Licence de Mathématiques

FACULTE DES SCIENCES

Département de Mathématiques

LICENCE DE MATHEMATIQUES

OBJECTIF :
Donner une formation de base en mathématiques ouvrant un large éventail de débouchés vers l’enseignement, la recherche, les mathématiques appliquées, l’informatique, l’administration.

CONDITIONS D’ADMISSION :
- Accès de plein droit aux titulaires du DEUG Sciences mentions :
    Mathématiques Informatique et Applications aux Sciences
    Mathématiques Appliquées et Sciences Sociales
    Sciences de la matière
- Accès aux titulaires de titres reconnus équivalents, sur examen de dossier par la Commission ad hoc.

DEBOUCHES :
Il existe une unique Licence de Mathématiques. Après réussite à la Licence de Mathématiques l’étudiant peut suivre la préparation au CAPES (sous réserve de son admission à l’IUFM) ou bien à l’une des Maîtrises de Mathématiques :

    I.   Maîtrise de Mathématiques,
          ouvrant sur la préparation à l’Agrégation de mathématiques ou un 3ème cycle
    II.    Maîtrise de Mathématiques mention : Ingénierie Mathématique,
            ouvrant sur un D.E.A, D.E.S.S...
           Ces deux maîtrises ouvrant aussi à l’admission sur titre dans les grandes écoles.

MODALITÉS DE CONTRÔLE DES CONNAISSANCES :

    Tout candidat suit les six Unités d’Enseignement obligatoires : L1, L2, L3, L4, L5A et L5B. En outre, il choisit trois UE parmi les UE optionnelles : L6, L7, L8, L9, L10, L11. Des conseils pour le choix des options sont donnés aux étudiants en fonction de leurs intentions ultérieures.
   La note globale de la licence est la moyenne pondérée des notes des UE.
   Toutes les UE ont un coefficient 1 sauf L1 qui a un coefficient 2.
   Dans chacune des UE, la note est basée sur une interrogation écrite et un examen terminal et éventuellement sur des composantes orales et pratiques ou sur des contrôles périodiques.
   A la fin de l’année universitaire, le jury de la licence délibère pour l’attribution du diplôme. Le diplôme est délivré à tous les candidats ayant obtenu une moyenne pondérée au moins égale à 10/20.
   Un candidat n’ayant pas obtenu la licence peut conserver le bénéfice de certaines notes des UE; si
la note de l’UE est au moins égale à 10 sur 20, l’UE est définitivement acquise.

LICENCE DE MATHEMATIQUES

PROGRAMME DES ETUDES
CONTENU DES ENSEIGNEMENTS

TRONC COMMUN :
6 Unités d’Enseignement obligatoires

L1 - TOPOLOGIE ET CALCUL DIFFERENTIEL :   117h (Cours : 39h - TD 78h)

L1A : Espaces vectoriels normés ; continuité, compacité, connexité.
Espaces complets, points fixes ; applications linéaires continues. Espaces de Hilbert.

L1B : Espaces d'applications multilinéaires continues.
Dérivée directionnelle, différentielle première, différentielle d'ordre supérieur.
Théorème des applications composées, théorème de la moyenne, théorème de Schwarz, isomorphismes linéaires continus, difféomorphismes.
Suites et séries d'applications différentiables. Formule de Taylor. Points singuliers.
Théorème du point fixe, théorème de la fonction implicite, inversion locale.
Théorème d'existence et d'unicité locale des équations différentielles.

L2 - CALCUL INTEGRAL :   71h30 (cours : 19h30 - TD 52h)
L’intégrale de Riemann ; l’intégrale de Lebesgue (sur R) ;
Intégrales multiples ; les espaces Lp.
Analyse de Fourier.

L3 - ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE :   58h30 (Cours : 19h30 - TD : 39h)
Endomorphismes nilpotents ; sous-espaces caractéristiques ;
décomposition de Dunford ; polynôme minimal.
Dual d’un espace vectoriel ; application transposée.
Formes quadratiques, formes bilinéaires symétriques (hermitiennes) ;
orthogonalité ; endomorphismes normaux, symétriques (hermitiens),
orthogonaux (unitaires) d’un espace euclidien (hermitien) ;
diagonalisation éventuelle ; réduction simultanée.

L4 - COMBINATOIRE ET PROBABILITES :   58h30 (Cours : 19h30 - TD : 39h)
Dénombrement élémentaire ; inclusion-exclusion ;
marches aléatoires ; fonctions génératrices.
Le formalisme (Omega,A,P) ; probabilités conditionnelles ;
événements indépendants ; Lemme de Borel - Cantelli ;
variables aléatoires ; les lois habituelles ;
la convergence en probabilité ;
lois des grands nombres ; théorème central limite (énoncé).

L5A – ALGORITHMIQUE : 45h30 (Cours :19h30 - TD : 26h)
Initiation à la programmation en MAPLE.
Eléments de mathématiques discrètes.
Algorithme d’Euclide dans les anneaux euclidiens.
Transformations de Fourier discrètes et
multiplication des polynômes.
Graphes et arbres : étude d’algorithmes utilisant les
graphes ou les arbres (arbre recouvrant, plus court chemin,
compression à la « Huffman », tri par arbre ...) avec implantation en MAPLE.

L5B - ANALYSE NUMERIQUE : 45h30 (Cours :19h30 - TD :26h)
Résolution de systèmes linéaires : conditionnement d’une matrice ; décomposition LU.
Méthodes itératives : convergence de méthodes itératives ; résolution itérative d’un système linéaire ; la méthode de Newton.
Calculs des valeurs et vecteurs propres : méthode de la puissance ; méthode QR.
Interpolation polynomiale : interpolation de Lagrange ; formule de Newton et différences divisées.
Intégration numérique : formule d’erreur de Péano ; formules de Newton-Cotes ; polynomes orthogonaux et quadrature de Gauss.
Résolution numérique des équations différentielles ordinaires : méthodes à un pas, ordre, stabilité et convergence ; formules de Runge-Kutta ; méthodes à pas multiples.

OPTIONS :
3 Unités d’Enseignement, à choisir parmi :

L6 - GEOMETRIE DIFFERENTIELLE : 45h30 (Cours : 19h30 - TD : 26h)
Courbes paramétrées, courbes régulières, droite tangente, abscisse curviligne, longueur ; courbes planes définies implicitement ; trièdre de Frenet, courbure et torsion. Théorème fondamental d’existence et unicité de la théorie locale des courbes. Rayon et centre de courbure, cercle osculateur. Nombreux exemples issus des différentes sciences.
Surfaces régulières et leurs paramétrisations, plan tangent, droite normale. Surfaces définies implicitement ; les deux formes quadratiques fondamentales et applications. Orientation. Courbure normale, courbure de Gauss, courbure moyenne et courbures principales. Géodésiques. Nombreux exemples.   Equations différentielles : exemples.

L7 - GEOMETRIE : 45h30 (Cours : 19h30 - TD : 26h)
Géométrie affine, barycentres, parties convexes.
Géométrie euclidienne, réduction des isométries en dimension 2 et 3, génération des déplacements par les demi-tours (dim 3) ; similitudes.
Systèmes de coordonnées.
Droites, plans, cercles et sphères ; équations normales et polaires ; angle de droites, de plans ; puissance d’un point par rapport à un cercle, pinceaux.
Classification des coniques et des quadriques.

L8 - ANALYSE FONCTIONNELLE :   45h30 (Cours : 19h30 - TD : 26h)
1.   Espaces métriques.
Espaces complets, prolongement des fonctions uniformément contines, compacités.
2.   Espaces vectoriels normes
Théorème de Riesz, Dualité, espace de Banach, convergence normale des séries,
Théorème de Cauchy Lipshitz dans les Banach.
3.   Espaces de fonctions continues.
Théorèmes de Dini, Stone-Weierstrass et Ascoli.
4.   Espace de Hilbert
Projection sur les convexes, inéquations variationnelles , théorème de Lax-Milgram.
5.   Opérateurs sur les Hilbert
Spectre et valeurs propres, opérateurs compacts, opérateurs de Hilbert-Schmidt, théorie de Fredholm.

L9 - VARIABLE COMPLEXE :   45h30 (Cours : 19h30 - TD : 26h)
Séries entières ; zéros isolés, prolongement analytique ; principe du maximum ; suites de fonctions analytiques.
Circuits et intégrales, homotopie ; fonctions définies par des intégrales ; fonctions Gamma et autres ; résidus.
Inversion : logarithme, racine carrée et puissances
complexes.

L10 - ALGEBRE ET ARITHMETIQUE :   45h30 (Cours : 19h30 - TD : 26h
Polynômes irréductibles.
Polynômes symétriques. Résultants et discriminants.
Extensions de corps. Automorphismes.

L11 – PROBABILTES II : 45h30 (Cours : 19h30 - TD : 26h)
Mesure sur un ensemble.
Probabilités et indépendance.
Fonctions mesurables et variables aléatoires.
L’intégrale des fonctions mesurables.
Espaces produits.
Lois des grands nombres.
Fonctions caractéristiques et convergence en loi.