Licence de
Mathématiques L3 : Contenus des
enseignements.
Topologie et
Calcul
Différentiel
On introduira plusieurs outils fondamentaux de l'analyse
mathématique par
de fréquents allers et retours entre quelques notions de
topologie des
espaces métriques (compacts, complets, théorème du
point fixe) et
leur intervention dans le calcul différentiel des fonctions de
plusieurs
variables et ses applications géométriques
(différentielles,
dérivées partielles, théorème des fonctions
implicites,
courbes, surfaces, problèmes d'extremum).
Le cours se termine par un bref aperçu sur les équations
différentielles (théorème de Cauchy-Lipschitz,
problème du
domaine d'existence des solutions).
Mesure et probabilités
Espace mesuré. Mesure de Lebesgue (sur R^n).
Fonctions mesurables et intégration. Lemme de Fatou.
Théorèmes de convergence monotone et dominée.
Intégrales multiples, formule de changement de variables,
théorème de Fubini.
Introduction du formalisme des probabilités. Variables
aléatoires.
Lois de probabilité usuelles.
Espérance. Espérance conditionnelle
Algèbre et Géométrie
Endomorphismes nilpotents ;
sous-espaces caractéristiques ; décomposition de Dunford ;
polynôme minimal.
Dual d'un espace vectoriel ; application transposée.
Formes quadratiques, formes bilinéaires symétriques
(hermitiennes) ;
orthogonalité ; endomorphismes normaux, symétriques
(hermitiens),
orthogonaux (unitaires) d'un espace euclidien (hermitien) ;
diagonalisation éventuelle ;
réduction simultanée.
Espaces de Hilbert. Projection orthogonale.
Géométrie
Géométrie affine, barycentres,
parties convexes.
Géométrie euclidienne, réduction des
isométries en dimension 2 et 3,
génération des déplacements par les demi-tours (dim
3) ; similitudes.
Systèmes de coordonnées.
Droites, plans, cercles et sphères ; équations
normales et polaires ;
angle de droites, de plans ;
puissance d'un point par rapport à un cercle, pinceaux.
Classification des coniques et des quadriques.
Variable complexe
Séries entières ; zéros
isolés, prolongement
analytique ;
principe du maximum ; suites de fonctions analytiques.
Circuits et intégrales, homotopie ; fonctions
définies par des
intégrales ;
fonctions Gamma, Zêta, Résidus.
Inversion : logarithme, racine carrée et puissances
complexes.
Deuxième
semestre
Algorithmique
Algorithmes mathématiques : algorithme d'Euclide
Transformation de Fourier discrète et multiplication des
polynômes.
Méthodes de tri et de recherche.
Graphes et arbres : arbre recouvrant, plus court chemin,
compression de Huffman, tri par tas.
Eléments de complexité. Récursivité et
récurrence.
Analyse Numérique
Résolution de systèmes linéaires :
conditionnement d'une matrice ;
décomposition LU.
Méthodes itératives : convergence de méthodes
itératives ;
résolution itérative d'un système
linéaire ; la méthode de Newton.
Calculs des valeurs et vecteurs propres : méthode de la
puissance ;
méthode QR.
Interpolation polynomiale : interpolation de Lagrange ;
formule de Newton et différences divisées.
Intégration numérique : formule d'erreur de Péano ;
formules de Newton-Cotes ;
polynômes orthogonaux
et quadrature de Gauss.
Résolution numérique des équations
différentielles ordinaires : méthodes
à un pas,
ordre, stabilité et convergence ;
formules de Runge-Kutta ;
méthodes à pas
multiples.
Compléments d'analyse numérique
Si le cours d'analyse
numérique
expose et analyse les propriétés d'algorithmes,
dans ce cours, qui vient en complément, le côté
expérimental
de ce domaine des mathématiques appliquées est mis en
avant.
L'analyse numérique propose des algorithmes capables de fournir
des solutions approchées de modèles mathématiques,
issus par exemple des sciences physiques ou des sciences de
l'ingénieur,
pour lesquels des solutions exactes sont hors d'atteinte.
Des exemples de tels problèmes, relevant de l'analyse matricielle,
de la quadrature ou des systèmes différentiels,
sont abordés et résolus par voie d'ordinateur.
Géométrie Différentielle
Courbes paramétrées, courbes
régulières, droite tangente,
abscisse curviligne, longueur ; courbes planes définies
implicitement ;
trièdre de Frenet, courbure et
torsion.
Théorème fondamental d'existence et unicité.
Rayon et centre de courbure, cercle osculateur.
Nombreux exemples issus des différentes sciences.
Surfaces régulières et leurs paramétrisations,
plan
tangent, normale.
Surfaces définies implicitement ;
les deux formes quadratiques fondamentales et applications.
Orientation. Courbure normale, courbure de Gauss,
courbure moyenne et courbures principales.
Géodésiques.
Equations différentielles : Exemples. Aspects qualitatifs.
Algèbre et Arithmétique
Structures algébriques (exemples de structures quotient)
Groupes finis, cycliques.
Arithmétique, polynômes, racines,
irréductibilité, nombres algébriques.
Polynômes symétriques. Résultant, discriminant.
Corps de rupture et de décomposition.
Compléments d'algèbre et arithmétique
Classification des groupes abéliens de type fini.
Corps finis. Algorithmes de factorisation des polynômes sur un
corps fini.
Probabilités et applications
Variables aléatoires. Lois de probabilité usuelles.
Vecteurs aléatoires,
Lois jointes et marginales.
Fonctions caractéristiques. Indépendance.
Vecteurs gaussiens. Notions de convergence.
Lemme de Borel-Cantelli. Loi des grands
nombres ;
théorème de la limite centrale.
Applications en statistiques.
Compléments de probabilités et statistiques
Vecteurs gaussiens, théorème centrale limite vectoriel,
application au test du
chi2
Modèle linéaire gaussien, régression
linéaire, analyse de la
variance à 1 et 2 facteurs. Estimation et tests
d'hypothèse linéaire.
Fonction de répartition, fonction de répartition
empirique, test de Kolmogorov-Smirnov.
Histoire des mathématiques
L'unité Histoire des mathématiques s'adresse aux
étudiants désireux de mieux connaà®tre le développement
historique de leur discipline. L'enseignement dispensé
s'attachera à
replacer les découvertes mathématiques dans leur cadre
historique en retraçant
le cheminement des idées qui les ont rendues possibles.
Des textes
originaux seront étudiés et commentés en Travaux
dirigés.
Les thèmes abordés au cours de ce semestre seront les
suivants :
- Les équations algébriques de la Renaissance italienne
au XIXème
siècle (Arnaud Beauville).
- Les Principia de Newton et la naissance
de la
science du mouvement (Pierre Coullet).
- La sommation des séries de Zénon à Euler (Marc-Antoine
Coppo).