mais qu'il existe une condition nécessaire et suffisante de type géométrique sur \(\Omega\) garantissant une estimation semblable dans \(L^\infty(1/w)\), où \(w\) est un poids intégrable dépendant de la géométrie du problème. Motivé par ces travaux, nous étudierons les ensembles de singularités des champs de vecteurs \(L^\infty(1/w)\) vérifiant l'équation \(\mathrm{div}~v=0\), et nous présenterons des analogues à ces résultats dans les espaces \(L^p\). Il s'agit d'un travail en commun avec E. Russ et H. Tuominen.



Mai

Jeudi 14 Mai      (relache)
(férié)


Jeudi 21 Mai      Dima Jakobson (McGill University)
Nodal sets in conformal geometry
Résumé

We study conformal invariants that arise from nodal sets and negative eigenvalues of conformally covariant operators, which include the Yamabe and Paneitz operators. We give several applications to curvature prescription problems. We establish a version in conformal geometry of Courant's Nodal Domain Theorem. We also show that on any manifold of dimension n≥3, there exist many metrics for which our invariants are nontrivial. We prove that the Yamabe operator can have an arbitrarily large number of negative eigenvalues on any manifold of dimension n≥3. We obtain similar results for some higher order GJMS operators on some Einstein and Heisenberg manifolds. This is joint work with Yaiza Canzani, Rod Gover and Raphael Ponge. If time permits, we shall discuss related results for operators on graphs.



Juin

Jeudi 4 Juin      François Gautero (LJAD)
Gromov a-T-menabilité et extensions de groupes libres
Résumé

À la fin des années 70, Haagerup a prouvé que tout groupe finiment engendré admet une fonction « conditionnellement négative propre ». Cette propriété, qui semblait avoir un intérêt propre pour la théorie des groupes, fut alors nommée « Propriété de Haagerup ». Elle fut redécouverte par Gromov sous un point de vue plus géométrique, comme l'existence d'une action propre par affinités sur un espace de Hilbert. Apparaissant comme un contraire faible de la célèbre « Propriété (T) de Kazhdan », et étant satisfaite par les groupes moyennables elle hérita ainsi l'appellation de « Gromov a-T-menabilité ». Bien qu'elle ait été depuis beaucoup étudiée, très peu de choses sont connues sur sa préservation par extension : on a des exemples de groupes « abélien-par-(libre non abélien) » qui ne la satisfont pas (Burger, de la Harpe-Valette) alors que tout groupe « (a-T-menable)-par-moyennable » la satisfait (Jolissaint). Une question naturelle est ainsi de savoir si le produit semi-direct de deux groupes libres non abéliens est a-T-menable. En utilisant la théorie de Bestvina-Feighn-Handel sur les automorphismes de groupes libres, on tentera d'expliquer pourquoi ce devrait être le cas si l'on ajoute une condition sur la dynamique de l'action d'un groupe libre sur l'autre.



Jeudi 11 Juin      Ting-Ying Chang (Sidney)
Singular Solutions of Weighted \(p\)-Laplacian Equations Involving Regular Variation Theory
Résumé

We generalise and sharpen several recent results in the literature by fully classifying the isolated singularities for nonlinear elliptic equations of the form\[-{\rm div} (\mathcal{A}(|x|)|\nabla u|^{p-2} \nabla u)+b(x)h(u)=0

\quad \text{in } B_1\setminus\{0\}\]where \(B_1\) denotes the open unit ball centred at \(0\) in \(\mathbb{R}^N\) with \((N\geq 2)\) and \(1\lt p\lt \infty\). We impose \(\mathcal{A}\), \(b\) and \(h\) to be in the framework of regular variation theory. In presenting our classification, we emphasise that its main novelty and difficulty lie in the explicit formulation of the behaviour of the solutions with strong singularities at \(0\).
This is joint work with Florica-C. Cirstea (University of Sydney).



Jeudi 25 Juin      Pierre-Damien Thizy (Cergy)
Systèmes de Schrödinger-Poisson sur une variété compacte
Résumé

On introduira brièvement le système elliptique critique (stationnaire) de Schrödinger-Poisson, puis on donnera des résultats récents d'existence, de non-existence, d'unicité et de multiplicité de solutions positives pour ce système. On parlera enfin de la stabilité et de l'instabilité de l'ensemble des solutions de ce système par rapport aux perturbations de la phase.



Juillet

Jeudi 9 Juillet      Patrick Gérard (Orsay)
Transition vers les hautes fréquences dans l'équation de Szegö cubique
Résumé

L'équation de Szegö cubique est un modèle simple d'évolution hamiltonienne non dispersive en dimension infinie. On montrera comment l'usage d'une transformation spectrale inverse permet de montrer que les solutions génériques de cette équation ont des normes de Sobolev croissant plus vite que tout polynôme en temps.

Il s'agit d'un travail en collaboration avec Sandrine Grellier.




Archives du séminaire: 2007/2008, 2008/2009, 2009/2010, 2010/2011, 2011/2012, 2012/2013

Organisation: O.Ivanovici (écrire) et P.Jammes (écrire)