L2

Analyse 3

Fonctions continues, lipschitziennes, monotones, convexes, réciproques

Etude des fonctions usuelles (exp, ln, ch, sh, th, Arcsin, Arcos, Arctan)

Calcul de séries et d’intégrales avec décomposition en éléments simples

Suites de fonctions, étude précise.

Séries de fonctions, convergence uniforme, permutation entre intégrale et somme d’une série.

Continuité et dérivabilité d’une fonction définie par une intégrale.

Comparaisons séries-intégrales.

Séries de Fourier (suite).

Option Math 3 : Compléments d’algèbre et d’analyse

1. Théorie des ensembles.

Applications (injectives, surjectives, bijectives). Dénombrabilité.

Lois de composition (associatives, commutatives, distributives).

Algèbres booléennes. Fonctions caractéristiques.

2. Séries formelles.

L'anneau des séries formelles à coefficients complexes.

Développement en série entière des fonctions e^x, sin(x), cos(x), (1+x)^r.

Solutions formelles d'équations différentielles.

3. Calcul matriciel.

Matrices diagonalisables. Polynôme caractéristique d'une matrice.

Déterminant et trace d'une matrice.

L'exponentielle d'une matrice.

4. Équations différentielles.

Équations différentielles linéaires.

Équations différentielles du second ordre.

Algèbre et arithmétique 1 : Entiers, anneaux, groupes.

Arithmétique : Z, congruences  modulo n, pgcd, ppcm, Euclide, Bézout, fonction d’Euler, théorème chinois.

Anneaux : idéaux, morphismes. Z/nZ.

Polynômes : Irréductibilité. Anneaux intègres. Anneaux principaux.

Corps : caractéristique.

Groupes : sous-groupes, morphismes, ordres, Lagrange, Fermat. Groupes cycliques.

Groupes de matrices. Groupe symétrique S_n, cycles, nombre d’inversions, signature.

Actions de S_n.

Calcul différentiel 1

Topologie dans R²

Fonctions de 2 variables, dérivées partielles, différentielle.

Minima, Extrema, D²f, ∂x ∂y f = ∂y ∂x f.

Etude de points selles.

Courbes paramétrées

Exemples d’équations différentielles.

Intégrales multiples.

Géométrie

Géométrie affine, barycentres, parties convexes.

Géométrie euclidienne, réduction des isométries en dimension 2 et 3,

Décomposition en produit de réflexions.

Similitudes.

Droites, plans, cercles et sphères ; équations ; angles de droites, de plans ; puissance d'un point par rapport à un cercle, pinceaux linéaires.

Coniques et quadriques.

Probabilités 1.

Notion d'événements aléatoires. Dénombrement. Lien entre probabilité et fréquence d'un événement.

- Notion de variables aléatoires discrètes. Exemples des lois de Bernoulli, binomiale, géométrique, Poisson et ce que ces lois modélisent: du jeu pile ou face (truqué et non truqué), jeu de dé (truqué et non truqué), événements rares. Formules de calcul de probabilités, d'espérances et de variances, pour des variables aléatoires discrètes.

- Notion de densité de probabilité. Exemple de la loi uniforme, exponentielle, gaussienne et ce que ces lois modélisent: tirage aléatoire uniforme, durée de vie, erreurs de mesures. Formule de calcul de probabilité, d'espérance, de variance, avec des lois à densité.

- Inégalités de Bienaymé-Tchebycheff et Markov. Notion de fonction de répartition, fonction génératrice, caractéristique.

- Indépendance d'événements et de variables aléatoires. Notion de covariance entre variables aléatoires.

- Théorème limites: loi des grands nombres, théorème centrale limite.

- Notions de probabilités conditionnelles.

Méthodes numériques et formelles

Méthodes numériques

- Calcul en virgule flottante.

- Résolution d''équations non linéaires.

- Intégration numérique.

- Interpolation et approximation.

- Équations différentielles.

- Systèmes d''équations linéaires.

Méthodes formelles

Initiation au logiciel de calcul formel Maple.

Les fonctions de base de la bibliothèque d''algèbre linéaire.

Résolution de problèmes d''algèbre linéaire : calcul de noyau, d''image d''une application linéaire, appartenance d''un vecteur

au sous-espace engendré par d''autres vecteurs, vecteurs propres et valeurs propres, ...

Mêmes problèmes mais pour des vecteurs ou des matrices dépendants d''un paramètre ce qui engendre une discussion.

Applications de l''algèbre linéaire : interpolation polynomiale, polynomiale par morceaux, suites récurrentes.